2022年中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：图形的对称和平移（含答案）

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2022年中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：图形的对称和平移
一．选择题（共10小题）
1．（2021•阿坝州）平面直角坐标系中，点P（2，1）关于y轴的对称点P′的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）
2．（2021•青岛）剪纸是我国古老的民间艺术．下列四个剪纸图案为轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020•台州）如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C（0，﹣1）对应点的坐标为（ ）

A．（0，0） B．（1，2） C．（1，3） D．（3，1）
4．（2021•通辽）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（ ）

A． B． C．或 D．或
5．（2021•天心区二模）如图，将线段AB平移到线段CD的位置，则a﹣b的值为（ ）

A．4 B．0 C．3 D．﹣5
6．（2021•毕节市）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝7，BC＝9，M是BC上的点，且CM＝2．将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C′处，折痕为MN，则线段PA的长是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．2
7．（2021•阳东区模拟）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM长是（ ）

A． B． C． D．2﹣
8．（2021•鄂尔多斯）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将边BC沿CN折叠，使点B落在AB上的点B′处，再将边AC沿CM折叠，使点A落在CB′的延长线上的点A′处，两条折痕与斜边AB分别交于点N、M，则线段A′M的长为（ ）

A． B． C． D．
9．（2021•开封一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向上平移，再向左平移得到四边形A1B1C1D1，已知A1（﹣3，5），B1（﹣4，3），A（3，3），则点B坐标为（ ）

A．（1，2） B．（2，1） C．（1，4） D．（4，1）
10．（2021•绵阳）如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（ ）

A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6

2022年中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：图形的对称和平移（10题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•阿坝州）平面直角坐标系中，点P（2，1）关于y轴的对称点P′的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【分析】直接利用关于y轴对称点的特点（纵坐标不变，横坐标互为相反数）得出答案．
【解答】解：点P（2，1）关于y轴对称的点P′的坐标是（﹣2，1）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的特点，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
2．（2021•青岛）剪纸是我国古老的民间艺术．下列四个剪纸图案为轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，
3．（2020•台州）如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C（0，﹣1）对应点的坐标为（ ）

A．（0，0） B．（1，2） C．（1，3） D．（3，1）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】利用平移规律进而得出答案．
【解答】解：∵把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，顶点C（0，﹣1），
∴F（0+3，﹣1+2），
即F（3，1），
故选：D．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，正确得出对应点位置是解题关键．
4．（2021•通辽）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（ ）

A． B． C．或 D．或
【考点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】操作型；等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】分类画出图形，设BE＝x，由折叠的性质表示出相关线段，再用勾股定理列方程即可解得BE的长．
【解答】解：①当MB'＝MN时，如图：

Rt△AMB'中，AB'＝AB＝3，MB'＝AB＝1，
∴AM＝＝2，
∵AD∥BC，AB⊥BC，MN⊥AD，
∴四边形ABNM是矩形，
∴BN＝AM＝2，MN＝AB＝3，
设BE＝x，则B'E＝x，EN＝2﹣x，
Rt△B'EN中，B'N＝MN﹣MB'＝2，EN2+B'N2＝B'E2，
∴（2﹣x）2+22＝x2，
解得x＝，
∴BE的长为；
②当NB'＝MN时，如图：

∵NB'＝MN＝1，
∴MB'＝2，
设BE＝y，
同①可得y＝，
∴BE的长为，
综上所述，BE的长为或．
故选：D．
【点评】本题考查直角三角形的性质及应用，解题的关键是分类画出图形，用勾股定理列方程解决问题．
5．（2021•天心区二模）如图，将线段AB平移到线段CD的位置，则a﹣b的值为（ ）

A．4 B．0 C．3 D．﹣5
【考点】平移的性质．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；运算能力．
【分析】利用坐标平移的变化规律即可解决问题．
【解答】解：由题意，线段AB向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段CD，
∴a＝5﹣3＝2，b＝﹣2+4＝2，
∴a﹣b＝0，
故选：B．
【点评】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握坐标平移的变化规律．
6．（2021•毕节市）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝7，BC＝9，M是BC上的点，且CM＝2．将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C′处，折痕为MN，则线段PA的长是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．2
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】连接PM，设AP＝x，可得出PB＝7﹣x，BM＝7，根据折叠的性质可得CD＝PC′＝7，CM＝C′M＝2，在Rt△PBM中和Rt△PC′M中，根据勾股定理PB2+BM2＝PM2，PM2＝（7﹣x）2+72，C′P2+C′M2＝PM2，PM2＝72+22，因为PM是公共边，所以可得PM＝PM，即（7﹣x）2+72＝72+22，求出x的值即可得出答案．
【解答】解法一：解：连接PM，如图，
设AP＝x，
∵AB＝7，CM＝2，
∴PB＝7﹣x，BM＝BC﹣CM＝7，
由折叠性质可知，
CD＝PC′＝7，CM＝C′M＝2，
在Rt△PBM中，
PB2+BM2＝PM2，
PM2＝（7﹣x）2+72，
在Rt△PC′M中，
C′P2+C′M2＝PM2，
PM2＝72+22，
∴（7﹣x）2+72＝72+22，
解得：x1＝5，x2＝9（舍去），
∴AP＝5．
解法二：解：连接PM，如图，
∵AB＝7，CM＝2，
∴BM＝BC﹣CM＝7，
由折叠性质得，CD＝PC′＝7，∠C＝∠PC′M＝∠PBM＝90°，C′M＝CM＝2，
在Rt△PBM和Rt△MC′P中，
，
∴Rt△PBM≌Rt△MC′P（HL），
∴PB＝C′M＝2，
∴PA＝AB﹣PB＝5．
故选：B．

【点评】本题主要考查了翻折变化、矩形的性质及勾股定理，熟练应用翻折变化的性质及矩形的性质进行计算是解决本题的关键．
7．（2021•阳东区模拟）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM长是（ ）

A． B． C． D．2﹣
【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】先求BD＝AB＝4，再求BE＝EF＝CF＝BD﹣DE＝BD﹣CD＝4﹣4，根据△ODM∽△CDF得线段比例关系，即可求出OM的长．
【解答】解：如图，连接EF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，∠BCD＝∠COD＝∠BOC＝90°，OD＝OC，
∴BD＝AB＝4，
由折叠的性质可知，∠OEF＝∠DCB＝90°，∠EDF＝∠CDF，DE＝CD，
∴∠BEF＝90°，
∴∠BFE＝∠FBE＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BE＝EF＝CF＝BD﹣DE＝BD﹣CD＝4﹣4，
∵∠DCB＝∠COD＝90°，∠EDF＝∠CDF，
∴△ODM∽△CDF，
∴＝，
即＝，
∴OM＝4﹣2，
故选：B．
【点评】本题主要考查图形的翻折，熟练掌握图形翻折的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
8．（2021•鄂尔多斯）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将边BC沿CN折叠，使点B落在AB上的点B′处，再将边AC沿CM折叠，使点A落在CB′的延长线上的点A′处，两条折痕与斜边AB分别交于点N、M，则线段A′M的长为（ ）

A． B． C． D．
【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】由翻折知：A'B'＝2，由角的关系推导出A'M⊥AB，再通过∠A＝∠A'，则cosA'＝cosA，求得A'M的长．
【解答】解：由两次翻折知：
CB＝CB'＝6，AC＝A'C＝8，∠A'＝∠A，∠B＝∠BB'C，
∴A'B'＝2，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠A'+∠BB'C＝90°，
∴∠A'+∠A'B'M＝90°，
∴A'M⊥AB，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
由勾股定理得：AB＝，
∴cosA'＝cosA＝，
∴，
∴A'M＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查了翻折的性质、三角函数等知识，推导出A'M⊥AB是解题的关键．
9．（2021•开封一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向上平移，再向左平移得到四边形A1B1C1D1，已知A1（﹣3，5），B1（﹣4，3），A（3，3），则点B坐标为（ ）

A．（1，2） B．（2，1） C．（1，4） D．（4，1）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平移、旋转与对称；应用意识．
【分析】利用平移规律解决问题即可．
【解答】解：由题意A1（﹣3，5）向右平移6个单位，再向下平移2个单位得到A（3，3），
∴B1（﹣4，3）向右平移6个单位，再向下平移2个单位得到B（2，1），
故选：B．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
10．（2021•绵阳）如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（ ）

A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】作图题；推理能力．
【分析】如图，过点D作DT⊥AC交AC于J，交AB于T，连接CT．想办法求出OB的长即可．
【解答】解：如图，过点D作DT⊥AC交AC于J，交AB于T，连接CT．

∵AD＝DC＝5，DJ⊥AC，
∴AJ＝JC＝3，
∴DJ＝＝＝4，
∵CD∥AT．
∴∠DCJ＝∠TAJ，
∵∠DJC＝∠TJA，
∴△DCJ≌△TAJ（ASA），
∴CD＝AT＝5，DJ＝JT＝4，
∵∠AJT＝∠ACB＝90°，
∴JT∥BC，
∵AJ＝JC，
∴AT＝TB＝5，
设OA＝x，∵OD2＝AD2﹣OA2＝DT2﹣OT2，
∴52﹣x2＝82﹣（x+5）2，
解得x＝1.4，
∴OB＝OA+AB＝1.4+10＝11.4，
∵将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，
∴m＝OB＝11.4，
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题．

考点卡片
1．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
2．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
3．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．

4．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
5．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
6．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
7．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
8．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
9．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
10．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边＝．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．