2022年湖南省湘潭市湘潭县凤凰初级中学初中学业水平模拟数学试题（含答案）

2022年初中学业水平考试

数 学 试 题 模 拟 卷

 湘潭凤凰初级中学 

一、选择题（本大题共8小题，毎小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应位置上，每小题3分，共24分）

1.2022的倒数是（    ）

A.-2022 B. C.2022 D.

2.2月24日国家发改委正式批复《长株潭都市圈发展规划》，这也是我国第四个获批的都市圈发展规划。为了加快建设都市圈的进程，地铁西环线一期工程是建设“轨道上的长株潭”的重要组成部分，预计2023年年底开通，届时湘潭到长沙只需要20分钟。已知该部分线路总长17590米，则17590用科学计数法表示为（    ）

A.0.1759×105 B.1.759×103 C.1.759×104 D.17.59×104

3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

4.下列计算正确的是（    ）

A.a4＋a2＝a6           B.（x2y）3＝x5y3          C.(m－n)2＝(m＋n)(m－n)                D.b6÷b2＝b4

5.

A.x≥-1且x≠0         B.x＞-1且x≠0          C.x＞-1         D.x≥-1

6.若一组数据 2、4、x、2、3、3、5 的众数是2，则这组数据的平均数为（    ）

A．2                       B．3                    C．4                D．5

7.今年三月份全市召开了产业强市“千百十”工程推进大会，进一步强化产业强市的战略导向。某汽车工厂积极响应号召，引进自动化生产线，产量由三月份的2600辆增至五月份的3744辆，求平均每个月增产的百分率。设平均每个月增产量的百分率为x，可列方程得（　　）

A．2600(1+x)2=3744  B．2600(1-x)2=3744

C．2600(1+2x)2=3744  D．2600(1-2x)2=3744

8. 如图，在中，CD为的直径，，，，

则半径（   ）

A．           B．              C．           D．

二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，毎小题3分，满分24分）

9.已知，则  ＝_______．

10.二元一次方程组 的解是_________.

11.已知某正多边形的内角和为540°，则边数为________.

12.在平面直角坐标系中，点P（2,3）关于原点对称点P′的坐标为______.

13.如右图，请添加一个合适的条件__________,使AB∥CD.

14.若关于x的方程x2＋2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　   　．

15.《九章算术》第一章“方田”介绍了扇形面积计算方法，其中这样一道题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思是：有一块扇形状的田，弧长为30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为_______平方步.

16.如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得△；再分别取△三边的中点，，，得△；这样依次下去，

经过第2022次操作后得△，则△的面积为________.

三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应的位置上，满分72分）

17.（6分）计算：＋(π－3.14)0＋|1－|－3tan30°．

18.（6分）先化简，再求值：

(－)·，代入你认为合适的数并求值．

19.（6分）根据“五项管理”文件精神，某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中A：90分钟以上；B：60~90分钟；C：30~60分钟；D：30分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题：

(1)接受问卷调查的学生共有____________人；

(2)求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；

(3)全校约有学生1000人，估计“A”层级的学生约有多少人？

20.（6分）近年来，湘潭进入快速发展时期，高层建筑建设飞速加快。如图是位于湘潭市建设路口的湘潭第一高楼“湘潭中心”，某数学活动小组在学习了 “解直角三角形的应用” 后, 开展了测量“湘潭中心”的实践活动．

测量方案：如图, 在附近的楼顶C处测量“湘潭中心”楼顶A处的仰角和楼底B处的俯角．

数据收集：已知测量地楼顶离地面垂直距离为31米，在C处测得楼顶A处的仰角为57°, 楼底B处的俯角为21°.

问题解决：求“湘潭中心”AB的高度（结果精确到 1 米）．

参考数据：, , ．

根据上述测量方案及数据, 请你完成求解过程．

21.（6分）2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物为“冰墩墩”和“雪容融”，形象分别来源于国宝大熊猫和中国传统文化符号大红灯笼，组委会现将3张正面印有“冰墩墩”图案和2张正面印有“雪容融"图案的明信片（明信片的形状、大小、质地都相同）送给志愿者留作纪念．

(1)若志愿者小明从中随机抽取1张，则抽取的明信片上的图案恰好为“雪容融”的概率为        ．

(2)设用A1、A2，A3代表图案是“冰墩墩”的明信片，用B1、B2代表图案是“雪容融”的明信片.若志愿者小明先从中随机抽取1张，志愿者小颖再从剩余的明信片中随机抽取1张，请利用画树状图或列表的方法，求两人抽取的明信片图案恰好一个是“冰墩墩”，一个是“雪容融”的概率．

22.（6分）如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC．BC平分∠ABD.

(1)求证：CD为⊙O的切线．

(2)

23.（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y（x＞0）的图象经过AO的中点C，交AB于点D，且AD＝3．若点D的坐标为（4，n）．

(1)求反比例函数y的表达式.

(2)设点E是x轴上一动点，若△CEB的面积等于6，求点E的坐标．

24.（8分）4月23日为“世界读书日”．每年的这一天，各地都会举办各种宣传活动．我市某书店为迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息：

(1)陈经理查看计划书时发现：A类图书的销售价是B类图书销售价的1.5倍，若顾客同样用54元购买图书，能购买A类图书数量比B类图书的数量少1本，求A、B两类图书的销售价；

(2)为了扩大影响，陈经理调整了销售方案：A类图书每本按原销售价降低2元销售，B类图书价格不变，那么该书店应如何进货才能获得最大利润？

25.（10分）[感知]如图①，在▱ABCD中，点E为CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于点F．

求证：点E是BF的中点，点D是AF的中点；

[应用]如图②，在四边形ABCD中，AD//BC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝3，点E是CD的中点，

BE⊥CD，BE、AD的延长线相交于点F，求AF的长．

[拓展]如图③，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是AB上一点，，BD，CE相交于点F，

求的值．

26.（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A(1，0)和B(3，0)，点D为线段BC上一动点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连结BE．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当△COB和△DEB相似时，求点D的坐标；

(3)在抛物线上是否存在这样的点P，使得∠ACP＝45°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

                                                                    备用图

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，毎小题有且只有一个正确答案，每小题3分，共24分）

1.  B    2. C    3. B     4. D    5. A     6. B     7. A    8. D

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9.          10.           11. 五      12.（-2，-3） 

13. ∠DCE=∠ABC或∠DCA=∠CAB或∠DCB+∠ABC=180°（任填一个即可）
14. m＜1   15.120     16.

三、解答题（本大题共10个小题，满分72分）

19. （6分）（1）40 （2′）      

（2）72°（3′）

（3）150人（6′）

20.（6分）如图所示，作CE⊥AB于E

则∠CEA=∠CEB=90°

∵CD⊥BD，AB⊥BD

∴∠CDB=∠DBE=∠CEB=90°（1′）

∴四边形CDBE是矩形

∴BE=CD=31米

∵∠ECB=21°，∠ACE=57°

在Rt△BCE中，（米）（3′）

在Rt△ACE中，(米)（5′）

∴AB=AE+BE≈157(米)

即“湘潭中心”高楼的高度为157米.（6′）

21.(6′)（1）   （2′）

   （2）解：设用、，代表图案是“冰墩墩”的明信片，用、代表图案是“雪容融”的明信片，列树状图如下所示：

（5′）

由树状图或列表法可知一共有20种等可能性的结果数，其中恰好一个是“冰墩墩”，一个是“雪容融”的结果数有12种，∴恰好一个是“冰墩墩”，一个是“雪容融”的概率． （6′）

22.（6′）（1）∵BC平分∠ABD

∴∠OBC=∠DBC

∵点C在圆上，OC为半径

∴OB=OC

∴∠OBC=∠OCB

∴∠OCB=∠DBC

∴OC∥BD

∵BD⊥CD

∴∠CDB=90°

∵OC∥BD

∴∠OCD+∠CDB=180°

∴∠OCD=90°

∴OC⊥CD

又∵OC为半径

∴CD为圆O的切线.（3′）

23.（8′）(1)解：①∵点D的坐标为（4，n），AD＝3，

∴点A的坐标为（4，n+3），

∵点C是AO的中点，

∴点C的坐标为（2，），(1′)

把点C、D的坐标代入y，

得，

解得：，

则反比例函数的解析式为：y；(4′)

(2)  解：设点E的坐标为（x，0），

24.（8′）(1)解：设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元，

根据题意可得，，(2′)

化简得：540-10x=360，

解得：x=18，

经检验：x=18是原分式方程的解，且符合题意，(3′)

则A类图书的标价为：1.5x=1.5×18=27（元），

答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；(4′)

(2)解：设购进A类图书m本，则购进B类图书（1000-m）本，利润为W．

由题意得：，

解得：600≤m≤800，(6′)

W=（27-2-18）m+（18-12）（1000-m）

=m+6000，

∵W随m的增大而增大，

∴当m=800时，利润最大．

1000-m=200，

所以当购进A类图书800本，购进B类图书200本，利润最大．(8′)

25.（10′）解：（1）证明：∵▱ABCD，

∴AF∥BC，AD=BC，

∴∠F=∠EBC，

∴在△DEF和△CEB中，

∴△DEF≌△CEB，

∴BE=EF，DF=BC=AD，

∴点E是BF的中点，点D是AF的中点；（3′）

（2）与（1）同理可得△DEF≌△CEB，

∴DF=BC，

又由已知可得DF∥BC，

∴四边形DFCB是平行四边形，（4′）

∵BE⊥CD，

∴四边形DFCB是菱形，

∴DF=BD，

∵∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝3，

∴BD=5，

∴AF=AD+DF=3+5=8，（6′）

（3）如图，过A作AG∥EC交BD延长线于G，

与（1）同理可得△ADG≌△CDF，（7′）

∴AG=FC，

∵AG∥EF，

∴，

∵，

∴，

∴.（10′）

26.（10′）(1)解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）和B（3，0），

∴       

解得：．

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3．（3′）

(2)解：令x＝0，则y＝﹣3，

∴C（0，﹣3）．

设直线BC的解析式为y＝kx+n，

∴，

解得：．

∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．（4′）

∵点D为线段BC上一点，

∴设D（m，m﹣3），则点E（m，﹣m2+4m﹣3），

∴DE＝（﹣m2+4m﹣3）﹣（m﹣3）＝﹣m2+3m．

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴OB＝OC＝3．

∴∠OBC＝∠OCB＝45°．∴△OCB是等腰直角三角形

∵DE∥y轴，

∴∠EDB＝∠OCB＝45°，

∴点D不可能是直角的顶点．

①当∠EBD=90°时，∵△OCB与△BED相似

∴则△BED是等腰直角三角形且EB=DB，设DE交x轴于点F，

∴EF＝FD＝DE．

∵DF＝3﹣m．

∴3﹣m＝（﹣m2+3m）．

解得：m＝2或3（m＝3不合题意，舍去）．

∴m＝2．

∴D（2,-1）．（5′）

②当∠DEB=90°时，∵△OCB与△EDB相似

此时边EB在x轴上，点E与点A重合，

∴m＝1．

∴D（1,-2）．

综上，当△OCB与△BED相似时，D点坐标（2,-1）或（1,-2）.（6′）

(3)解：在抛物线上存在点P，使得∠ACP＝45°，理由：

∵A（1，0），

∴OA＝1．

∴AB=OB﹣OA＝2．

∴AC＝．（7′）       

延长CP交x轴于点F，如图，

由（2）知：∠OBC＝∠OCB＝45°，

∴∠AFC+∠FCB＝45°．

∵∠ACP＝45°，

∴∠ACB+∠FCB＝∠ACP＝45°．

∴∠AFC＝∠ACB．

∵∠FAC＝∠CAB，

∴△AFC∽△ACB．

∴．

∴．

∴AF＝5．

∴OF＝OA+AF＝6，

∴F（6，0）．（8′）

设直线CF的解析式为y＝dx+e，

∴，

解得：．

∴直线FC的解析式为y＝x﹣3．

∴，

解得：，．

∴点P的坐标为（，﹣）．（10′）