2022年中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：图形的旋转和相似（含答案）

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2022年中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：图形的旋转和相似一．选择题（共10小题）1．（2021•南岗区校级模拟）下列是一组logo图片，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（  ）A． B． C． D．2．（2021•益阳）以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（  ）A． B． C． D．3．（2021•南关区四模）如图所示的正六边形花环绕中必至少旋转α度能与自身重合，则α为（  ） A．30 B．60 C．120 D．1804．（2021•沈阳）如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA：OA1＝1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长比是（  ） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5．（2021•衢州）如图．将菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α得到菱形AB′C′D′，∠B＝∠β．当AC平分∠B′AC′时，∠α与∠β满足的数量关系是（  ） A．∠α＝2∠β B．2∠α＝3∠β C．4∠α+∠β＝180° D．3∠α+2∠β＝180°6．（2021•阿坝州）如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是（  ） A．4 B．6 C．7 D．127．（2021•牡丹江）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（  ） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4） C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）8．（2021•内江）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为1.8m的竹竿的影长为3m，某一高楼的影长为60m，那么这幢高楼的高度是（  ）A．18m B．20m C．30m D．36m9．（2021•内江）如图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取ΔA1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去…，经过第2021次操作后得△A2021B2021C2021，则△A2021B2021C2021的面积为（  ） A． B． C． D．10．（2021•兰州）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“E”字高度为（  ） A．4.36mm B．29.08mm C．43.62mm D．121.17mm
2022年中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：图形的旋转和相似（10题）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2021•南岗区校级模拟）下列是一组logo图片，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（  ）A． B． C． D．【考点】轴对称图形；中心对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（2021•益阳）以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（  ）A． B． C． D．【考点】勾股定理的证明；中心对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】根据中心对称图形的概念求解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：A．不是中心对称图形，符合题意；B．是中心对称图形，不符合题意；C．是中心对称图形，不符合题意；D．是中心对称图形，不符合题意．故选：A．【点评】此题考查了中心对称图形的概念．熟记定义是解答本题的关键．3．（2021•南关区四模）如图所示的正六边形花环绕中必至少旋转α度能与自身重合，则α为（  ） A．30 B．60 C．120 D．180【考点】旋转对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】观察可得图形有6部分组成，从而可得旋转角度．【解答】解：该图形围绕自己的旋转中心，至少针旋转＝60°后，能与其自身重合．故选：B．【点评】本题考查了旋转角的定义及求法，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．4．（2021•沈阳）如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA：OA1＝1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长比是（  ） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：【考点】位似变换．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A1B1C1，AC∥A1C1，进而得出△AOC∽△A1OC1，根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1位似，∴△ABC∽△A1B1C1，AC∥A1C1，∴△AOC∽△A1OC1，∴＝＝，∴△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2，故选：A．【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位似图形的对应边平行是解题的关键．5．（2021•衢州）如图．将菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α得到菱形AB′C′D′，∠B＝∠β．当AC平分∠B′AC′时，∠α与∠β满足的数量关系是（  ） A．∠α＝2∠β B．2∠α＝3∠β C．4∠α+∠β＝180° D．3∠α+2∠β＝180°【考点】菱形的性质；旋转的性质．【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】由菱形和旋转的性质可证：∠BAB'＝∠B'AC＝∠CAC'＝∠DAC'＝∠α，再根据AD∥BC，即可得出4∠α+∠β＝180°．【解答】解：∵AC平分∠B′AC′，∴∠B'AC＝∠C'AC，∵菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α得到菱形AB′C′D′，∴∠BAB'＝∠CAC'＝∠α，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠BAB'＝∠DAC'，∴∠BAB'＝∠B'AC＝∠CAC'＝∠DAC'＝∠α，∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∴4∠α+∠β＝180°，故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质，以及旋转前后对应角相等等知识，熟记其性质是解题的关键．6．（2021•阿坝州）如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是（  ） A．4 B．6 C．7 D．12【考点】平行线分线段成比例．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出AB：BC＝DE：EF，再求出答案即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴AB：BC＝DE：EF．∵AB：BC＝2：3，EF＝9，∴DE＝6．故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．7．（2021•牡丹江）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（  ） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4） C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）【考点】坐标与图形变化﹣旋转．【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点A作AH⊥OB于H，设OH＝m，则BH＝6﹣m，利用勾股定理构建方程求出m，再分两种情形求解即可．【解答】解：如图，过点A作AH⊥OB于H，设OH＝m，则BH＝6﹣m， ∵AH2＝OA2﹣OH2＝AB2﹣BH2，∴42﹣m2＝（2）2﹣（6﹣m）2，∴m＝2，∴AH＝＝2，∴A（2，2），若将△AOB绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′（2，﹣2），若将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′（﹣2，2），故选：C．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是求出点A的坐标，属于中考常考题型．8．（2021•内江）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为1.8m的竹竿的影长为3m，某一高楼的影长为60m，那么这幢高楼的高度是（  ）A．18m B．20m C．30m D．36m【考点】相似三角形的应用；平行投影．【专题】图形的相似；应用意识．【分析】设此高楼的高度为x米，再根据同一时刻物高与影长成正比例出关于x的比例式，求出x的值即可．【解答】解：设这幢高楼的高度为x米，依题意得：＝，解得：x＝36．故这幢高楼的高度为36米．故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．9．（2021•内江）如图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取ΔA1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去…，经过第2021次操作后得△A2021B2021C2021，则△A2021B2021C2021的面积为（  ） A． B． C． D．【考点】等边三角形的性质；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．【专题】规律型；三角形；推理能力．【分析】先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可．【解答】解：∵点A1，B1分别为BC，AC的中点，∴AB＝2A1B1，∵点A2，B2分别为B1C1，A2C2的中点，∴A1B1＝2A2B2，∴A2B2＝（）2•a，…∴AnBn＝（）n•a，∴A2021B2021＝（）2021•a∴△A2021B2021C2021的面积＝•[（）2021•a]2＝，故选：D．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．10．（2021•兰州）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“E”字高度为（  ） A．4.36mm B．29.08mm C．43.62mm D．121.17mm【考点】相似三角形的应用．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．【解答】解：由题意得：CB∥DF，∴＝，∵AD＝3m，AB＝5m，BC＝72.7mm，∴＝，∴DF＝43.62（mm），故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的应用，比较简单；根据生活常识，墙与地面垂直，则两张视力表平行，根据平行相似或平行线分线段成比例定理列比例式，可以计算出结果．
考点卡片1．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．2．勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．3．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：     三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点  ∴DE∥BC，DE＝BC． 4．菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）5．轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．6．旋转的性质（1）旋转的性质：    ①对应点到旋转中心的距离相等．    ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．    ③旋转前、后的图形全等．  （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．    注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．7．旋转对称图形（1）旋转对称图形     如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．8．中心对称图形（1）定义     把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．9．坐标与图形变化-旋转（1）关于原点对称的点的坐标     P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）（2）旋转图形的坐标     图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．10．平行线分线段成比例（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．11．相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．12．相似三角形的应用（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．13．位似变换（1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．    注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．（2）位似图形与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．14．平行投影（1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．（3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．（4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．（5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．