2022年中考数学复习之小题狂练450题（填空题）：二次函数（含答案）

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2022年中考数学复习之小题狂练450题（填空题）：二次函数
一．填空题（共10小题）
1．（2021•遵义）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 （填写序号）．
①4a+b＝0；
②5a+3b+2c＞0；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a≥；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．
2．（2021•黔东南州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；④当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；⑤b＞1，其中正确的有 ．（填写正确的序号）

3．（2021•南关区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+mx交x轴正半轴于点A，点B是y轴负半轴上一点，点A关于点B的对称点C恰好落在抛物线上，过点C作x轴的点D，连结OC、AD．若点C的横坐标为﹣2，则四边形OCDA的面积为 ．

4．（2021•青岛模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x（x﹣5）（0≤x≤5）的图象记作y1，它与x轴的交于点O，x1，将y1绕x1旋转180°得到y2，y2与x轴相交于点x1，x2，将y2绕点x2旋转180°得到y3，y3与x轴相交于x2，x3；…，按照这个规律在x轴上依次得到点x1，x2，x3，…，xn，以及抛物线y1，y2，y3，…，yn，则点x6的坐标为 ；yn的顶点坐标为 （n为正整数，用含n的代数式表示）．

5．（2021•潍坊）在直角坐标系中，若三点A（1，﹣2），B（2，﹣2），C（2，0）中恰有两点在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0且a，b均为常数）的图象上，则下列结论正确的是 ．
A．抛物线的对称轴是直线x＝
B．抛物线与x轴的交点坐标是（﹣，0）和（2，0）
C．当t＞﹣时，关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根
D．若P（m，n）和Q（m+4，h）都是抛物线上的点且n＜0，则h＞0
6．（2021•黄石模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a﹣b＝0；②c＜0；③c＞3a；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣3.5，y1），（﹣2.5，y2），（0.5，y3）是该抛物线上的点，则y2＜y1＜y3．其中，正确结论的是 （填正确结论的序号）．

7．（2021•广西）如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为 ．

8．（2021•城阳区一模）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某网络平台为一服装厂直播代销一种服装（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价为250元时，日销售量为40件，当每件衣服每下降10元时，日销售量就会增加8件．已知每售出1件衣服，该平台需支付厂家和其它费用共100元．设每件衣服售价为x（元），该网络平台的日销售量为y（件）．则下列结论正确的是 （填写所有正确结论序号）．
①y与x的关系式是y＝﹣x+240；
②y与x的关系式是y＝x﹣160；
③设每天的利润为W元，则W与x的关系式是W＝﹣+320x﹣24000；
④按照厂家规定，每件售价不得低于210元，若该经销商想要每天获得最大利润，当每件售价定为210元时，每天利润最大，此时最大利润为7920元．
9．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝ ．

10．（2021•鹿城区模拟）某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度AB＝274cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC＝12cm，出球管道CD＝5cm，若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD的位置，发球机模式为“一跳球”，路线呈抛物线，离球台正中间的球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，则EB＝ cm．


2022年中考数学复习之小题狂练450题（填空题）：二次函数（10题）
参考答案与试题解析
一．填空题（共10小题）
1．（2021•遵义）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 ①③④ （填写序号）．
①4a+b＝0；
②5a+3b+2c＞0；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a≥；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．
【分析】将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，求出其解析式，得到系数之间的关系，再分别讨论每个问题．
【解答】解：将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式得，
得，
∴抛物线解析式为y＝ax2﹣4ax．
①b＝﹣4a，b+4a＝0，正确，
②5a+3b+2c＝5a﹣12a＝﹣7a，a＞0，﹣7a＜0，错误．
③当有交点时，ax2﹣4ax＝﹣3，即一元二次方程ax2﹣4ax+3＝0有实数根，
Δ＝16a2﹣12a＝a（16a﹣12）≥0，
∵a＞0，
∴16a﹣12≥0，解得a，正确．
④一元二次方程可化为ax2﹣4ax﹣t＝0，即抛物线y＝ax2﹣4ax与直线y＝t（t为常数，t≤0）的交点横坐标为整数，横坐标可以为0，1，2，3，4，有3个t满足，如图，

故答案为①③④．
【点评】本题主要考查抛物线与坐标轴的交点、各项系数之间的关系、用根的判别式求取值范围，借助数形结合思想解题是关键．
2．（2021•黔东南州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；④当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；⑤b＞1，其中正确的有 ②④⑤ ．（填写正确的序号）

【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系等知识进行综合判断即可．
【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，c＞0，
所以abc＜0，故①错误；
对称轴在0～1之间，于是有0＜﹣＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正确；
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故③错误；
当x＝m（1＜m＜2）时，y＝am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2﹣c，故④正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，当x＝1时，y＝a+b+c＝2，所以﹣2b＜﹣2，即b＞1，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②④⑤，
故答案为：②④⑤．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提．
3．（2021•南关区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+mx交x轴正半轴于点A，点B是y轴负半轴上一点，点A关于点B的对称点C恰好落在抛物线上，过点C作x轴的点D，连结OC、AD．若点C的横坐标为﹣2，则四边形OCDA的面积为 16 ．

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】利用中心对称的性质得到A（2，0），则把A（2，0）代入y＝﹣x2+mx求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+x，计算当x＝﹣2时的函数值得到C（﹣2，﹣4），接着求出抛物线的对称轴为直线x＝1，从而得到D点坐标，然后根据梯形的面积公式计算四边形OCDA的面积．
【解答】解：∵点A与点B关于点C对称，
而点C的横坐标为﹣2，
∴A（2，0），
把A（2，0）代入y＝﹣x2+mx得﹣2+2m＝0，解得m＝1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x，
当x＝﹣2时，y＝﹣x2+x＝﹣2﹣2＝﹣4，则C（﹣2，﹣4），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴D（4，﹣4），
∴CD＝4﹣（﹣2）＝6，
∴四边形OCDA的面积＝×（2+6）×4＝16．
故答案为16．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查二次函数的性质．
4．（2021•青岛模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x（x﹣5）（0≤x≤5）的图象记作y1，它与x轴的交于点O，x1，将y1绕x1旋转180°得到y2，y2与x轴相交于点x1，x2，将y2绕点x2旋转180°得到y3，y3与x轴相交于x2，x3；…，按照这个规律在x轴上依次得到点x1，x2，x3，…，xn，以及抛物线y1，y2，y3，…，yn，则点x6的坐标为 （30，0） ；yn的顶点坐标为 （5n﹣，（﹣10）n•） （n为正整数，用含n的代数式表示）．

【考点】规律型：点的坐标；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】图象进行一次旋转，横坐标向右移动5个单位长度，顶点纵坐标当n为奇数时为负，当n为偶数时为正，绝对值不变，顶点横坐标加5．
【解答】解：令y＝0，代入抛物线得：0＝x（x﹣5），
解得x＝0或x＝5，
∴x1坐标（5，0），
∴x2坐标（10，0），
故xn坐标（5n，0），
当n＝6时，x6坐标为（30，0），
抛物线y＝x（x﹣5）＝x2+5x＝（x+）2﹣，
∴顶点y1坐标（﹣，），
∴顶点y2坐标（，）
故顶点yn坐标（5n﹣，（﹣1）n•）．
故答案为（30，0），（5n﹣，（﹣1）n•）．
【点评】本题主要考查二次函数与x轴的交点坐标和二次函数图象的顶点坐标，解题关键是抓住图象在旋转过程中，点的变换规律进行求解．
5．（2021•潍坊）在直角坐标系中，若三点A（1，﹣2），B（2，﹣2），C（2，0）中恰有两点在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0且a，b均为常数）的图象上，则下列结论正确的是 ACD ．
A．抛物线的对称轴是直线x＝
B．抛物线与x轴的交点坐标是（﹣，0）和（2，0）
C．当t＞﹣时，关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根
D．若P（m，n）和Q（m+4，h）都是抛物线上的点且n＜0，则h＞0
【考点】根的判别式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】利用待定系数法将各点坐标两两组合代入y＝ax2+bx﹣2，求得抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2，再根据对称轴直线x＝﹣求解即可得到A选项是正确的；
由抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，求解即可得到抛物线与x轴的交点坐标（﹣1，0）和（2，0），从而判断出B选项不正确；
令关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2﹣t＝0的根的判别式当Δ＞0，解得t＞﹣，从而得到C选项正确；
根据抛物线图象的性质由n＜0，推出3＜m+4＜6，从而推出h＞0，得到D选项正确．
【解答】解：当抛物线图象经过点A和点B时，
将A（1，﹣2）和B（2，﹣2）分别代入y＝ax2+bx﹣2，
得，解得，不符合题意；
当抛物线图象经过点B和点C时，
将B（2，﹣2）和C（2，0）分别代入y＝ax2+bx﹣2，
得，此时无解；
当抛物线图象经过点A和点C时，
将A（1，﹣2）和C（2，0）分别代入y＝ax2+bx﹣2，
得，解得，
综上，抛物线经过点A和点C，其解析式为y＝x2﹣x﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，
故A选项正确；
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1），
∴x1＝2，x2＝﹣1，
∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0）和（2，0），
故B选项不正确；
由ax2+bx﹣2＝t得ax2+bx﹣2﹣t＝0，
方程根的判别式Δ＝b2﹣4a（﹣2﹣t），
当a＝1，b＝﹣1时，Δ＝9+4t，
当Δ＞0时，即9+4t＞0，解得t＞﹣，
此时关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根，
故C选项正确；
∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点（﹣1，0）和（2，0），且其图象开口向上，
若P（m，n）和Q（m+4，h）都是抛物线上y＝x2﹣x﹣2的点且n＜0，
∵n＜0，
∴﹣1＜m＜2，
∴3＜m+4＜6，
∴yx＝m+4＞yx＝2，
即h＞0，
故D选项正确．
故答案为：ACD．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，可以数形结合根据题意画出相关的草图，充分掌握求二次函数的对称轴及交点坐标的方法．
6．（2021•黄石模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a﹣b＝0；②c＜0；③c＞3a；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣3.5，y1），（﹣2.5，y2），（0.5，y3）是该抛物线上的点，则y2＜y1＜y3．其中，正确结论的是 ①②③ （填正确结论的序号）．

【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】由抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，可判断①，由x＝﹣4时y＜0及抛物线的对称性可得x＝0时y＜0，可判断②，由x＝﹣3时y＞0可得x＝﹣1时y＞0，可判断③，由抛物线对称轴为直线x＝﹣2可得4a﹣2b+c≥at2+bt+c，可判断④，由抛物线开口向下及（﹣3.5，y1），（﹣2.5，y2），（0.5，y3）与对称轴的距离可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴b＝4a，
∴4a﹣b＝0，①正确．
∵x＝﹣4时y＜0，抛物线对称轴为直线x＝﹣2，
∴x＝0时y＜0，
∴c＜0，②正确．
∵x＝﹣3时y＞0，
∴x＝﹣1时y＞0，即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，
∴c＞3a，③正确．
∵x＝﹣2时y取最大值，
∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，
∴4a﹣2b≥at2+bt，④错误．
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，
∴抛物线上距离对称轴越近的点的y值越大，
∵﹣2.5﹣（﹣2）＞﹣2﹣（﹣3.5）＞0.5﹣（﹣2），
∴y2＞y1＞y3，⑤错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
7．（2021•广西）如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为 y＝（x﹣）2 ．

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】函数的综合应用；平移、旋转与对称；应用意识．
【分析】过C、D作x轴平行线，作A关于直线y＝4的对称点A'，过A'作A'E∥CD，且A'E＝CD，连接BE交直线y＝9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y＝4于D'，四边形A'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，可得四边形A'EC'D'是平行四边形，可证BE＝BC'+EC'＝BC'+AD'，BC'+AD'最小，最小值为BE的长度，故此时四边形ABC′D′的周长最小，求出A'（3，8），E（﹣2，13），可得直线BE解析式为y＝﹣x+，从而C'（﹣，9），CC'＝﹣﹣（﹣3）＝，故将抛物线y＝x2向右移个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，即可得到答案．
【解答】解：过C、D作x轴平行线，作A关于直线y＝4的对称点A'，过A'作A'E∥CD，且A'E＝CD，连接BE交直线y＝9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y＝4于D'，如图：

作图可知：四边形A'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，
∴A'E∥CD，C'D'∥CD，且A'E＝CD，C'D'＝CD，
∴C'D'∥A'E且C'D'＝A'E，
∴四边形A'EC'D'是平行四边形，
∴A'D'＝EC'，
∵A关于直线y＝4的对称点A'，
∴AD'＝A'D'，
∴EC'＝AD'，
∴BE＝BC'+EC'＝BC'+AD'，即此时BC'+AD'转化到一条直线上，BC'+AD'最小，最小值为BE的长度，
而AB、CD为定值，
∴此时四边形ABC′D′的周长最小，
∵A（3，0）关于直线y＝4的对称点A'，
∴A'（3，8），
∵四边形A'ECD是平行四边形，C（﹣3，9），D（2，4），
∴E（﹣2，13），
设直线BE解析式为y＝kx+b，则，
解得，
∴直线BE解析式为y＝﹣x+，
令y＝9得9＝﹣x+，
∴x＝﹣，
∴C'（﹣，9），
∴CC'＝﹣﹣（﹣3）＝，
即将抛物线y＝x2向右移个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，
∴此时抛物线为y＝（x﹣）2，
故答案为：y＝（x﹣）2．
【点评】本题考查二次函数背景下的平移、对称变换，解题的关键是作出图形，求到C'的坐标．
8．（2021•城阳区一模）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某网络平台为一服装厂直播代销一种服装（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价为250元时，日销售量为40件，当每件衣服每下降10元时，日销售量就会增加8件．已知每售出1件衣服，该平台需支付厂家和其它费用共100元．设每件衣服售价为x（元），该网络平台的日销售量为y（件）．则下列结论正确的是 ①③④ （填写所有正确结论序号）．
①y与x的关系式是y＝﹣x+240；
②y与x的关系式是y＝x﹣160；
③设每天的利润为W元，则W与x的关系式是W＝﹣+320x﹣24000；
④按照厂家规定，每件售价不得低于210元，若该经销商想要每天获得最大利润，当每件售价定为210元时，每天利润最大，此时最大利润为7920元．
【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】根据y＝40+可对①②进行判断；
根据每天的利润＝每件服装的利润×销售量可对③进行判断；
根据二次函数的最值可对④作出判断．
【解答】解：∵y＝40+＝﹣x+240，
∴①正确，②错误；
∵w＝（x﹣100）（﹣x+240）＝﹣+320x﹣24000；
∴③正确；
∵w＝（x﹣100）（﹣x+240）＝﹣+320x﹣24000＝﹣（x﹣200）2+8000，
a＝﹣＜0，每件售价不得低于210元，
所以当x＝210时，每天利润最大是7920元，
∴④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
9．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝ ：1 ．

【考点】二次函数的应用；解直角三角形．
【专题】二次函数的应用；推理能力．
【分析】利用h＝vt﹣4.9t2，求出t1，t2，再根据h1＝2h2，求出v1＝v2，可得结论．
【解答】解：由题意，t1＝，t2＝，h1＝＝，h2＝＝，
∵h1＝2h2，
∴v1＝v2，
∴t1：t2＝v1：v2＝：1，
故答案为：：1．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出t1，t2，证明v1＝v2即可．
10．（2021•鹿城区模拟）某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度AB＝274cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC＝12cm，出球管道CD＝5cm，若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD的位置，发球机模式为“一跳球”，路线呈抛物线，离球台正中间的球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，则EB＝ （209﹣30） cm．

【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴交于M，则MN＝21，根据题意写出抛物线解析式y＝a（x﹣65）2+21（a＜0），然后通过旋转求出D′坐标，再把D′坐标代入抛物线求出a，再令y＝0解一元二次方程求出E对岸坐标即可．
【解答】解：以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，如图，

设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴交于M，则MN＝21，
∴AB＝274，
∵GH是AB正中间，
∴AH＝AB＝137，
∴AM＝AH﹣MH＝137﹣72＝65，
设抛物线为：y＝a（x﹣65）2+21（a＜0），
过D′作D′P⊥x轴交CD于点Q，交x轴于点P，
则∠CQD′＝∠APQ＝90°，
∵旋转45°，
∴CD′＝CD＝5，
CQ＝D′Q＝CD′cos∠D′CD＝5，
∴D′P＝D′Q+PQ＝5+12＝17，
∴D′（5，17）代入抛物线得：
a×（5﹣65）2+21＝17，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣65）2+21，
令y＝0，则﹣（x﹣65）2+21＝0，
解得：x1＝65+30，x2＝65﹣30（舍去），
∴E（65+30，0），
∴EB＝AB﹣AE＝274﹣（65+30）＝（209﹣30）（cm），
故答案为：（209﹣30）．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，关键是建坐标系通过题意画出二次函数的图象．

考点卡片
1．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
2．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
3．规律型：点的坐标
规律型：点的坐标．
4．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
5．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
6．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
7．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
9．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
10．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
11．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
12．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
13．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
14．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）