2022年中考数学专题复习：解直角三角形（提高篇）

浙教版2022学年中考数学专题复习-解直角三角形（提高篇）

一、单选题

1．在 中，(2sinA-1)2+ =0，则 是（　　） 

A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定

2．如图，在 中， ，则 的值是（　　） 

A．2 B． C． D．

3．若直线y= x-4与x轴正方向的夹角为α，则cosα等于(　　) 

A． B． C． D．

4．如图， 中， ，BD、AC相交于点D， ， ， ，则 的面积是（　　） 

A． B． C． D．

5．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连结CD.若AD=3，AC=2，则cosB的值为（　　）

A． B． C． D．

6．如图，在四边形 中，E，F分别是 ， 的中点，若 ，则 等于（　　） 

A． B． C． D．

7．点关于y轴对称的点的坐标是（　　）

A． B． C． D．

8．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED＝（　　）

A． B． C． D．

9．如图，梯子地面的夹角为 ，关于 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（　　） 

A． 的值越小，梯子越陡

B． 的值越小，梯子越陡

C．梯子的长度决定倾斜程度

D．梯子倾斜程度与 的函数值无关

10．若角 都是锐角，以下结论：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 .其中正确的是(　　)  

A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④

二、填空题

11．若 为锐角，且 ，则 　     　°. 

12．已知某人沿着坡比为1:2的斜坡走了 ，则他升高了　     　 .

13．在△ABC中，∠A，∠C都是锐角，cosA＝，sinC＝，则∠B＝　     　．

14．如图，在 和 中， ， ， ， ．则下列四个结论：① ；② ；③ ；④在 绕点 旋转过程中， 面积的最大值为 其中正确的是 　     　．（填写所有正确结论的序号）

15．如图， 与正六边形 的边 ， 分别交于点 ， ，点 为劣弧 的中点．若 ，则点 到 的距离是　     　．

16．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边_PQ上，那么△PQR的周长等于　        　

17．如图，在 中， ， ， ，点D是边 上的动点，过点D作 于E点．请探究下列问题： 

（1）若 ，则 　     　； 

（2）若 ，设点F是边 上的动点，连接 、 ，以 、 为邻边作平行四边形 ，且使得顶点G恰好落在 边上，则 　     　． 

18．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则 的值=　     　，tan∠APD的值=　     　． 

三、解答题

19．先化简，再求代数式 ÷ ﹣ 的值，其中x=4sin60°﹣2． 

20．深圳市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的距离为57米，求教学楼BC的高度.（ ≈1.7） 

21．如图，在 中， ，AD是BC边上的高，若 ， ，求AC的长．

22．桑梯是我国古代发明的一种采桑工具，图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了桑梯，已知如图②所示，AB＝AC，BC＝1米，AD＝1.2米，∠CAB＝40°，求CD的长．（结果精确到0.1米，参考数据：sin70°＝0.94，cos70°＝0.34，tan70°＝2.75）

23．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向以20海里/小时的速度前去拦截.问：经过多少小时，海监执法船恰好在C处成功拦截.

24．2022年北京冬季奥运会日益临近，国家跳台滑雪中心建设已初具规模，国家跳台滑雪中心的赛道 线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的 形曲线契合，被形象地称为“雪如意”.“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台 、中部的大跳台腾空起点 、赛道 、底部的看台区 组成.为有效进行工程施工监测，现在 处设置了监测标志旗（标志旗高度忽略不计）， 赛道可近似视作坡度为 的一段坡面，通过 高程测量仪测得 点、 点的海拔高度差（即 ）是160米，从顶峰平台 点俯视 处的标志旗，俯角约为 .由 处释放的遥控无人机竖直上升到与平台 水平位置 后，遥感测得 之间距离为152米，若图中各点均在同一平面，则 赛道长度约为多少米.（参考数据： ， ， ）

四、综合题

25．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q，与AC相交于点M，CD是⊙O的切线．

（1）求证：∠Q＝∠DCQ；

（2）若sin∠Q＝，AP＝4，MC＝6，求PB的长．

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】B

3．【答案】C

4．【答案】D

5．【答案】B

6．【答案】C

7．【答案】C

8．【答案】B

9．【答案】B

10．【答案】C

11．【答案】26

12．【答案】

13．【答案】60°

14．【答案】①②④

15．【答案】

16．【答案】27+13

17．【答案】（1）

（2）

18．【答案】3；2

19．【答案】解：

= 

= 

=  ，

当x=4sin60°－2=4× = －2时，

原式=  ．

20．【答案】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，

由题意得AB=57米，DE=30米，∠DAB=30°，∠DCF=45°，

在Rt△ADE中，tan∠DAE= ，

∴AE= ≈51（米），

∵AB=57米，

∴BE=AB-AE=6（米），

∵CB⊥BE，FE⊥BE，CF⊥EF，

∴四边形BCFE为矩形，

∴CF=BE=6（米），

在Rt△DFC中，∠CDF=45°，

∴DF=CF=6（米），

∴BC=EF=DE-DF=30-6=24（米）.

答：教学楼BC的高度约为24米.

21．【答案】解：根据题意，

∵ ，AD是BC边上的高，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

在 中， ，

∴ ，

∴ ．

22．【答案】解：过A作于E，

，

，

，

，

，

（米），

在中，，

（米），

米，

∴CD=AD+AC=1.2+1.47=2.67≈2.7米．

（米）．

23．【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，

∵∠BAC＝75°−30°＝45°，

∴△ACD是等腰直角三角形，

∴AD＝CD，

∴AC＝ CD，

∵BC AE，

∴∠DBC＝∠BAE＝90°−30°＝60°，

∴∠BCD＝30°，

∴BC＝2BD，AD＝CD＝ ，

∵AD−BD＝AB，

∴  海里，

解得：BD＝10   海里，

∴CD＝   海里，

∴AC＝ CD   （海里），

∴ 小时

答：经过 小时，海监执法船恰好在C处成功拦截.

24．【答案】解：由题意可得：四边形ADMH是矩形，

∴DM＝AH＝160米，

Rt△ADC中，∠DAC＝37°，

∴DC＝AD•tan37°＝152×0.75＝114米，

∴CM＝DM-DC＝160−114＝46米，

∵CE的坡度为1：2.4，

∴CM：ME＝1：2.4，ME＝110.4，

∴CE＝ 米.

25．【答案】（1）证明：连接OC，如图所示：

∵CD是⊙O的切线，

∴∠DCO＝90°，

∴∠DCQ+∠OCB＝90°，

∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠B，

∴∠DCQ+∠B＝90°，

∵QP⊥AB，

∴∠B+∠Q＝90°，

∴∠Q＝∠DCQ；

（2）解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠A+∠B＝90°，

∵PQ⊥AB，

∴∠QPB＝90°，

∴∠Q+∠B＝90°，

∴∠A＝∠Q，

∵，

∴＝＝，

∴设PM＝3a，AM＝5a，

∴AP＝＝4a，

∵AP＝4，

∴4a＝4，

∴a＝1，

∴AM＝5，

∴AC＝11，

在Rt△ACB中，sin∠A＝＝，

∴设BC＝3k，AB＝5k，

∴AC＝4k＝11，

∴k＝，

∴AB＝，

∴PB＝AB﹣AP＝．