2022年中考数学专题复习+反比例函数压轴题专练

这是一份2022年中考数学专题复习+反比例函数压轴题专练，共41页。试卷主要包含了如图1，一次函数y＝kx﹣3，综合与探究等内容，欢迎下载使用。

2022中考数学专题复习 反比例函数压轴题专练
1．如图1，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴的正半轴上，点B（4，3），反比例函数y＝kx（x＞0）的图象与AB、BC分别交于D、E两点，BD＝1，点P是线段OA上一动点．

（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）如图2，连接PE、PD，求PD+PE的最小值；
（3）如图3，当∠PDO＝45°时，求线段OP的长．
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCBA的顶点C，A分别在x轴，y轴的正半轴上，反比例函数y=kx(x>0)的图象与AB，BC分别交于D，E，且顶点B(6,3)，BD=2．

（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）连接DE，AC，判断DE与AC的数量和位置关系并说明理由
（3）点F是反比例函数y=kx(x>0)的图象上的一点，且使得∠AEF=45°，求直线EF的函数关系式．
3．如图，四边形OABC为正方形，反比例函数y=kx的图象过AB上一点E，BE=2，AEOE=35．

（1）求k的值．
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y=ax+b过点D及线段AB的中点F，探究直线OF与直线DF的位置关系，并证明．
（3）点P是直线OF上一点，当PD＋PC的值最小时，求点P的坐标．
4．如图1，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝mx（x＞0）的图象交于点A（8，1）．

（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当CD等于6时，求点C的坐标和△ACD的面积；
（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O'CD'，若点O的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点O'，D'的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（3，0），四边形OABC为平行四边形，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点C，与边AB交于点D，若OC=22，tan∠AOC=1．

（1）求反比例函数解析式；
（2）点P（a，0）是x轴上一动点，求|PC-PD|最大时a的值；
（3）连接CA，在反比例函数图象上是否存在点M，平面内是否存在点N，使得四边形CAMN为矩形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
6．已知反比例函数y=kx的图象经过点A（6，1）．

（1）求该反比例函数的表达式；
（2）如图，在反比例函数y=kx在第一象限的图象上点A的左侧取点C，过点A作x轴的垂线交x轴于点H，过点C作y轴的垂线CE，垂足为点E，交直线AH于点D．
①过点A、点C分别作y轴、x轴的垂线，两条垂线相交于点B，求证：O、B、D三点共线；
②若AC=2CO，求证：∠OCE=3∠CDO．
7．如图，直线 y=−x+3 与反比例函数 y=2x(x>0) 的图象交于A，B两点.

（1）求点A，B的坐标；
（2）如图1，点E是线段AC上一点，连接OE，OA，若 ∠AOE=45° ，求 AEEC 的值；
（3）如图2，将直线AB沿x轴向右平移m个单位长度后，交反比例函数 y=2x(x>0) 的图象于点P，Q，连接AP，BQ，若四边形ABQP的面积恰好等于 m2 ，求m的值.

8．如图，直线y1=k1x+b与双曲线y2=k2x在第一象限内交于A,B两点，已知A(1,m),B(2,1)．

（1）求k2的值及直线AB的解析式．
（2）根据函数图象，直接写出不等式y2>y1的解集．
（3）设点是线段AB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D,E是y轴上一点，当△PED的面积为98时，请直接写出此时点P的坐标．
9．如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足a+1+（a+b+3）2＝0，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y＝kx上经过C、D两点．

（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）求反比例函数表达式；
（3）点P在双曲线y＝kx上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；
（4）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，MNHT的值是否发生改变？若改变，直接写出其变化范围；若不改变，请直接写出其值．
10．综合与探究
如图，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，边OA，OC分别落在x轴和y轴上，顶点B的坐标（8，4），点D是边BC上一动点，过点D作反比例函数y=kx(x>0)的图象与矩形OABC的边AB交于点E．

（1）如图1，连接DE，AC，若BD:BC=3:4．
①填空：点D的坐标为 ▲ ，点E的坐标为 ▲ ；
②请判断线段DE与AC的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，连接OB，OD，若线段OB平分∠DOA．
①求k的值；
②若动点M在y轴上运动，当线段ME与MD的差最大时，请直接写出点M的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，顶点C，D在第一象限内，正比例函数y1＝3x的图象经过点D，反比例函数y2=kx(x>0)的图象经过点D，且与边BC交于点E，连接OE，已知AB＝3．

（1）点D的坐标是 　 　；
（2）求tan∠EOB的值；
（3）观察图象，请直接写出满足y2＞3的x的取值范围；
（4）连接DE，在x轴上取一点P，使S△DPE=98，过点P作PQ垂直x轴，交双曲线于点Q，请直接写出线段PQ的长．
12．如图，过原点的直线y＝2x交反比例函数y1＝2x于B点，交反比例函数y2＝kx于C点，且OB＝BC，A点横坐标为4且为y1＝2x上一点，过B点作BD⊥x轴，垂足为点D.

（1）求反比例函数y2＝kx与直线AD的解析式
（2）是否反比例函数y2＝kx图象在第一象限内存在一点P，使得S△ABP＝511S四边形ADBP，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
（3）若动点Q在图象y2＝kx上，在平面内是否存在点H，使得A、B、Q、H四点能组成以AB为边的矩形？若存在，请直接写出H点的坐标；若不存在，请说明理由.
13．（性质认识）
如图，在函数 y=kx 的图象上任取两点 A 、 B 向坐标轴作垂直，连接垂足 C 、 D 或 E 、 F ，则一定有如下结论： AB//CD ， AB//EF .

（1）（数学理解）如图①，借助（性质认知）的结论，猜想 AM　 　BN （填“>”、“=”或“<”）；
（2）如图②，借助（性质认知）的结论，证明： AM=BN ；
（3）（问题解决）如图③，函数 y=kx(k>0) 的图象与过原点的直线相交于 B 、 D 两点，点 A 是第一象限内图象上的动点（点 A 在点 B 的左侧），直线 AB 分别交于 y 轴、 x 轴于点 C 、 E ，连接 AD 分别交 y 轴、 x 轴于点 M 、 N .请证明： AC=AM .

（4）在第（3）问中，若 AC=2AB ，则 AMAD=　 　.
14．如图，在平面直角坐标系中，直线 y=33x ，与反比例函数 y=kx 在第一象限内的图象相交于点 A(m,3) ．

（1）求该反比例函数的表达式；
（2）将直线 y=33x 沿y轴向上平移，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B，与y轴交于点C，若 CBOA=13 ，连接 AB,OB ．请判断 AB 与 OA 的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，在射线 OA 上是否存在一点P，使 △PAB 与 △BAO 相似，若存在，请直接写出P点坐标；不存在，请说明理由．
15．如图1，已知一次函数 y=−2x+8 的图象分别与x轴和y轴交于点A、点B，与反比例函数 y=k1x 的图象相交于点 C(2,m)．

（1）求点C的坐标和反比例函数 y=k1x 的表达式；
（2）如图2，点M为线段 BC 的中点，将线段 CM 向左平移 n(n>0) 个单位后，点C和点M的对应点 C′ 和 M′ 都落在另一个反比例函数 y=k2x 的图象上．
①求点M的坐标及n的值；
②连接 OM′,MC,CC′,C′O ，求四边形 OM′CC′ 的面积．
16．如图1，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，函数 y=kx （k＞0，x＞0）的图象与BC边相交于点M（点M不与点B、C重合），与AB边相交于点N， CMCB=i .

（1）若点B的坐标为（4，2），i＝0.5，求k的值和点N的坐标；
（2）连接OB，过M作MQ⊥OB，垂足为Q；
①如图2.当k＝1， i=13 时，设OB长为p，MQ长为q，求p与q的函数关系式；
②如图3，连接NQ，记四边形OANQ，△NQB，△QBM，四边形MCOQ的面积分别为S1、S2、S3、S4.判断S1+S3与S2+S4的数量关系，并说明理由.
17．如图①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y= kx (x＞0)的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y=kx+b经过点E和点F．

（1）写出中点D的坐标　 　，并求出反比例函数的解析式；
（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；
（3）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ 55ON的最小值．
18．如图，过原点的直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝ kx （k＜0）的图象交于A、B两点，点A在第二象限，且点A的横坐标为﹣1，点D在x轴负半轴上，连接AD交反比例函数图象于另一点E，AC为∠BAD的平分线，过点B作AC的垂线，垂足为C，连接CE，若AD＝2DE，△AEC的面积为 32 .

（1）根据图象回答：当x取何值时，y1＜y2；
（2）求△AOD的面积；
（3）若点P的坐标为（m，k），在y轴的轴上是否存在一点M，使得△OMP是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
19．如图，在平面直角坐标系中，直线 y=kx−10 经过点 A(12,0) 和 B(a,−5) ，双曲线 y=mx(x>0) 经过点B．

（1）求直线 y=kx−10 和双曲线 y=mx 的函数表达式；
（2）点C从点A出发，沿过点A与y轴平行的直线向下运动，速度为每秒1个单位长度，点C的运动时间为t（0＜t＜12），连接BC，作BD⊥BC交x轴于点D，连接CD，
①当点C在双曲线上时，求t的值；
②在0＜t＜6范围内，∠BCD的大小如果发生变化，求tan∠BCD的变化范围；如果不发生变化，求tan∠BCD的值；
③当 DC=136112 时，请求出t的值．
20．已知双曲线y＝ 2x 与直线y＝x相交于AB两点，点C（2，2）、D（﹣2，﹣2）在直线上．

（1）若点P（1，m）为双曲线y＝ 2x 上一点，求PD﹣PC的值；
（2）若点P（x，y）（x＞0）为双曲线上一动点，请问PD﹣PC的值是否为定值？请说明理由；
（3）若点P（x，y）（x＞0）为双曲线上一动点，连接PC并延长PC交双曲线另一点E，当P点使得PD﹣CE＝2PC时，求P的坐标．

参考答案
1．【答案】（1）解：∵点B的坐标为（4，3），
∴OC=AB=3，OA=BC=4．
∵BD=1，
∴AD=2，
∴点D的坐标为（4，2）．
∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象过点D，
∴k=4×2=8，
∴反比例函数的关系式为y=8x．
当y=3时，3=8x，解得：x=83，
∴点E的坐标为（83，3）；
（2）解：在图2中，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P，连接PD，此时PD+PE取得最小值，最小值为D′E．

∵点D的坐标为（4，2），
∴点D′的坐标为（4，-2）．
又∵点E的坐标为（83，3），
∴D′E=(4−83)2+(−2−3)2=2413．
∴PD+PE的最小值为2413；
（3）解：在图3中，过点P作PF⊥OD于点F，则△PDF为等腰直角三角形．

∵OA=4，AD=2，
∴OD=OA2+AD2=25．
设AP=m，则OP=4-m，
∴PD=AD2+AP2=4+m2．
∵△PDF为等腰直角三角形，
∴DF=PF=22PD=8+2m22，
∴OF=OD-DF=25−8+2m22．
∵OF2+PF2=OP2，即(25−8+2m22)2+(8+2m22)2=(4−m)2，
整理得：3m2+16m-12=0，
解得：m1=23，m2=-6（不合题意，舍去），
∴OP=4-m=103．
2．【答案】（1）解：∵B（6，3），BD＝2
∴D（4，3）
∵y＝kx过点D（4，3）
∴k＝4×3＝12
∴反比例函数关系式为y=12x
∵B（6，3）
∴可设E（6，n），将点E的坐标代入解析式，
∴n＝2
∴E（6，2）
（2）解：DE∥AC，DE＝13AC，理由如下：

∵B（6，3），D（4，3），E（6，2），
∴BD＝2，AB＝6，BE＝1，BC＝3，
∴BDAB=BEBC
∵∠DBE＝∠ABC
∴△BDE∽△BAC
∴DEAC=BDBA=13，∠BDE＝∠BAC
∴DE∥AC
∴DE∥AC，DE＝13AC
（3）解：作AG⊥AE，交EF于点G，设G(x,y) ，作GM⊥y轴交y轴于点M，EN⊥y轴交y轴于点N，

∵B（6，3），E（6，2），
∴MG＝x，MA＝y-3，AN＝1，EN＝6，
∵∠AEF＝45°，∠EAG＝90°
∴∠AEG＝∠AGE＝45°
∴AG＝AE
∵∠MGA＋∠MAG＝90°，∠MAG＋∠EAN＝90°
∴∠MGA＝∠NAE
在△MGA和△NAE中
∠MGA=∠NAE∠AMG=∠ENA=90°AG=AE
∴△MGA ≌△NAE(AAS)
∴MG＝AN＝1，AM＝NE
∴x=1y−3=6
∴x=1y=9
∴G（1，9）
∵E（6，2）
∴yEG=−75x+525
3．【答案】（1）解：∵四边形OABC是正方形，
∴AO=AB，∠OAB=90°，
∵AEOE=35，
设AE=3x，则OE=5x，由勾股定理得AO=4x，
∴3x+2=4x，
∴x=2，
∴AE=3x=6，AO=4x=8，
∴点E坐标为（6，8），
∴k=6×8=48；
（2）解：OF⊥DF，理由如下：
将x=8代入y=48x得y=6，
∴D（8，6），
∴BD=BC-CD=8-6=2，
∵点F是线段AB的中点，
∴AF=BF=4，
∵AFAO=12=BDBF，∠OAF=∠FBD=90°，
∴△AOF∽△BFD，
∴∠AOF=∠BFD，
∴∠AFO+∠BFD=∠AFO+∠AOF=90°，
∴∠OFD=180°-（∠AFO+∠BFD）=90°，
∴OF⊥DF；
（3）解：延长DF交y轴于点G，连接CG交OF于点P，则点P为所求作点，

∵四边形OABC为正方形，∠AFG=∠BFD，AF=BF，
∴△AFG≌△BFD（AAS），
∴AG=BD=2，GF=DF，
由（2）得OF⊥DF，
∴OF为线段DG的垂直平分线，
∴PD＋PC的最小值=PG＋PC=CG，
∵OC=OA=8，
∴C（8，0），G（0，10），
设直线CG解析式为y=mx+n，代入C（8，0），G（0，10），
得8m+n=0n=10，解得m=−54n=10，
∴y=−54x+10
设直线OF为y=ax，代入F（4，8），
∴a=2，
∴y=2x，
联立直线OF、CG得y=2xy=−54x+10，解得x=4013y=8013，
∴点P的坐标为(4013，8013)．
4．【答案】（1）解：∵点A（8，1）在直线y=kx−3上，
∴1=8k−3，
解得：k=12，
∴一次函数解析式为y=12x−3，
∵A（8，1）在y=mx（x＞0）的图象上，
∴1=m8，
解得：m=8，
则反比例函数解析式为y=8x；
（2）解：设C（a，12a−3）（0＜a＜8），则有D（a，8a），
∴CD=8a−（12a−3）=8a−12a+3，
∵CD=6，
∴8a−12a+3=6，
解得：a=−8（舍去）或a=2，
∴12a−3=1−3=−2，
∴C（2，-2），
过A作AE⊥CD于点E，则AE=8-2=6，

∴S△ACD=12CD•AE=12×6×6=18；
（3）解：连接OO'，由平移可得：OO'∥AC，

∴直线OO'的解析式为y=12x，
联立得：y=8xy=12x，
解得：x=4y=2或x=−4y=−2（不合题意，舍去），
∴O'（4，2），
即O（0，0）通过往右平移4个单位，往上平移2个单位得到O'（4，2），
又由（2）中知D坐标为（2，4），
∴点D（2，4）往右平移4个单位，往上平移2个单位得到D'（6，6）．
5．【答案】（1）解：如图1，过点C作CE⊥x轴于E，

∴∠CEO=90°，
∵tan∠AOC=1，
∴∠COA=45°，
∴∠OCE=45°，
∵OC=22，
∴OE=CE=2，
∴C（2，2），
∵点C在反比例函数图象上，
∴k=2×2=4，
∴反比例函数解析式为y=4x；
（2）解：∵点C（2，2），点O（0，0），
∴OC解析式为：y=x，
∵四边形OABC是平行四边形，点A坐标为（3，0），
∴BC=OA=3，BC∥OA，AB∥OC，
∴点B（5，2），
∴设AB解析式为：y=x+b，
∴2=5+b，
∴b=-3，
∴AB解析式为：y=x-3，
联立方程组可得：y=4xy=x−3，
∴x=4y=1或x=−1y=−4（舍去），
∴点D（4，1）；
在△PCD中，|PC-PD|＜CD，则当点P，C，D三点共线时，|PC-PD|=CD，此时，|PC-PD|取得最大值，
由（1）知C（2，2），D（4，1），设直线CD的解析式为：y=mx+n，
∴3m+n=24m+n=1，解得m=−12n=3，
∴直线CD的解析式为：y=−12x+3，
令y=0，即−12x+3=0，得x=6，
∴|PC-PD|最大时a的值为6；
（3）解：存在，理由如下：
若四边形CAMN为矩形，则△CAM是直角三角形，
则①当点A为直角顶点时，如图2，过点A作AC的垂线与y=4x交于点M，分别过点C，M作x轴的垂线，垂足分别为点F，G，

由“一线三等角”模型可得△AFC∽△MGA，
则AF：MG=CF：AG，
∵C（2，2），A（3，0），
∴OF=CF=2，AF=1，
∴1：MG=2：AG，即MG：AG=1：2，
设MG=t，则AG=2t，
∴M（2t+3，t），
∵点M在反比例函数y=4x的图象上，
则t（2t+3）=4，
解得t=−3+414，（负值舍去），
∴M（3+412，−3+414）；
②当点C为直角顶点时，这种情况不成立；
综上，点M的坐标为（3+412，−3+414）．
6．【答案】（1）解：∵反比例函数y=kx的图象经过点A（6，1），
∴1=k6，
∴k=6，
∴反比例函数的解析式为y=6x．
（2）证明：①过点C作CM⊥x轴于M，过点A作AN⊥y轴于N，CM交AN于点B，连接OB．

∵A（6，1），点C在y=6x的图象上，
设C（t，6t），则B（t，1），D（6，6t），
∴tan∠BOM=BMOM=1t，tan∠DOH=DHOH=6t6=1t，
∴tan∠BOM=tan∠DOH，
∴∠BOM=∠DOH，
∴O、B、D三点共线．
②设AC交BD于J．
∵CD⊥y轴，AB⊥y轴，
∴CD∥AB，
∵CM⊥x轴，DH⊥x轴，
∴CB∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC=2CJ，BD=2JD，AC=BD，
∴CJ=JD．
∴∠JCD=∠CDO
∵AC=2CO，
∴CO=CJ，
∴∠COD=∠CJO，
∵∠CJO=∠JCD+∠CDO=2∠CDO，
∴∠COD=2∠CDO．
∴∠OCE=∠COD＋∠CDO=3∠CDO．
7．【答案】（1）解：有题意得， y=−x+3y=2x
∴−x+3=2x
解得 x1=1 ， x2=2
y1=2 ， y2=1 ，
∴A(1,2) ， B(2,1)
（2）解：∵y=−x+3 交x轴于点C
∴C(3,0) ，
∵∠OCA=∠AOE=45° ， ∠OAE=∠CAO
∴△AOE∽△ACO ，
∴AOAE=ACAO
∴AO2=AE⋅AC
∵A(1,2) ， C(3,0) ，
∴AO=22+12=5 ，
AC=22+22=8=22 ，
∴AE=AO2AC=524 ， EC=324 ，
∴AEEC=53

（3）解：设平移后 yPQ=−x+3+m ，如图，

过点D作DF⊥PQ于点F，
则ED=m，DF= 2m2
SABPQ=(AB+PQ)⋅2m22=2m(2+PQ)4=m2
∴2+PQ=22m ，
∴PQ= 22m - 2
有题意得， y=−x+3+my=x2
解得， x1=m+3+m2+6m+12 ， x2=m+3−m2+6m+12 ，
∴QH=x1-x2= m2+6m+1 ，
∴PQ=2m2+6m+1 ，
∴2m2+6m+1 = 22m - 2
∴m2+6m+1=4m2−4m+1 ，
∴解得 m1=0 （舍）， m2=103 ，
即 m=103
8．【答案】（1）解：∵点B(2,1)在双曲线y2=k2x上，
∴k2=2×1=2，
∴双曲线的解析式为y2=2x.
∵A(1,m)在双曲线y2=2x，
∴m=2，
∴A(1,2).
∵直线AB:y1=k1x+b过A(1,2)、B(2,1)两点，
∴k1+b=22k1+b=1，解得k1=−1b=3
∴直线AB的解析式为y=−x+3
（2）解：不等式y2>y1的解集为02.
（3）解：点P的坐标为(32,32).
9．【答案】（1）﹣1；﹣2
（2）解：∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），
∵E为AD中点，
∴xD＝1，
设D（1，t），
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴C（2，t﹣2）．
∴t＝2t﹣4．
∴t＝4．
∴D（1，4），
∵D（1，4）在双曲线y＝kx上，
∴k＝xy＝1×4＝4．
∴反比例函数的解析式为y＝4x；
（3）解：Q1（0，6）；Q2（0，﹣6）；Q3（0，2）
（4）解：MNHT为定值，等于12．
10．【答案】（1）解：①（2，4）|（8，1）
②由①可知，BE=3，BD=6，
∴tan∠BDE=BEBD=36=12；tan∠BCA=ABBC=48=12，
∴∠BDE=∠BCA，
∴DE∥CA；
（2）解：①∵OB平分∠DOA，
∴∠AOB=∠DOB，
∵OA∥BC，
∴∠AOB=∠CBO，
∴∠DOB=∠CBO，
∴BD=OD，
设CD=x，则BD=OD=8−x，
在直角△ODC中，由勾股定理，则
OD2=CD2+OC2，
∴(8−x)2=x2+42，
∴CD=x=3，
∴点D的坐标为（3，4）；
∴k=3×4=12；
②（0，112）
11．【答案】（1）(1,3)
（2）解：∵反比例函数y2=kx(x>0)的图象经过点D，
∴k=1×3=3
∴y2=3x
∵E点的横坐标为1+3=4
∴E（4，y），代入y2=3x得到EB=34
∴tan∠EOB=EBOB=316
（3）0 （4）12或34
12．【答案】（1）解：联立方程组得，y=2xy=2x
解得，,x1=1y1=2，x2=−1y2=−2
∴B(1,2)
∵BD⊥x轴，
∴D(1,0)
∴BD=2,OD=1.
当x=4时，y1=24=12
∴A(4,12)
过点C作CE⊥x轴于点E，

∴BD//CE
∴ΔBOD∼ΔCOE
∴OBOC=BDCE=ODOE
∵OB=BC，BD=2
∴2CE=1OE=12
∴CE=4，OE=2
∴C(2,4)
代入y2=kx得，k2=4
∴k=8
∴y2=8x
设直线AD的解析式为y=kx+b
把（1，0），（4，12）代入得k+b=04k+b=14
解得，k=16b=−16
∴直线AD的解析式为y=16x−16
（2）解：∵A(4,12),B(1,2),D(1,0)
∴SΔABD=12BD⋅|xA−xB|，AB=(4−1)2+(12−2)2=354
设直线AB的解析式为y=mx+n
把A(4,12),B(1,2)代入得，m+n=24m+n=12
解得，m=−12n=52
∴直线AB的解析式为y=−12x+52
过P作PR⊥x轴，交AB于点F，

∴SΔABP=SΔAFP+SΔBFP
=12PF⋅|xP−xB|+12PF|x4−xP|
=12PF⋅|xA−xB|
∵S△ABP＝511S四边形ADBP，
∴SΔABP=56SΔABD
∴PF=56BD=56×2=53
设P(x,8x),F(x,−12x+52)
∴PF=8x−(−12x+52)=8x+12x−52=53
整理，得：3x2−25x+48=0
解得，x1=163,x2=3.
经检验，x1=163,x2=3是原方程的根
∴P1(163,32),P2(3,83)
（3）存在点H（5，52），(1,−11′2)，(−9+4818,−9+4814)，(27−4818,−9−4814)使得A、B、Q、H四点能组成以AB为边的矩形
13．【答案】（1）=
（2）证明： ∵AC⊥x 轴，
∴AC∥MD，
∵AB∥CD，
∴ 四边形 ACDM 是平行四边形，
∴AM=CD ，
∵BD⊥y轴，
∴CN∥BD，
∵AB//CD ，
∴四边形 BDCN 是平行四边形，
∴BN=CD ，
∴AM=BN ；
（3）证明：过点A作 AQ⊥y 轴于点 Q ，过点 D 、点 B 分别作 DP 、 BF⊥x 轴于点 P 、点 F ，连接 QP 、 QF .

∵【性质认识】AB∥QF，AD∥QP，
∴∠ACM=∠FQO ， ∠AMC=∠PQO ，
∵B 、 D 关于原点中心对称，
∴OP=OF ，
在△QOP和△QOF中
OP=OF∠QOP=∠QOFQO=QO ，
∴△QOP≌△QOF(SAS)
∴∠PQO=∠FQO ，
∴∠ACM=∠AMC ，
∴AC=AM .
（4）4−27
14．【答案】（1）解：∵点A（m，3）在直线 y=33x 上，
∴3=33m ，
∴m＝3 3 ，
∴点A（3 3 ，3），
∵点A（3 3 ，3）在反比例函数 y=kx 上，
∴k＝3 3 ×3＝9 3 ，
∴y=93x ；
（2）解：作BE⊥y轴于E，AF⊥y轴于F．

∴∠BEO＝∠AFO＝90°，
∵BC∥AO，
∴∠ECB＝∠FOA，
∴△BCE∽△AOF，
∴BCAO=BEAF ，即： 13=BE33
∴BE= 3 ，
∴B（ 3 ，9），
∴OA2＝36，OB2＝84，AB2＝48，
∴OA2＋AB2＝OB2，
∴∠OAB＝90°，
∴OA⊥AB．
（3）（7 3 ，7）或（6 3 ，6）
15．【答案】（1）解：把 C(2,m) 代入 y=−2x+8 ，得 m=−2×2+8=4 ，
∴C(2,4) ．
把 C(2,4) 代入 y=k1x ，得 k1=2×4=8 ，
∴y=8x ．
（2）解：①把 y=0 代入 y=−2x+8 ，得 x=4 ，
∴B(4,0) ．
∵2+42=3,0+42=2 ，
∴点 M(3,2) ．
由题意可知 C′(2−n,4) 和 M′(3−n,2)
∵C′ 和 M′ 都落在反比例函数 y=k2x 的图象上，
∴k2=4(2−n)=2(3−n) ．
解得 n=1 ．
②各点坐标分别为： C′(1,4),M′(2,2),C(2,4)
由各点坐标可知： CC′//x 轴， CM′//y 轴，
延长 CM′ 交x轴于点E，延长 CC′// 交y轴于点F，
则四边形 C′FOE 是矩形．

S四边形OM′CC′=S矩形OEC−S△OEM′−S△OFC′
=2×4−12×2×2−12×4×1=4 .
16．【答案】（1）解：∵点B的坐标为（4，2）
∴CM＝i•BC＝0.5×4＝2
∴M的坐标为（2，2）
把点M（2，2）的坐标代入y＝ kx 得：2＝ k2 ，解得：k＝4，即y＝ 4x .
当x＝4时，y＝ 44 ＝1，
∴k＝9，点N的坐标为（6，1）；
（2）解：①连接OM，设点M的坐标为（m， 1m ），

则CM＝m，BC＝ CMi ＝3m，BM＝2m，CO＝ 1m ，
∵S△OMB＝ 12 ×CO•BM＝ 12 OB×MQ，
∴pq＝2m× 1m ＝2，
故p＝ 2q ；
②连接OM、ON，作ND⊥OB于点D，

设点M的坐标为（m， km ），则点B的坐标为（ mi ， km ）.
∴MB＝ mi ﹣m＝ m(1−i)i ，OC＝ km ，
∴S△OBM＝ m(1−i)i−km2 ＝ k−ki2i ，
把x＝ mi 代入y＝ km 得y＝ kim ，即点N的坐标为（ mi ， kim ），
∴BN＝ km ﹣ kim ＝ k−kim ，AO＝ mi ，
∴S△OBN＝ k−kim−mi2 ＝ k−ki2i ，
∴S△OBM＝S△OBN，即 12 ×OB•MQ＝ 12 OB•ND，
∴MQ＝ND，
∴S2＝S3，
∵四边形OABC是矩形，
∴OC＝AB，AO＝BC，∠OCB＝∠OAB＝90°，
∴S1+S2＝S3+S4，
∴S1+S3＝S2+S4.
17．【答案】（1）解：D( 32 ，2) 在矩形ABCO中，∵OA=BC=4，OC=AB=3， ∴B(3，4)． ∵OD=DB， ∴D( 32 ，2)． ∵y= kx 经过D( 32 ，2)， ∴k=3， ∴反比例函数的解析式为y= 3x ．
（2）解：如图①中，连接OE，OF．

由题意E( 34 ，4)，F(3，1)，
∴S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB=12﹣ 12 ×4× 34 ﹣ 12 ×3×1﹣ 12 ×3×(3﹣ 34 )= 458 ．
（3）解：如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．

由题意OB=OH=5，
∴CH=OH﹣OC=5﹣3=2，
∴BH= BC2+CH2=42+22 =2 5 ，
∴sin∠CBH= CHBH = 55 ．
∵OM⊥BH，
∴∠OMH=∠BCH=90°．
∵∠MOH+∠OHM=90°，∠CBH+∠CHB=90°，
∴∠MOH=∠CBH．
∵OB=OH，OM⊥BH，
∴∠MOB=∠MOH=∠CBH，
∴sin∠JOD= 55 ，
∴NJ=ON•sin∠NOD= 55 ON，
∴NH+ 55 ON=NH+NJ，
根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN+ 55 ON的值最小，最小值=HK的长．
∵OB=OH，BC⊥OH，HK⊥OB，
∴HK=BC=4，
∴HN+ 55 ON是最小值为4．
18．【答案】（1）解：∵直线 y1 ＝mx（m≠0）与反比例函数 y2=kx （k＜0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为﹣1，
∴点A，点B关于原点对称，
∴点B的横坐标为1，
∴当x取﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2；
（2）解：连接OC，OE，

由图象知，点A，点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴OC＝ 12 AB＝AO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC为∠BAD的平分线，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴AD//OC，
∴SΔAEO=SΔACE=32 ，
∵AD＝2DE，
∴AE＝DE，
∴SΔAOD=2SΔAOE=3 ；
（3）解：作EF⊥x轴于F，作AH⊥x轴于H，如上图，
则EF//AH，
∵AD＝2DE，
∴DE＝EA，
∵EF//AH，
∴DFFH=DEEA=1 ，
∴DF＝FH，
∴EF是△DHA的中位线，
∴EF＝ 12 AH，
∵SΔOEF=2SΔOAH=−k2
∴OF•EF＝OH•HA，
∴OH＝ 12 OF，
∴OH＝HF，
∴DF＝FH＝HO＝ 13 DO，
∴SΔOAH=13SΔADO=13×3=1 ，
∴−k2=1 ，
∴k＝﹣2，
∴y＝ −k2 ，
∵点A在y＝ −k2 的图象上，
∴把x＝﹣1代入得，y＝2，
∴A（﹣1，2），
∵点A在直线y＝mx上，
∴m＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣2），
在y轴上找到一点M，使得△OMP是直角三角形，
当∠OMP＝90°时，PM⊥y轴，
则OM＝2，
∴点M的坐标为（0.﹣2）；
当∠OPM＝90°时，过P作PG⊥y轴于G，则△OPM是等腰直角三角形，
∴OM＝2PG＝4，
∴点M的坐标为（0.﹣4）；
综上所述，点M的坐标为（0.﹣2）或（0，﹣4）.
19．【答案】（1）解：∵直线 y=kx−10 经过点 A(12,0) 和 B(a,−5)
∴将点 A(12,0) 代入得 12k−10=0
解得 k=56
故直线的表达式为 y=56x−10
将点 B(a,−5) 代入直线的表达式得 56a−10=−5
解得 a=6
∴B(6,−5)
∵双曲线 y=mx(x>0) 经过点 B(6,−5)
∴m6=−5 ，解得 m=−30
故双曲线的表达式为 y=−30x
（2）解：①∵AC//y 轴，点A的坐标为 A(12,0)
∴点C的横坐标为12
将其代入双曲线的表达式得 y=−3012=−52
∴C的纵坐标为 −52 ，即 AC=52
由题意得 1⋅t=AC=52 ，解得 t=52
故当点C在双曲线上时，t的值为 52 ；
②当 0 若点D与点A重合
由题意知，点C坐标为 (12,−t)
由两点距离公式得： AB2=(6−12)2+(−5−0)2=61
BC2=(12−6)2+(−t+5)2=36+(−t+5)2
AC2=t2
由勾股定理得 AB2+BC2=AC2 ，即 61+36+(−t+5)2=t2
解得 t=12.2
因此，在 0 如图1，设直线AB交y轴于M，取CD的中点K，连接AK、BK
由（1）知，直线AB的表达式为 y=56x−10
令 x=0 得 y=−10 ，则 M(0,−10) ，即 OM=10
∵ 点K为CD的中点， BD⊥BC
∴BK=DK=CK=12CD （直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）
同理可得： AK=DK=CK=12CD
∴BK=DK=CK=AK
∴ A、D、B、C四点共圆，点K为圆心
∴∠BCD=∠DAB （圆周角定理）
∴tan∠BCD=tan∠DAB=OMOA=1012=56 ；

③过点B作 BM⊥OA 于M
由题意和②可知，点D在点A左侧，与点M重合是一个临界位置
此时，四边形ACBD是矩形，则 AC=BD=5 ，即 t=5
因此，分以下2种情况讨论：
如图2，当 0 ∵A(12,0),B(6,−5),C(12,−t)
∴OA=12,OM=6,AM=OA−OM=6,BM=5,AC=t
∵∠CBN+∠DBM=∠BDM+∠DBM=90°
∴∠CBN=∠BDM
又 ∵∠CNB=∠BMD=90°
∴ΔCNB∼ΔBMD
∴CNBM=BNDM
∴AMBM=BM−ACDM ，即 65=5−tDM
∴DM=56(5−t)
∴AD=AM+DM=6+56(5−t)
由勾股定理得 AD2+AC2=CD2
即 [6+56(5−t)]2+t2=(136112)2
解得 t=52 或 t=152 （不符题设，舍去）
当 5≤t<12 时，同理可得： [6−56(t−5)]2+t2=(136112)2
解得 t=152 或 t=52 （不符题设，舍去）
综上所述，t的值为 52 或 152 ．

20．【答案】（1）解：∵点P（1，m）为双曲线y＝ 2x 上一点，
∴m＝2，
∴P（1，2），
∵C（2，2）、D（﹣2，﹣2），
∴PC＝ 12+02 ＝1，PD＝ 32+42 ＝5，
∴PD＝PC＝5﹣1＝4．
（2）解：PD﹣PC的值为定值4，理由为：
把P（x，y）代入双曲线解析式得：y＝ 2x ，即P（x， 2x ），
∵C（2，2），D（﹣2，﹣2），x＞0，
∴x+ 2x ≥2 x×2x ＝2 2 ＞2，
∴PD＝ (x+2)2+(2x+2)2 ＝ x2+4x+4+4x2+8x+4 ＝ (x+2x)2+4(x+2x)+4 ＝x+ 2x +2，
PC＝ (x−2)2+(2x−2)2 ＝ x2−4x+4+4x2−8x+4 ＝ (x+2x)2−4(x+2x)+4 ＝x+ 2x ﹣2，
则PD﹣PC＝x+ 2x +2﹣x﹣ 2x +2＝4
（3）解：∵PD﹣CE＝2PC，
∴PD﹣PC＝PC+CE＝4，
∴PE＝4，
设直线PE的解析式为y＝kx+b，
∵点C（2，2）在直线PE上，
∴2k+b＝2，
∴b＝2﹣2k，
∴直线PE的解析式为y＝kx+2﹣2k，
设x1、x2是方程kx+2﹣2k＝ 2x 即kx2+（2﹣2k）x﹣2＝0的两根，
则有x1+x2＝ 2k−2k ＝2﹣ 2k ，x1•x2＝﹣ 2k ，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝（2﹣ 2k ）2﹣4（﹣ 2k ）＝4+ 4k2 ，
∴PE2＝（x1﹣x2）2+（ 2x1 ﹣ 2x2 ）2＝（x1﹣x2）2+4• (x1−x2)2(x1⋅x2)2 ＝（4+ 4k2 ）+4• 4+4k24k2 ＝4+ 4k2 +4k2+4＝ 4k2 +4k2+8．
∵PE＝4，
∴4k2 +4k2+8＝16，
∴4k2 +4k2﹣8＝0，
整理得（k2﹣1）2＝0，
解得k1＝1，k2＝﹣1．
由条件“延长PC交双曲线另一点E”可得k＜0，
∴k＝﹣1，
代入kx2+（2﹣2k）x﹣2＝0得，
﹣x2+4x﹣2＝0，
解得x1＝2+ 2 ，x2＝2﹣ 2 ．
当x＝2+ 2 时，P坐标为（2+ 2 ，2﹣ 2 ）；当x＝2﹣ 2 时，P坐标为（2﹣ 2 ，2+ 2 ）