2022年中考数学复习之小题狂练450题（填空题）：图形的旋转和相似（含答案）

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2022年中考数学复习之小题狂练450题（填空题）：图形的旋转和相似
一．填空题（共10小题）
1．（2021•思明区校级模拟）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径五寸，问井深几何？译文：如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端A观察井水水岸F，视线AD与井口的直径BE交于点D，如果测得AB＝5尺，BE＝5尺，BD＝5寸，那么EF为 尺．（1尺＝10寸）

2．（2021•广东模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，以AC为较长的直角边，按逆时针方向作Rt△ACC1，且∠ACC1＝90°，∠BAC＝∠CAC1；再以AC1为较长的直角边，按逆时针方向作Rt△AC1C2，且∠AC1C2＝90°，∠CAC1＝∠C1AC2；…按此规律一直下去，则ACn﹣1的长为 ．

3．（2021•如东县一模）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，AC与BE交于点F，过点F作FG⊥BC于点G，若，则的值为 ．

4．（2021•菏泽）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为 ．

5．（2021•甘肃模拟）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△AOB缩小为原来的，得到△COD，若点A的坐标为（4，2），则AC的中点E的坐标是 ．

6．（2021•镇江）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD长的最大值为 ．

7．（2021•桂林）如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′上时，线段BC′的长度是 ．

8．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为 ．

9．（2021•东胜区一模）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，1）将△ABO绕A顺时针旋转得到△AB1P1，此时AP1＝；将△AP1B1绕点P1顺时针旋转得到△P1P2B2，此时AP2＝；将△P1P2B2绕点P2继续顺时针旋转，此时AP3＝；…按此规律继续旋转，直至得到点P100为止，则AP100＝ ．

10．（2021•东台市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝8，BC＝4，点P是线段AC上的一个动点，连接BP，Q为线段BP中点，将线段PQ绕点P逆时针旋转120°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是 ．


2022年中考数学复习之小题狂练450题（填空题）：图形的旋转和相似（10题）
参考答案与试题解析
一．填空题（共10小题）
1．（2021•思明区校级模拟）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径五寸，问井深几何？译文：如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端A观察井水水岸F，视线AD与井口的直径BE交于点D，如果测得AB＝5尺，BE＝5尺，BD＝5寸，那么EF为 45 尺．（1尺＝10寸）

【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；应用意识．
【分析】利用相似三角形的性质，构建方程求解即可．
【解答】解：设BC＝x尺，
∵四边形BCFE是矩形，
∴BD∥CF，
∴△ADB∽△AFC，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝45，
经检验：x＝45是分式方程的解．
∴BC＝EF＝45（尺）．
故答案为：45．
【点评】本题考查相似三角形的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
2．（2021•广东模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，以AC为较长的直角边，按逆时针方向作Rt△ACC1，且∠ACC1＝90°，∠BAC＝∠CAC1；再以AC1为较长的直角边，按逆时针方向作Rt△AC1C2，且∠AC1C2＝90°，∠CAC1＝∠C1AC2；…按此规律一直下去，则ACn﹣1的长为 ．

【考点】零指数幂；相似三角形的判定与性质．
【专题】规律型；图形的相似；推理能力．
【分析】证明△ABC∽△ACC1∽AC1C2的面积，根据相似三角形的性质得，根据勾股定理得AC＝＝，则CC1＝，根据勾股定理得AC1＝﹣，可得探究规律，可得结论．
【解答】解：由题意，∠BAC＝∠CAC1＝∠C1AC2，ABC＝∠ACC1＝∠AC1C2＝90°，
∴△ABC∽△ACC1∽AC1C2，
∴＝，
∵AB＝2，BC＝1，
∴AC＝＝，
CC1＝，
∴AC1＝﹣，
•••，
∴ACn﹣1＝．
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
3．（2021•如东县一模）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，AC与BE交于点F，过点F作FG⊥BC于点G，若，则的值为 ．

【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】先根据AB∥CD，利用两角相等求证△FAB∽△FCE，利用相似比得出的比值，再通过求证△FGC∽△ABC即可推出的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAB＝∠FCE，∠FBA＝∠FEC，
∴△FAB∽△FCE，
又∵，
∴＝，
又∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
∴△FGC∽△ABC，
∴，
∵，
∴＝，
即＝，
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，通过求证两组相似三角形利用相似比进行转换是解题的关键．
4．（2021•菏泽）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为 1：3 ．

【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【分析】通过证明△AEM∽△ABC，可得，可求EF的长，由相似三角形的性质可得＝（）2＝，即可求解．
【解答】解：∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，
∴EF＝EH＝HM，EM∥BC，
∴△AEM∽△ABC，
∴，
∴，
∴EF＝，
∴EM＝5，
∵△AEM∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴S四边形BCME＝S△ABC﹣S△AEM＝3S△AEM，
∴△AEM与四边形BCME的面积比为1：3，
故答案为：1：3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，利用相似三角形的性质求出EF的长是解题的关键．
5．（2021•甘肃模拟）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△AOB缩小为原来的，得到△COD，若点A的坐标为（4，2），则AC的中点E的坐标是 （1，） ．

【考点】坐标与图形性质；位似变换．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】根据位似变换的性质求出点C的坐标，根据线段中点的性质计算，求出点E的坐标．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，将△AOB缩小为原来的，得到△COD，点A的坐标为（4，2），
∴点C的坐标为（4×（﹣），2×（﹣）），即点C的坐标为（﹣2，﹣1），
∴AC的中点E的坐标是（1，），
故答案为：（1，）．
【点评】本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
6．（2021•镇江）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD长的最大值为 9 ．

【考点】等腰三角形的性质；旋转的性质；解直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】由旋转知△BPD是顶角为120°的等腰三角形，可求得BD＝BP，当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，求出AB的长即可解决问题．
【解答】解：∵将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，
∴BP＝PD，
∴△BPD是等腰三角形，
∴∠PBD＝30°，
过点P作PH⊥BD于点H，

∴BH＝DH，
∵cos30°＝＝，
∴BH＝BP，
∴BD＝BP，
∴当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，
过点A作AG⊥BC于点G，
∵AB＝AC，AG⊥BC，
∴BG＝BC＝3，
∵cos∠ABC＝，
∴，
∴AB＝9，
∴BD最大值为：BP＝9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角函数等知识，证明出BD＝BP是解题的关键．
7．（2021•桂林）如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′上时，线段BC′的长度是 + ．

【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】如图，作辅助线，构建直角三角形，利用勾股定理分别计算OB，OE，EC'和BE的长，根据线段的和可得结论．
【解答】解：如图，连接OB，过点O作OE⊥C'B于E，则∠OEC'＝∠OEB＝90°，

∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，点A′恰好落在线段BC′上，
∴∠OC'E＝45°，OA＝OC'＝AB＝2，∠A＝90°，
∴OB＝2，OE＝EC'＝，
在Rt△OBE中，由勾股定理得：BE＝＝＝，
∴BC'＝BE+EC'＝+．
故答案为：+．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形，解题的关键是：作辅助线，构建等腰直角三角形OEC'和直角三角形OEB．
8．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为 （7，4） ．

【考点】旋转的性质．
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【分析】作A'C⊥x轴于点C，由旋转的性质可得BC＝A'O'＝OA＝3，A'C＝O'B＝OB＝4，进而求解．
【解答】解：作A'C⊥x轴于点C，

由旋转可得∠O'＝90°，O'B⊥x轴，
∴四边形O'BCA'为矩形，
∴BC＝A'O'＝OA＝3，A'C＝O'B＝OB＝4，
∴点A'坐标为（7，4）．
故答案为：（7，4）．
【点评】本题考查平面直角坐标系与图形旋转的性质，解题关键是通过添加辅助线求解．
9．（2021•东胜区一模）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，1）将△ABO绕A顺时针旋转得到△AB1P1，此时AP1＝；将△AP1B1绕点P1顺时针旋转得到△P1P2B2，此时AP2＝；将△P1P2B2绕点P2继续顺时针旋转，此时AP3＝；…按此规律继续旋转，直至得到点P100为止，则AP100＝ 199+100 ．

【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】规律型；平面直角坐标系；应用意识．
【分析】首先利用勾股定理得出AB的长，进而得出三角形的周长，进而求出p2，p5的横坐标，进而得出变化规律，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：∵AO＝BO＝1，
∴AB＝，
∴OA+AP1+P1P2＝1++1＝2+，
∴P2的横坐标为：2+＝（2+1）÷3×（2+），P5的横坐标为：2×（2+）＝（5+1）÷3×（2+），
∵（100+1）÷3＝33•••2，
∴OP100＝33×（2+）+1+＝67+34，
∴AP100＝OP100﹣1＝66+34，
故答案为66+34．
【点评】此题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出P点横坐标变化规律是解题关键．
10．（2021•东台市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝8，BC＝4，点P是线段AC上的一个动点，连接BP，Q为线段BP中点，将线段PQ绕点P逆时针旋转120°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是 ．

【考点】勾股定理；旋转的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】在AC上取点M，使CM＝＝2，证明△DPB∽△MCB，从而证明D，P，M，B四点共圆，得D的轨迹是一条线段，当AP⊥DM时，AD最小，再运用相似三角形的性质进行解题．
【解答】解：在AC上取点M，使CM＝＝2，

∵DP＝QP＝，
∴，
连接DM，BM，DB，
∵∠DPB＝∠MCB＝120°，
∴△DPB∽△MCB，
∴∠DBP＝∠MBC，
∴∠DBM＝∠PBC，
∵∠DPB＝∠PDB＝120°，
∴∠DPA+∠BPC＝∠BPC+∠PBC＝60°，
∴∠DPA＝∠PBC，
∴∠DPA＝∠DBM，
∴D，P，M，B四点共圆，
∴∠DMP＝∠DBP＝∠MBC，
∵CM＝2BC＝4，∠MCB＝120°，
∴∠MBC为定角，
∴∠DMP为定角，
∴∠AMD为定角，
∴点D的轨迹是一条线段，当AP⊥DM时，AD最小，
∵，∠MCB＝∠BCA，
∴△MCB∽△BCA，
∴∠CAB＝∠MBC＝∠DMA，
作BN⊥AC于N，
∴CN＝2，BN＝2，
∴AN＝10，
∴AB＝4，
作AD'⊥DM于D'，
∴sin∠D'MA＝＝sin∠BAC＝，
∴AD'＝6×＝，
∴线段AD的最小值是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，四点共圆，勾股定理等知识，通过定角发现点D的轨迹是一条线段是解题的关键，综合性强，难度较大，属于填空压轴题．

考点卡片
1．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
2．规律型：点的坐标
规律型：点的坐标．
3．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
4．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
5．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
6．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
7．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
8．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
9．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
10．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
11．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
12．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
13．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
14．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）