2022年吉林省中考数学专题练6-三角形

这是一份2022年吉林省中考数学专题练6-三角形，共34页。

A．50°B．55°C．60°D．65°
2．（2021•长春模拟）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2021•吉林一模）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，3），以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C横坐标所表示的数在哪两个整数之间（ ）
A．0到1之间B．1到2之间C．2到3之间D．3到4之间
4．（2021•前郭县二模）如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形．若∠1＝40°，则∠2的大小为（ ）
A．60°B．80°C．90°D．100°
5．（2021•长春一模）如图，∠AOB＝30°．按下列步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧DE，交射线OB于点F，连接CF；②以点F为圆心，CF长为半径作圆弧，交弧DE于点G；③连接FG、CG，作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠AOG＝60°B．OF垂直平分CG
C．OG＝CGD．OC＝2FG
6．（2021•吉林模拟）如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝36°，那么∠BED的度数为（ ）
A．108°B．120°C．126°D．144°
二．填空题（共12小题）
7．（2020•吉林）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为12，则四边形DBCE的面积为 ．
8．（2022•南关区校级一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝∠EFD＝90°，∠ABC＝60°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠AFD的大小为 度．
9．（2022•长春模拟）如图，在数轴上，过数2表示的点B作数轴的垂线，以点B为圆心1为半径画弧，交其垂线于点A，再以原点O为圆心，OA长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为 ．
10．（2021•永吉县二模）在建筑工地，我们常可以看到用木条EF固定矩形门框ABCD的情形，如图所示，这样做的数学原理是 ．
11．（2021•吉林一模）如图，一个等腰直角三角尺的两个顶点恰好落在笔记本的两条横线a，b上．若a∥b，∠1＝20°，则∠2＝ ．
12．（2021•双阳区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧交AC于点C和点D，再分别以点C和点D为圆心，大于12DC长为半径画弧，两弧相交于点F，作射线BF交AC于点E．若∠A＝40°，则∠EBC＝ 度．
13．（2021•南关区一模）如图，D是△ABC的AC边上一点，且AD＝DB，CD＝CB．若∠C＝100°，则∠A＝ ．
14．（2021•南关区一模）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，分别以点A，B，C为圆心，以2为半径画弧，则图中阴影部分图形的周长为 .（结果保留π）
15．（2021•二道区校级一模）如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝4，BC＝3，则BF的长为 ．
16．（2021•吉林一模）如图，在等边△ABC中，AC＝10，点O在线段AC上，且AO＝3，点P是线段AB上一点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交线段BC于点D，连接PD．若PO＝PD，则AP的长是 ．
17．（2021•吉林一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，E、F分别为DB、BC的中点，若AB＝8，则EF＝ ．
18．（2021•延边州模拟）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，∠ABC的平分线BF交DE于点F，若AB＝4，BC＝6，则EF的长为 ．
三．解答题（共9小题）
19．（2021•吉林）如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．
20．（2020•吉林）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．
（1）AP的长为 cm（用含x的代数式表示）．
（2）当点D落在边BC上时，求x的值．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
21．（2022•吉林模拟）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，已有两个小等边三角形涂上了黑色．
（1）在图①中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）在图②中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形．
（3）在图③中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
22．（2022•南关区校级四模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点D是AB中点，点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿折线AB﹣BC向终点C运动，连结PQ，取PQ的中点E，连结DE，P、Q两点同时出发，设点P运动的时间为t秒．
（1）点P到AB的距离为 ．（用含t的代数式表示）
（2）当点Q在AB上运动时，求tan∠PQA的值．
（3）当DE与△ABC的直角边平行时，求DQ的长．
（4）当△DEQ为直角三角形时，直接写出t的值．
23．（2021•二道区校级四模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是边AB的中点．点P从点B出发，沿折线BC﹣CA以每秒7个单位长度的速度向终点A运动，同时点E从点B出发，沿BA以每秒5个单位长度的速度向终点A运动．当点P不与点B、A重合时，作点P关于点D的对称点Q，连结PQ、PE和QE．设点P的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示线段DE的长．（直接写出即可）
（2）当∠PEQ＝2∠PED时，求t的值．
（3）当线段PQ的长最小时，求t的值，并求△PEQ的面积．
（4）作点P关于直线AB的对称点F，连结PF、QF．当直线PE平分△PQF的面积时，直接写出t的值．
24．（2021•吉林三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，动点P从点B出发，在边BC上以每秒3个单位长度的速度运动至点C，然后又在边CA上以每秒1个单位长度的速度运动至点A停止．当点P不与△ABC的顶点重合时，过点P作其所在直角边的垂线交边AB于点Q．再以PQ为边作等边△PQM，且点M与△ABC的另一条直角边始终在PQ同侧．设△PQM与△ABC重叠部分的面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒．
（1）当点P在边BC上运动时．求PQ的长（用含t的代数式表示）；
（2）当点P在边BC上运动时．求S与t的函数关系式；
（3）取AB的中点K，连接CK．当点M落在线段CK上时，求t的值．
25．（2021•双阳区一模）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材64页的部分内容．
【问题解决】请结合图1给出解题过程．
【问题探究】
（1）如图2，在△ABC中，D是边BC上的一点，过点D作DF∥AB，交AC于点F，过点D作DE∥AC，交AB于点E，延长CA至H，使AH＝AF，连接DH交AB于G．若CFAF=32，△AHG的面积为2，则△EDB的面积为 ．
（2）如图3，在△ABC中，D是边BC上的一点，且BDDC=43，连接AD，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，若F为AD的中点，△AEF的面积为m，则△FDB的面积为 ．（用含m的代数式表示）
26．（2021•南关区校级二模）【教材呈现】如图是华东师大版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD=12AB．
【定理证明】结合图①，写出证明过程．
【定理应用】
（1）如图②，在Rt△PQN中，∠PNQ＝90°，PQ＝10，点H是边PN中点，点G在边PQ上，且PG=14PQ，连接HG，求线段HG的长．
（2）如图③，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，D是边AB中点，E，F分别是边AC，BC上的动点，且DE⊥DF，当点E从点A运动到点C时，EF的中点M所经过的路径长为 ．
27．（2021•长春模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，AB＝4．动点P从点C出发，沿CA以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作CA的垂线交射线CB于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于AB的对称点N．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）BC＝ ；
（2）求MN的长．（用含t的代数式表示）
（3）取PC的中点Q．
①连结MQ、PN，当点M在边BC上，且MQ∥PN时，求MN的长．
②连结NQ，当∠CNQ＝∠A时，直接写出t的值．
2022年吉林省中考数学专题练6-三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝50°，
∴∠B＝∠C＝65°，
AD∥BC，
∴∠BAD＝65°．
故选：D．
2．【解答】解：过五边形的一个顶点作对角线，有5﹣3＝2条对角线，所以至少要钉上2根木条．
故选：B．
3．【解答】解：∵A（﹣1，0），B（0，3），
∴OA＝1，OB＝3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=AO2+OB2=12+32=10，
∴AC＝AB=10，
∴OC=10−1，
∴点C的横坐标为10−1，
∵3＜10＜4，
∴2＜10−1＜3，
∴点C的横坐标介于2到3之间．
故选：C．
4．【解答】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠1＝40°，
∴∠3＝∠1+∠A＝40°+60°＝100°，
∵直线l1∥l2，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝80°，
故选：B．
5．【解答】解：由作法得OC＝OF＝OG，FG＝FC，
则OF垂直平分CG，所以B选项的结论正确；
∵C点与G点关于OF对称，
∴∠FOG＝∠FOC＝30°，
∴∠AOG＝60°，所以A选项的结论正确；
∴△OCG为等边三角形，
∴OG＝CG，所以C选项的结论正确；
在Rt△OCM中，∵∠COM＝30°，
∴OC＝2CM，
∵CF＞CM，FC＝FG，
∴OC≠2FG，所以D选项的结论错误．
故选：D．
6．【解答】解：∵AE平分∠BAC
∴∠BAE＝∠CAE＝36°
∵ED∥AC
∴∠CAE+∠DEA＝180°
∴∠DEA＝180°﹣36°＝144°
∵∠AED+∠AEB+∠BED＝360°
∴∠BED＝360°﹣144°﹣90°＝126°．
故选：C．
二．填空题（共12小题）
7．【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=12BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=（DEBC）2＝（12）2=14，
∵△ADE的面积为12，
∴△ABC的面积为2，
∴四边形DBCE的面积＝2−12=32，
故答案为：32．
8．【解答】解：如图，AB，FD交于点G，
∵∠DFE＝90°，∠DEF＝45°，
∴∠D＝45°，
∵AB∥DE，
∴∠BGF＝∠D＝45°，
∵∠BGF+∠AGF＝180°，
∴∠AGF＝180°﹣45°＝135°，
∵∠A+∠AGF+∠AFD＝180°，∠A＝30°，
∴∠AFD＝180°﹣30°﹣135°＝15°．
故答案为：15．
9．【解答】解：∵OA=22+12=5，
∴点C所表示的实数为5，
故答案为：5．
10．【解答】解：加上EF后，原图形中具有△DEF了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
11．【解答】解：根据题意得：∠1+∠3＝45°，
∴∠3＝45°﹣∠1＝45°﹣20°＝25°．
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝25°．
故答案为：25°．
12．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ACB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
由题意可知，BC＝BD，
∴∠BDC＝∠ACB＝70°，
∴∠CBD＝180°﹣70°×2＝40°，
由题意可知，BF平分∠DBC，
∴∠EBC=12∠CBD＝20°．
故答案为：20．
13．【解答】解：∵∠C＝100°，
∴∠CDB+∠CBD＝180°﹣∠C＝80°，
∵CD＝CB，
∴∠CDB＝∠CBD=12×80°=40°，
∵AD＝DB，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A+∠ABD＝∠CDB＝40°，
∴∠A＝20°，
故答案为：20°．
14．【解答】解：如图，圆弧交AB于点E，F，
由题意得AB＝6，AE＝BF＝2，
EF＝AB﹣AE﹣BF＝2，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴图中总弧长为180×2π180=2π．
∴图中阴影部分图形的周长为3EF+2π＝6+2π．
故答案为：6+2π．
15．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB=AC2+BC2=42+32=5，
又∵CD为中线，
∴CD=12AB=52．
∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，则BF=12CD=54．
故答案为：54．
16．【解答】解：连接OD，如图：
∵PO＝PD，
∴OP＝DP＝OD，
∴∠DPO＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，AC＝AB＝10，
∴∠OPA＝∠PDB＝∠DAP﹣60°，
在△OPA和△PDB中，
∠OPA=∠PDB∠A=∠BPO=PD，
∴△OPA≌△PDB（AAS），
∵AO＝3，
∴AO＝PB＝3，
∴AP＝AB﹣PB＝10﹣3＝7，
故答案为：7．
17．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，AB＝8，
∴CD=12AB=12×8＝4，
∵E、F分别为DB、BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF=12CD=12×4＝2，
故答案为：2．
18．【解答】解：连接AF并延长交BC于H，
∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=12BC＝3，AF＝FH，
在△BFA和△BFH中，
∠ABF=∠HBF∠AFB=∠HFBFA=FH，
∴△BFA≌△BFH（AAS），
∴BH＝AB＝4，
∵AD＝DB，AF＝FH，
∴DF=12BH＝2，
∴EF＝DE﹣DF＝1，
故答案为：1．
三．解答题（共9小题）
19．【解答】证明：在△ABE与△ACD中，
∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，
∴△ACD≌△ABE（ASA），
∴AD＝AE（全等三角形的对应边相等）．
20．【解答】解：（1）∵动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，
∴AP的长为2xcm；
故答案为：2x；
（2）当点D落在BC上时，如图1，
BP＝AB﹣AP＝4﹣2x，
∵PQ⊥AB，
∴∠QPA＝90°，
∵△PQD等边三角形，△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠DPQ＝60°，PQ＝PD，
∴∠BPD＝30°，
∴∠PDB＝90°，
∴PD⊥BC，
∴△APQ≌△BDP（AAS），
∴BD＝AP＝2x，
∵BP＝2BD，
∴4﹣2x＝4x，
解得x=23；
（3）①如图2，当0＜x≤23时，
∵在Rt△APQ中，AP＝2x，∠A＝60°，
∴PQ＝AP•tan60°＝23x，
∵△PQD等边三角形，
∴S△PQD=12×23x•3x＝33x2cm2，
所以y＝33x2；
②如图3，当点Q与点C重合时，
此时CP⊥AB，
所以AP=12AB，即2x＝2，
解得x＝1，
所以当23＜x≤1时，如图4，设PD、QD与BC分别相交于点G、H，
∵AP＝2x，
∴BP＝4﹣2x，AQ＝2AP＝4x，
∴BG=12BP＝2﹣x
∴PG=3BG=3（2﹣x），
∴S△PBG=12×BG•PG=32（2﹣x）2，
∵AQ＝2AP＝4x，
∴CQ＝AC﹣AQ＝4﹣4x，
∴QH=3CQ=3（4﹣4x），
∴S△QCH=12×CQ•QH=32（4﹣4x）2，
∵S△ABC=12×4×23=43，
∴S四边形PGHQ＝S△ABC﹣S△PBG﹣S△QCH﹣S△APQ
＝43−32（2﹣x）2−32（4﹣4x）2−12×2x×23x
=−2132x2+183x﹣63，
所以y=−2132x2+183x﹣63；
③如图5，当1＜x＜2时，点Q运动在BC边上，
设PD与BC相交于点G，
此时PG＝BP•sin60°＝（4﹣2x）×32=3（2﹣x），
∵PB＝4﹣2x，
∴BQ＝2BP＝2（4﹣2x）＝4（2﹣x），
∴BG=12BP＝2﹣x，
∴QG＝BQ﹣BG＝3（2﹣x），
∴重叠部分的面积为：
S△PQG=12×PG•QG=12×3（2﹣x）•3（2﹣x）=332（2﹣x）2．
所以y=332（2﹣x）2．
综上所述：y关于x的函数解析式为：
当0＜x≤23时，y＝33x2；
当23＜x≤1时，y=−2132x2+183x﹣63；
当1＜x＜2时，y=332（2﹣x）2．
21．【解答】解：（1）如图①所示，阴影部分图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
（2）如图②所示，阴影部分图形是中心对称图形，不是轴对称图形；
（3）如图③所示，阴影部分图形既是轴对称图形，也是中心对称图形；
22．【解答】解：（1）过点P作PF⊥AB于点F，如图：
则∠PFA＝90°＝∠ACB，
∴sinA=PFAP=BCAB，
即PFt=610，
解得：PF=35t，
故答案为：35t；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=AB2−BC2=102−62=8，
∴tanA=PFAF=BCAC=68=34，
∴AF=43PF=43×35t=45t，
∴QF＝AQ﹣AF＝2t−45t=65t，
∴tan∠PQA=PFQF=35t65t=12；
（3）分情况讨论：
①如图，当DE∥BC时，过P作PF⊥AB于点F，过E作EG⊥AB于点G，
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE，
∴tan∠ADE=EGGD=tanB=ACBC=86=43，
∴GD=34EG，
∵点E为PQ中点，EG∥PF，
∴EG=12PF=310t，
∴GD=34EG=940t，
∵QF＝AQ﹣AF=65t，DQ＝2t﹣5，
∴GQ=12QF=35t，
∴GD＝GQ﹣DQ=35t﹣（2t﹣5）＝5−75t，
即940t＝5−75t，
解得：t=4013，
∴DQ＝2×4013−5=1513；
②当DE∥AC时，如图，点Q与B重合，
∴DQ＝DB=12AB＝5；
综上所述，DQ的长为1513或5；
（4）分情况讨论：
①∠EDQ＝90°，如图：
过P作PF⊥AB于F，则PF∥ED，
∵E为PQ的中点，
∴D是FQ的中点，
∴DF＝DQ，
由（2）可知，AF=45t，
∴DF＝AD﹣AF＝5−45t，
∵DQ＝AQ﹣AD＝2t﹣5，
∴5−45t＝2t﹣5，
解得：t=257；
②当Q在AB上，∠DEQ＝90°时，连接DP，如图：
则DE⊥PQ，
∵E是PQ的中点，
∴DP＝DQ，
过P作PF⊥AB于F，
由①得：DF＝AD﹣AF＝5−45t，
∵DP2＝DF2+PF2，DQ＝2t﹣5，
∴（5−45t）2+（35t）2＝（2t﹣5）2，
解得：t＝4或t＝0（舍去），
∴t＝4；
③当Q在BC上，∠DEQ＝90°时，连接DP，如图：
则DE⊥PQ，
∵E是PQ的中点，
∴DP＝DQ，
过P作PF⊥AB于F，过Q作QM⊥AB于M，
∵BQ＝2t﹣10，sinB=QMBQ=ACAB=810=45，csB=BMBQ=BCAB=610=35，
∴QM=45BQ=45×（2t﹣10）=85t﹣8，BM=35BQ=35×（2t﹣10）=65t﹣6，
∴DM＝BD﹣BM＝5﹣（65t﹣6）＝11−65t，
∵DP2＝DF2+PF2，DQ2＝QM2+DM2，
∴（35t）2+（45t﹣5）2＝（85t﹣8）2+（11−65t）2，
解得：t=203或t＝8（舍去），
∴t=203；
④∠DQE＝90°，如图：
过D作DN⊥BC于N，则DN∥AC，
∵D是AB的中点，
∴N是BC的中点，
∴CN＝BN=12BC＝3，DN是△ABC的中位线，
∴DN=12AC＝4，
∵∠ACB＝∠DQE＝90°，∠CQP+∠CPQ＝∠CQP+∠NQD＝90°，
∴∠CPQ＝∠NQD，
∵∠ACB＝∠QND＝90°，
∴△CPQ∽△NQD，
∴PCQN=CQND，
即8−t2t−10−3=16−2t4，
解得：t=152；
综上所述，当△DEO为直角三角形时，t的值为257或4或203或152．
23．【解答】解：（1）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，CB＝6，
∴AB=AC2+BC2=82+62=10，
∵D是AB的中点，
∴AD＝DB＝5，
当0＜t＜1时，DE＝5﹣5t，
当1＜t＜2时，DE＝5t﹣5，
综上所述，DE=5−5t(0＜t＜1)5t−5(1＜t＜2)；
（2）如图1中，当PQ⊥AB时，∠PEQ＝2∠PED，
∵PD⊥AB．AD＝DB，
∴PA＝PB，
设PA＝PB＝m，
在Rt△PCB中，PB2＝PC2+BC2，
∴m2＝（8﹣m）2+62，
∴m=254，
∴PC+BC＝AC+BC﹣AP＝14−254=314，
∴t=314÷7=3128；
（3）如图2中，
当PQ⊥AC时，DP的值最小，此时PQ的值最小，
∵DP∥BC．AD＝DB，
∴AP＝PC，
∴DP=12BC＝3，
过点E作ET⊥PD于T．
∵PC+BC＝4+6＝10，
∴t=107，
∴BE＝5t=507，
∴DE＝BE﹣BD=507−5=157，
∵DP∥BC，
∴∠EDT＝∠B，
∴sinB＝sin∠EDT，
∴ET157=810，
∴ET=127，
∴S△PEQ=12•QP•ET=12×6×127=367；
（4）如图3中，当点P在BC上时，设PF交AB于点J，设直线PE交QF于点K．
∵P，F关于AB对称，
∴PJ＝JF，
∵PD＝DQ，
∴DJ∥QF，
∵直线PE平分△PQF的面积，
∴QK＝KF，
∵DEQK=PEPK=EJKF，
∴DE＝EJ，
∵PB＝7t，BE＝5t，
∴BJ＝PB•csB=35×7t=215t，
∴5﹣5t＝5t−−215t，
∴t=2529（不合题意，舍弃）．
如图3﹣1时，当直线PE平分△PFQ的面积时，同法可证DE＝EJ．
5﹣5t=45（14﹣7t）﹣（10﹣5t），
解得t=1922，
如图4中，当直线PE平分△PFQ的面积时，同法可证DE＝EJ．
可得5t﹣5＝10﹣5t−45（14﹣7t），
解得，t=1922（不符合题意舍去）．
综上所述，满足条件的t的值为1922．
24．【解答】解：（1）由已知得BP=3t，
在Rt△BPQ中，∠BPQ＝90°，∠B＝30°，
∴PQ＝BP•tan30°＝t；
∴PQ的长为t；
（2）①当0＜t≤2时，如图：
重叠部分是△PQM，
由（1）知PQ＝t，即等边△PQM边长为t，
∴S=34t2；
②当2＜t＜3时，如图：
重叠部分是四边形PQFE，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，
∴BC＝33，
∴CP＝BC﹣BP＝33−3t，
∵∠EPC＝∠QPC﹣∠QPM＝30°，
∴PE=PCcs30°=33−3t32=6﹣2t，∠PEC＝90°﹣∠EPC＝60°＝∠FEM，
∴EM＝PM﹣PE＝PQ﹣PE＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6，
∵∠M＝60°，
∴△EMF是等边三角形，且边长是3t﹣6，
∴S＝S△PQM﹣S△EFM=34t2−34（3t﹣6）2＝﹣23t2+93t﹣93，
综上所述，S=34t2(0＜t≤2)−23t2+93t−93(2＜t＜3)；
（3）①P在BC上，当点M落在中线CK上时，如图：
此时Q与K重合，由K为AB中点知P是BC中点，
∴BP=12BC，即3t=332，
解得t=32；
②P在AB上，当点M落在中线CK上时，如图：
由已知得t＝3时，P运动到C，
∴CP＝1×（t﹣3）＝t﹣3，AP＝AC﹣CP＝3﹣（t﹣3）＝6﹣t，
∵∠APQ＝90°，∠A＝60°，
∴PQ=3AP=3（6﹣t），∠CPM＝90°﹣60°＝30°，
∴PM＝CP•cs∠CPM=32（t﹣3），
而PM＝PQ，
∴32（t﹣3）=3（6﹣t），
解得t＝5，
综上所述，t的值是32s或5s．
25．【解答】解：【问题解决】∵D是AB的四等分点，
∴ADAB=14，BDAB=34，
∵DF∥BC．DE∥AC，
∴ADAB=DFBC，BDAB=DEAC，
∴14=DF12，34=DE8，
∴DF＝3，DE＝6，
∵DF∥BC，DE∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴DF＝EC＝3，DE＝FC＝6，
∴四边形DECF的周长为18；
（1）连接AD，
由【问题解决】同理可得：四边形DECF是平行四边形，
∴DE＝AF，
∵AF＝AH，
∴DE＝AH，
∵DE∥AH，
∴∠DEG＝∠H，
又∵∠DGE＝∠AGH，
∴△DGE≌△HGA（AAS），
∴EG＝AG，
∵△AHG的面积为2，
∴S△DEG＝S△AGD＝S△AHG＝2，
∴S△ADE＝4，
∵DF∥AB，
∴CFAC=DFAB，
∵CFAF=32，
∴CFAC=DFAB=35，
∴BEAF=23，
∴S△BEDS△AED=23，
∴S△BED=23×4=83，
故答案为：83；
（2）连接DE，过点D作DG∥BE，交AC于G，
∵点F为AD的中点，EF∥DG，
∴AF＝DF，AE＝EG，
∴EF=12DG，
设EF＝x，则DG＝2x，
∵△AEF的面积为m，
∴S△DEF＝m，
∴S△DEG＝S△ADE＝2S△AEF＝2m，
∵DG∥BE，且BDDC=43，
∴CDBC=DGBE=37，
∴BE=143x，
∴BF＝BE﹣EF=143x−x=113x，
∴BFEF=113，
∴S△BDF=113S△DEF=113m，
故答案为：113m．
26．【解答】定理证明：延长CD至点E，使ED＝DC，连接AE，BE，如图，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴BD＝AD．
∵CD＝DE，
∴四边形ACBE为平行四边形．
∵∠ACB＝90°，
∴平行四边形ACBE为矩形．
∴AB＝CE．
∵CD=12CE，
∴CD=12AB．
解：（1）过点H作HK⊥NP与点K，如图，
∵∠PNQ＝90°，HK⊥NP，
∴QN∥HK．
∵点H是边PN中点，
∴HK为△PQN的中位线．
∴PK=12PQ．
∵PG=14PQ，
∴点G为PK的中点．
∵HK⊥NP，
∴HG为斜边KP上的中线．
∴HG=12PK=14PQ，
∵PQ＝10，
∴HG＝2.5．
（2）过点D作DG⊥AC，DH⊥BC，如图，
∵DG⊥AC，AC⊥BC，
∴DG∥BC．
∵D是边AB中点，
∴DG=12BC，
同理：DH=12AC．
∵AC＝BC，
∴DG＝DH．
∴四边形DGCH为正方形，
∴∠GDH＝90°．
∴∠GDF+∠FDH＝90°．
∵∠EDF＝90°，
∴∠GDF+∠EDG＝90°．
∴∠EDG＝∠FDH．
在△EDG和△FDH中，
∠EGD=∠FHD=90°GD=HD∠EDG=∠FDH，
∴△EDG≌△FDH（SAS）．
∴DE＝DF．
∴△EDF为等腰直角三角形．
当点E从点A运动到点C时，EF的中点M所经过的路径为AC，BC中点的连线，
即M所经过的路径为12AB．
∵AC＝BC＝4，∠C＝90°，
∴AB=2AC＝42．
∴EF的中点M所经过的路径长为22．
故答案为：22．
27．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，AB＝4，
∴BC=AC2−AB2=52−42=3．
故答案为：3．
（2）当0＜t＜35时，MN＝2（3﹣5t）＝6﹣10t．
当35＜t≤53时，MN＝2（5t﹣3）＝10t﹣6．
（3）①当MQ∥PN时，CMMN=CQPQ，
∵CQ＝PQ，
∴CM＝MN，
∴5t＝6﹣10t，
解得t=25，
此时MN＝6﹣10×25=2．
②如图1中，当NQ⊥AC时，∠CNQ＝∠A，此时CN＝MN．
在Rt△CPM中，CP＝3t，
∵△CPM∽△CBA，
∴CPCB=PMAB=CMAC，
∴3t3=PM4=CM5，
∴PM＝4t，CM＝5t，
∵M，N关于点B对称，
∴BM＝BN＝5t﹣3，
∴CN＝5t﹣2（5t﹣3），
∴5t﹣2（5t﹣3）＝2（5t﹣3），
∴t=45，
如图2中，当∠CNQ＝∠A时，过点Q作QH⊥BC于H．
∵CQ＝1.5t，
∴CH=35CQ=910t，QH=45CQ=65t，
∵BN＝BM＝5t﹣3，
∴CN＝5t﹣3﹣3＝5t﹣6，
∴NH＝CN+CH＝5t﹣6+910t=5910t﹣6，
∵tan∠CNQ=HQNH=34，
∴65t5910t−6=34，
∴t=6043，
经检验t=6043是分式方程的解，
综上所述，满足条件的t的值为45或6043．
如图，在△ABC中，D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12．求四边形DECF的周长．