2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：图形的旋转和相似（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：图形的旋转和相似（含答案），共34页。试卷主要包含了已知，数学课上，老师给出了一个模型等内容，欢迎下载使用。
2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：图形的旋转和相似
一．解答题（共10小题）
1．（2021•黔西南州）如图1，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE；
（2）如图2，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．

2．（2021秋•长丰县期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
（1）以原点O为位似中心，将△ABC放大，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2：1，且点B的对应点B1在第三象限，请在网格内画出△A1B1C1；
（2）点A1的坐标为 ，点C1的坐标为 ．

3．（2021秋•浦东新区校级期末）已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC．过点B作AD的垂线，垂足为E．过点C作AD的垂线交AD的延长线于F．联结CE交FB的延长线于点P，联结AP．
（1）求证：AB•AF＝AC•AE；
（2）求证：CF∥AP．

4．（2021秋•庐阳区期末）△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点E为BC边上一点，点D为AC延长线上一点，CE＝CD，连接BD、AE，并延长AE交BD于F，设CB＝x．
（1）求证：△ACE∽△BFE；
（2）若F恰好是BD中点，求x的值；
（3）设y＝，当x＝时，求y的值．

5．（2021•杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．

6．（2021•毕节市）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）如图2，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判断AF与DC的位置关系，并说明理由．

7．（2021秋•济南期末）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD＝∠ACB＝∠AED＝90°，由∠1+∠2+∠BAD＝180°，∠2+∠D+∠AED＝180°，可得∠1＝∠D；又因为∠ACB＝∠AED＝90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到＝ .我们把这个模型称为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且∠APD＝∠B．
①求证：△ABP∽△PCD；
②当点P为BC中点时，求CD的长；
拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP的长．


8．（2021•朝阳）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．
（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含
k的式子表示）．

9．（2021•重庆）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；
（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE．若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC＝150°时，请直接写出的值．

10．（2021•沈阳）在△ABC中，AB＝AC，△CDE中，CE＝CD（CE≥CA），BC＝CD，∠D＝α，∠ACB+∠ECD＝180°，点B，C，E不共线，点P为直线DE上一点，且PB＝PD．
（1）如图1，点D在线段BC延长线上，则∠ECD＝ ，∠ABP＝ （用含α的代数式表示）；
（2）如图2，点A，E在直线BC同侧，求证：BP平分∠ABC；
（3）若∠ABC＝60°，BC＝+1，将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BP⊥DE时，直线PC交BD于点G，点M是PD中点，请直接写出GM的长．


2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：图形的旋转和相似（10题）
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题）
1．（2021•黔西南州）如图1，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE；
（2）如图2，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；旋转的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】（1）通过SAS证明△ABD≌△CAE，可得BD＝CE；
（2）作AM⊥BF，AN⊥CE，由全等知AG＝AH，从而得到AF平分∠BFE，证出∠AFM＝∠AFN＝60°，从而证出结论．
【解答】（1）证明：如图1，∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
（2）解：结论正确，理由如下：
如图2，过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N，

∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
又∵∠AGB＝∠CGF，
∴∠BFC＝∠BAC＝60°，
∴∠BFE＝120°，
∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE，
∴×AM×BD＝×CE×AN，
∴AM＝AN，
在Rt△AFM和Rt△AFN中，
，
∴Rt△AFM≌Rt△AFN（HL），
∴∠AFM＝∠AFN，
∴∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定与性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．（2021秋•长丰县期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
（1）以原点O为位似中心，将△ABC放大，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2：1，且点B的对应点B1在第三象限，请在网格内画出△A1B1C1；
（2）点A1的坐标为 （﹣4，2） ，点C1的坐标为 （2，﹣4） ．

【考点】作图﹣位似变换．
【专题】作图题；图形的相似；几何直观；推理能力．
【分析】（1）把A、B、C横坐标与纵坐标乘以﹣2，即可得到A1、B1、C1的坐标（或A'1、B'1、C'1的坐标），然后描点连线即可．
（2）根据图形写出点A1的坐标和点C1的坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）点A1的坐标为（﹣4，2），点C1的坐标为（2，﹣4），
故答案为：（﹣4，2），（2，﹣4）．

【点评】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
3．（2021秋•浦东新区校级期末）已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC．过点B作AD的垂线，垂足为E．过点C作AD的垂线交AD的延长线于F．联结CE交FB的延长线于点P，联结AP．
（1）求证：AB•AF＝AC•AE；
（2）求证：CF∥AP．

【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】（1）证明△ABE∽△ACF，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）证明△PEB∽△PCF，由相似三角形的性质得出，，得出，由相似三角形的判定可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAF，
∵BE⊥AE，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°，
∴△ABE∽△ACF，
∴，
∴AB•AF＝AC•AE；
（2）证明：∵BE⊥AE，CF⊥AD，
∴BE∥CF，
∴△PEB∽△PCF，
∴，
∵△ABE∽△ACF，
∴，
∴，
∴，
又∵∠AEP＝∠CEF，
∴△AEP∽△FEC，
∴∠APE＝∠FCE，
∴CF∥AP．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质；证明三角形相似是解决问题的关键．
4．（2021秋•庐阳区期末）△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点E为BC边上一点，点D为AC延长线上一点，CE＝CD，连接BD、AE，并延长AE交BD于F，设CB＝x．
（1）求证：△ACE∽△BFE；
（2）若F恰好是BD中点，求x的值；
（3）设y＝，当x＝时，求y的值．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】（1）先证明△ACE≌△BCD得到∠CAE＝∠CBD，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
（2）先计算出AB＝，再利用△ACE∽△BFE得到∠BFE＝∠ACE＝90°，则AF垂直平分BD，所以AB＝AD，即1+x＝，从而得到x的值；
（3）先利用△ACE∽△BFE，根据相似三角形的性质得到BF＝，再利用△ACE≌△BCD得到AE＝BD，所以y＝，然后把x＝代入计算即可．
【解答】（1）证明：在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE＝∠CBD，
∵∠AEC＝∠BEF，
∴△ACE∽△BFE；
（2）解：CD＝CE＝x，则AD＝AC+CD＝1+x，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，
∴AB＝，
∵△ACE∽△BFE，
∴∠BFE＝∠ACE＝90°，
∴AF⊥BD，
∵F恰好是BD中点，
∴AF垂直平分BD，
∴AB＝AD，
即1+x＝，
∴x＝﹣1；
（3）解：∵△ACE∽△BFE，
∴＝，
∴BF＝，
∵△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，
∴y＝＝＝，
当x＝时，y＝＝．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，利用比例线段计算相应线段的长．也考查了全等三角形的判定与性质．
5．（2021•杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．

【考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．
【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．
【分析】（1）根据∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，知∠BAG＝∠FAC，由圆周角定理知∠G＝∠C，即可证△ABG∽△AFC；
（2）由（1）知＝，由AC＝AF得AG＝AB，即可计算FG的长度；
（3）先证△DGB∽△BGE，得出线段比例关系，即可得证BG2＝GE•GD．
【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠FAC，
又∵∠G＝∠C，
∴△ABG∽△AFC；
（2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC，
∴＝，
∵AC＝AF＝b，
∴AB＝AG＝a，
∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；
（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，
∴∠BAG＝∠CBG，
∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，
又∵∠DGB＝∠BGE，
∴△DGB∽△BGE，
∴＝，
∴BG2＝GE•GD．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
6．（2021•毕节市）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）如图2，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判断AF与DC的位置关系，并说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】（1）通过SAS证明△ABD≌△CAE，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，再利用三角形内角和定理可证BD⊥CE；
（2）作AG⊥BF，AH⊥CE，由全等知AG＝AH，从而得到AF平分∠BFE，证出∠AFD＝∠FDC＝45°，从而证出平行．
【解答】证明（1）如图1，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
又∵∠AOB＝∠COF，
∴∠BFC＝∠BAC＝90°，
∴BD⊥CE；

（2）AF∥CD，理由如下：
如图2，作AG⊥BF于G，AH⊥CE于H，
由（1）知△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE，
∴AG＝AH，
又∵AG⊥BF，AH⊥CE，
∴AF平分∠BFE，
又∵∠BFE＝90°，
∴∠AFD＝45°，
∵∠BDC＝135°，
∴∠FDC＝45°，
∴∠AFD＝∠FDC，
∴AF∥CD．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质等知识，作出辅助线是解题的关键．
7．（2021秋•济南期末）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD＝∠ACB＝∠AED＝90°，由∠1+∠2+∠BAD＝180°，∠2+∠D+∠AED＝180°，可得∠1＝∠D；又因为∠ACB＝∠AED＝90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到＝ .我们把这个模型称为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且∠APD＝∠B．
①求证：△ABP∽△PCD；
②当点P为BC中点时，求CD的长；
拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP的长．


【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）根据相似三角形的性质解答即可；
（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP＝∠CPD，进而证明△ABP∽△PCD；
②根据相似三角形的性质计算，得到答案；
（3）分PA＝PD、AP＝AD、DA＝DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质计算即可．
【解答】（1）解：∵△ABC∽△DAE，
∴＝，
∴＝，
故答案为：；
（2）①证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠APC＝∠B+∠BAP，∠APC＝∠APD+∠CPD，∠APD＝∠B，
∴∠BAP＝∠CPD，
∵∠B＝∠C，
∴△ABP∽△PCD；
②解：∵BC＝12，点P为BC中点，
∴BP＝PC＝6，
∵△ABP∽△PCD，
∴＝，即＝，
解得：CD＝3.6；
（3）解：当PA＝PD时，△ABP≌△PCD，
∴PC＝AB＝10，
∴BP＝BC﹣PC＝12﹣10＝2；
当AP＝AD时，∠ADP＝∠APD，
∵∠ADP＝∠B＝∠C，
∴∠ADP＝∠C，不合题意，
∴AP≠AD；
当DA＝DP时，∠DAP＝∠APD＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△BCA∽△ACP，
∴＝，即＝，
解得：CP＝，
∴BP＝BC﹣CP＝12﹣＝，
综上所述：当△APD为等腰三角形时，BP的长为2或．
【点评】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
8．（2021•朝阳）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．
（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含
k的式子表示）．

【考点】几何变换综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM≌△EON；
（2）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM∽△EON；
（3）解Rt△EON和斜△AOM．
【解答】解：（1）OM＝ON，
如图1，

作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，
∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，
∴∠DOE＝90°，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
在Rt△AOD中，
OD＝OA．sin∠A＝OA．sin45°＝OA，
同理：OE＝OB，
∵OA＝OB，
∴OD＝OE，
∵∠DOE＝90°，
∴∠DOM+∠MOE＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EON+∠MOE＝90°，
∴∠DOM＝∠EON，
在Rt△DOM和Rt△EON中，
，
∴△DOM≌△EON（ASA），
∴OM＝ON．
（2）如图2，

作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，
由（1）知：OD＝OA，OE＝OB，
∴＝＝，
由（1）知：
∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，
∴△DOM∽△EON，
∴＝＝，
∴ON＝k•OM．
（3）如图3，

设AC＝BC＝a，
∴AB＝a，
∵OB＝k•OA，
∴OB＝•a，OA＝•a，
∴OE＝OB＝a，
∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，
∴EN＝＝OE＝•a，
∵CE＝OD＝OA＝a，
∴NC＝CE+EN＝a+•a，
由（2）知：＝＝，△DOM∽△EON，
∴∠M＝∠N
∵＝，
∴＝，
∴△PON∽△AOM，
∴∠P＝∠A＝45°，∠AMO＝∠N＝30°，
∴PE＝OE＝a，
∴PN＝PE+EN＝a+•a，
设AD＝OD＝x，
∴DM＝，
由AD+DM＝AC+CM得，
（）x＝AC+CM，
∴x＝（AC+CM）＜（AC+）＝AC，
∴k＞1
∴＝＝，
∴＝．
【点评】本题考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解决问题的关键是作OD⊥AC，OE⊥BC；本题的难点是条件＜得出k＞1．
9．（2021•重庆）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；
（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE．若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC＝150°时，请直接写出的值．

【考点】几何变换综合题．
【专题】综合题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接CE，过点F作FQ⊥BC于Q，判断出FA＝FQ，再判断出∠BAD＝∠CAE，进而得出△ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE＝2，∠ABD＝∠ACE＝45°，再判断出CF＝CE＝2，即可得出结论；
（2）延长BA至点M，使AM＝AB，连接EM，得出AG＝ME，再判断出△ADC≌△AEM（SAS），得出CD＝EM，即可得出结论；
（3）如图3，连接DE，AD与BE的交点记作点N，先判断出△ADE是等边三角形，得出AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝60°，∠ACB＝∠ABC＝30°，进而判断出点A，B，C，E四点共圆，得出∠BEC＝∠BAC＝120°，再判断出BE是AD的垂直平分线，也是∠ABC的角平分线，设AG＝a，则DG＝a，进而得出CD＝2a，CE＝DE＝a，AD＝a，再构造直角三角形求出AC，即可得出结论．
【解答】解：（1）连接CE，过点F作FQ⊥BC于Q，
∵BE平分∠ABC，∠BAC＝90°，
∴FA＝FQ，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴FQ＝CF，
∵∠BAC+∠DAE＝180°，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
由旋转知，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE＝2，∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∴∠CBF+∠BEC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF+∠BEC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠BEC，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠BEC＝∠CFE，
∴CF＝CE＝2，
∴AF＝FQ＝CF＝；

（2）AG＝CD，
理由：延长BA至点M，使AM＝AB，连接EM，
∵G是BE的中点，
∴AG＝ME，
∵∠BAC+∠DAE＝∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠DAE＝∠CAM，
∴∠DAC＝∠EAM，
∵AB＝AM，AB＝AC，
∴AC＝AM，
∵AD＝AE，
∴△ADC≌△AEM（SAS），
∴CD＝EM，
∴AG＝CD；

（3）如图3，连接DE，AD与BE的交点记作点N，
∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝120°，
∴∠DAE＝60°，
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝60°，
∵∠AEC＝150°，
∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝90°，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ACB＝∠ABC＝30°，
∵∠AEC＝150°，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∴点A，B，C，E四点共圆，
∴∠BEC＝∠BAC＝120°，
∴∠BED＝∠BEC﹣∠DEC＝30°，
∴∠DNE＝180°﹣∠BED﹣∠ADE＝90°，
∵AE＝DE，
∴AN＝DN，
∴BE是AD的垂直平分线，
∴AG＝DG，BA＝BD＝AC，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，
∴∠ACE＝∠ABE＝15°，
∴∠DCE＝45°，
∵∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝45°＝∠DCE，
∴DE＝CE，
∴AD＝DE，
设AG＝a，则DG＝a，
由（2）知，AG＝CD，
∴CD＝2AG＝2a，
∴CE＝DE＝CD＝a，
∴AD＝a，
∴DN＝AD＝a，
过点D作DH⊥AC于H，
在Rt△DHC中，∠ACB＝30°，CD＝2a，
∴DH＝a，
根据勾股定理得，CH＝a，
在Rt△AHD中，根据勾股定理得，AH＝＝a，
∴AC＝AH+CH＝a+a，
∴BD＝a+a，
∴＝＝．



【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，判断出点A，B，C，E四点共圆是解本题的关键．
10．（2021•沈阳）在△ABC中，AB＝AC，△CDE中，CE＝CD（CE≥CA），BC＝CD，∠D＝α，∠ACB+∠ECD＝180°，点B，C，E不共线，点P为直线DE上一点，且PB＝PD．
（1）如图1，点D在线段BC延长线上，则∠ECD＝ 180°﹣2α ，∠ABP＝ α （用含α的代数式表示）；
（2）如图2，点A，E在直线BC同侧，求证：BP平分∠ABC；
（3）若∠ABC＝60°，BC＝+1，将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BP⊥DE时，直线PC交BD于点G，点M是PD中点，请直接写出GM的长．

【考点】几何变换综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可．
（2）如图2中，连接BD．证明∠PBC＝∠CDE＝α，可得结论．
（3）分两种情形：如图3﹣1中，设BP交AC于J．图3﹣2中，设PC交BC于K，当BP⊥PC时，利用三角形的中位线定理，可得GM＝PB，求出PB，可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，

∵CE＝CD，
∴∠D＝∠E＝α，
∴∠ECD＝180°﹣2α，
∴∠ECB＝∠E+∠D＝2α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2α，
∵PB＝PD，
∴∠PBD＝∠D＝α，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBD＝α，
故答案为：180°﹣2α，α．

（2）证明：如图2中，连接BD．

∵CB＝CD，PB＝PD，
∴∠CBD＝∠CDB，∠PBD＝∠PDB，
∴∠PBC＝∠PDC＝α，
∵∠ABC＝2α，
∴∠ABP＝∠PBC＝α，
∴PB平分∠ABC．

（3）解：如图3﹣1中，设BP交AC于J．

∵BP⊥PD，BP＝PD，
∴△PBD是等腰直角三角形，
∵CB＝CD，PB＝PD，
∴PG垂直平分线段BD，
∴BG＝DG，
∵PM＝MD，
∴GM＝PB，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ECD＝180°﹣60°＝120°，△ACB是等边三角形，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝30°，
∴∠PBC＝∠PDC＝30°，
∴∠BJC＝90°，
∴CJ＝BC＝，BJ＝CJ＝，
∵∠CPD＝∠CPJ＝45°，
∴PJ＝JC＝，
∴PB＝BJ+PJ＝+2，
∴GM＝．

如图3﹣2中，设PC交BC于K，当BP⊥PC时，同法可证GM＝PB．

∵∠PBC＝30°，∠GPB＝∠PBC+∠PCB＝45°，
∴∠PCB＝∠PCD＝15°，
∴∠KCE＝120°﹣15°﹣15°＝90°，
∵∠E＝30°，CE＝CB＝+1，
∴CK＝＝1+，
∴KB＝BC﹣CK＝，
∴PB＝BK•cos30°＝×＝1，
∴GM＝PB＝，
综上所述，GM的长为或．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是利用特殊三角形的性质解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．

考点卡片
1．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
2．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
3．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
4．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
5．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
6．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
7．几何变换综合题
几何变换综合题．
8．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
9．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
10．作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
11．相似形综合题
相似形综合题．