2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：图形的对称和平移（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：图形的对称和平移（含答案），共26页。试卷主要包含了的对应点等内容，欢迎下载使用。
1．（2021•宁夏）在平面直角坐标系中，已知线段A1B1与线段AB关于y轴对称，点A1（﹣2，1）是点A的对应点，点B1是点B（4，2）的对应点．
（1）画出线段AB和A1B1；
（2）画出将线段A1B1绕点A1逆时针旋转90°所得的线段A1B2，并求出点B1旋转到点B2所经过的路径长．

2．（2021秋•两江新区期末）如图，在平面直角坐标系中△ABC顶点坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣2，4），C（﹣5，2）．△A'B'C'与△ABC关于y轴对称，且点A，B，C的对应点分别为点A'，B'，C'．
（1）在图中画出△A'B'C'；
（2）点M从点A'出发，先沿适当的路径运动到x轴上的点D处，再沿适当的路径运动到点C处停止，请画出点M的最短路径．

3．（2021•哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到△MNP（点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P），请画出△MNP；
（2）在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF（点F在小正方形的顶点上）．连接FP，请直接写出线段FP的长．

4．（2021秋•泗水县期末）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，5）．
（1）若把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，并写出B1的坐标；
（2）求出△ABC的面积；
（3）在y轴上找一点P，使得PA+PB的值最小（保留作图痕迹，不写作法）．

5．（2021•巴音郭楞州模拟）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点在格点上）顶点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．
（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标和周长最小值．

6．（2021秋•开州区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABO为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（3，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，求出点P的坐标；
（3）在第四象限是否存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．


7．（2021秋•包河区期末）如图，已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣2，4），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）将△ABC沿y轴翻折，画出翻折后图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）在y轴上确定一点P，使AP+PB的值最小，直接写出点P的坐标；
（3）若△DBC与△ABC全等，请找出符合条件的△DBC（点D与点A重合除外），并直接写出点D的坐标．

8．（2021•泗水县二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，3）、B（﹣5，1）、C（﹣2，0），P（a，b）是三角形ABC的边AC上的任意一点，三角形ABC经过平移后得到三角形A1B1C1，点P的对应点为P1（a+4，b）．
（1）在图中画出三角形A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标．
（2）求四边形ACC1A1的面积．

9．（2021•寻乌县模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中C点坐标为（2，2）．
（1）写出点A，B的坐标：A（ ， ），B（ ， ）；
（2）判断△ABC的形状并计算出△ABC的面积；
（3）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A'B'C'，在坐标系中画出△A'B'C'，并写出△A'B'C'的三个顶点坐标．

10．（2021•德州模拟）若在方格（每小格正方形边长为1m）上沿着网格线平移，规定：沿水平方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿竖直方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”．例如：点A按“平移量”{1，4}可平移至点B．
（1）从点C按“平移量”{ ， }可平移到点B；
（2）若点B依次按“平移量”{2，﹣2}，{﹣3，2}平移至点D．
①请在图中标出点D；
②如果每平移1m需要2.5秒，那么按此方法从点B移动至点D需要多少秒？
③观察点D的位置，其实点B也可按“平移量”{ ， }直接平移至点D；观察这两种平移的“平移量”，猜想：点依次按“平移量”{2，3}、{﹣5，1}、{1，﹣5}平移至点F，则相当于点E按“平移量”{ ， }直接平移至点F．

2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：图形的对称和平移（10题）
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题）
1．（2021•宁夏）在平面直角坐标系中，已知线段A1B1与线段AB关于y轴对称，点A1（﹣2，1）是点A的对应点，点B1是点B（4，2）的对应点．
（1）画出线段AB和A1B1；
（2）画出将线段A1B1绕点A1逆时针旋转90°所得的线段A1B2，并求出点B1旋转到点B2所经过的路径长．

【考点】作图﹣轴对称变换；作图﹣旋转变换．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A点、B1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出B1的对应点B2，再求出出A1B1的长，然后利用弧长公式计算点B1旋转到点B2所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图，线段AB和A1B1为所作；
（2）如图，线段A1B2为所作，
A1B1＝＝，
所以点B1旋转到点B2所经过的路径长＝＝π．

【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了旋转变换．
2．（2021秋•两江新区期末）如图，在平面直角坐标系中△ABC顶点坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣2，4），C（﹣5，2）．△A'B'C'与△ABC关于y轴对称，且点A，B，C的对应点分别为点A'，B'，C'．
（1）在图中画出△A'B'C'；
（2）点M从点A'出发，先沿适当的路径运动到x轴上的点D处，再沿适当的路径运动到点C处停止，请画出点M的最短路径．

【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】网格型；几何直观．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出图形；
（2）作点A'关于x轴的对称点A''，连接CA''交x轴于D．
【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；

（2）如图所示，A'D→DC即为点M的最短路径．
【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，准确画出图形是解题的关键．
3．（2021•哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到△MNP（点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P），请画出△MNP；
（2）在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF（点F在小正方形的顶点上）．连接FP，请直接写出线段FP的长．

【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；作图﹣平移变换．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点即可；
（2）先把DE绕E点逆时针旋转90°得到EQ，则△DEQ为等腰直角三角形，然后取DQ的中点F，则△DEF满足条件，最后利用勾股定理计算PF．
【解答】解：（1）如图，△MNP为所作；
（2）如图，△DEF为所作；
FP＝＝．

【点评】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．也考查了等腰直角三角形的性质．
4．（2021秋•泗水县期末）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，5）．
（1）若把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，并写出B1的坐标；
（2）求出△ABC的面积；
（3）在y轴上找一点P，使得PA+PB的值最小（保留作图痕迹，不写作法）．

【考点】轴对称﹣最短路线问题；作图﹣平移变换．
【专题】网格型；几何直观．
【分析】（1）根据平移的性质可画出△A1B1C1，并得出B1的坐标；
（2）利用△ABC所在的矩形的面积减去周围三个三角形面积即可得出答案；
（3）作点B关于y轴的对称点B'，连接AB'交y轴于P，则点P即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，

∴B1的坐标（3，﹣2）；
（2）S△ABC＝3×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×2×3＝12﹣2﹣2﹣3＝5；
（3）作点B关于y轴的对称点B'，连接AB'交y轴于P，
则点P即为所求．
【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换，轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积等知识，准确画出图形是解题的关键．
5．（2021•巴音郭楞州模拟）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点在格点上）顶点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．
（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标和周长最小值．

【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】网格型；几何直观．
【分析】（1）根据点的坐标特征，找到原点位置即可；
（2）根据轴对称的性质进行画图；
（3）作点C关于y轴的对称点C'，连接C'B1，交y轴于点P，设直线B1C'的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B1（﹣2，﹣2），C'（1，4）代入即可．
【解答】解：（1）如图，根据点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4），
可找到原点O的坐标，建立如图所示的平面直角坐标系；

（2）如图，△A1B1C1即为所求；
（3）作点C关于y轴的对称点C'，连接C'B1，交y轴于点P，
设直线B1 C'的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵B1 （﹣2，﹣2），C'（1，4），
∴，
解得，
∴直线B1C'的解析式为y＝2x+2，
∴P（0，2），
此时△PB1C的周长的最小值为B1C+B1C'＝+＝+3．
【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，待定系数法求函数解析式等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
6．（2021秋•开州区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABO为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（3，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，求出点P的坐标；
（3）在第四象限是否存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．


【考点】坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【分析】（1）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，证明△AOC≌△OBD（AAS），即可求B点坐标；
（2）作点B关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，连接BP，当A、B'、P三点共线时PA+PB的值最小，求出直线AB'的解析式即可求P点坐标；
（3）分三种情况：当∠AOM＝90°时，AO＝OM，过点A作AF⊥y轴交于点F，过点M作ME⊥y轴交于点E，证明△FAO≌△GMA（AAS），即可求M（4，﹣2）；②当∠OAM＝90°时，OA＝AM，过点A作AF⊥y轴交于F点，过点M作MG⊥AF交于点G，证明△FAO≌△GMA（AAS），即可求M（4，﹣2）；③当∠OMA＝90°时，OM＝AM，过点M作MQ⊥y轴交于Q点，过点A作AP⊥QM交于P点，证明△OQM≌△MPA（AAS），即可求M（2，﹣1）．
【解答】解：（1）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵点A的坐标为（3，1），
∴OC＝3，AC＝1，
又∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠OAC+∠AOC＝90°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠BOD，
又∵AO＝BO，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴OC＝BD＝3，AC＝OD＝1，
∴点B的坐标为（﹣1，3）；
（2）如图2，作点B关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，连接BP，
由对称性可知BP＝B'P，
∴AP+BP＝AP+B'P≥AB'，
∴当A、B'、P三点共线时PA+PB的值最小，
连接BB'交x轴于点E，则E（﹣1，0），
∵点B与B'关于x轴对称，
∴点B'的坐标为（﹣1，﹣3），
设直线AB'的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
∴P（2，0）；
（3）存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，理由如下：
①当∠AOM＝90°时，AO＝OM，
如图3，过点A作AF⊥y轴交于点F，过点M作ME⊥y轴交于点E，
∵∠FOA+∠FAO＝90°，∠FOA+∠EOM＝90°，
∴∠FAO＝∠EOM，
∵AO＝OM，
∴△FAO≌△EOM（AAS），
∴OF＝EM，OE＝FA，
∵A（3，1），
∴AF＝3，OF＝1，
∴M（1，﹣3）；
②如图4，当∠OAM＝90°时，OA＝AM，
过点A作AF⊥y轴交于F点，过点M作MG⊥AF交于点G，
∵∠FAO+∠FOA＝90°，∠FAO+∠GAM＝90°，
∴∠AFO＝∠GAM，
∴△FAO≌△GMA（AAS），
∴AF＝GM，OF＝AF，
∵A（3，1），
∴AF＝3，OF＝1，
∴M（4，﹣2）；
③如图5，当∠OMA＝90°时，OM＝AM，
过点M作MQ⊥y轴交于Q点，过点A作AP⊥QM交于P点，
∵∠OMQ+∠QOM＝90°，∠OMQ+∠AM＝90°，
∴∠QOM＝∠AMP，
∴△OQM≌△MPA（AAS），
∴OQ＝MP，QM＝AP，
∵A（3，1），
∴QM+MP＝3，1+QO＝QM，
∴1+QO+OQ＝3，
∴QO＝1，
∴M（2，﹣1）；
综上所述：M点坐标为（1，﹣3）或（4，﹣2）或（2，﹣1）．





【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
7．（2021秋•包河区期末）如图，已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣2，4），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）将△ABC沿y轴翻折，画出翻折后图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）在y轴上确定一点P，使AP+PB的值最小，直接写出点P的坐标；
（3）若△DBC与△ABC全等，请找出符合条件的△DBC（点D与点A重合除外），并直接写出点D的坐标．

【考点】全等三角形的判定；作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）连接BA1交yz轴于点P，点P即为所求；
（3）利用全等三角形的判定作出全等三角形即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1（2，4）；
（2）如图，点P即为所求，P（0，3）；
（3）如图，点D即为所求，D（﹣5，4）或（﹣5，﹣4）或（﹣2，﹣4）．

【点评】本题考查作图﹣旋转变换，位似变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，位似变换的性质，属于中考常考题型．
8．（2021•泗水县二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，3）、B（﹣5，1）、C（﹣2，0），P（a，b）是三角形ABC的边AC上的任意一点，三角形ABC经过平移后得到三角形A1B1C1，点P的对应点为P1（a+4，b）．
（1）在图中画出三角形A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标．
（2）求四边形ACC1A1的面积．

【考点】作图﹣平移变换．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）根据点P（a，b）的对应点为P1（a+4，b），据此将各点的横坐标加4、纵坐标不变可得；
（2）利用平行四边形的面积公式求解可得．
【解答】（1）解：如图所示：

A1（1，3），B1（﹣1，1），C1（2，0）；
（2）解：四边形ACC1A1的面积＝3×4＝12．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
9．（2021•寻乌县模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中C点坐标为（2，2）．
（1）写出点A，B的坐标：A（ 3 ， ﹣1 ），B（ 5 ， 3 ）；
（2）判断△ABC的形状并计算出△ABC的面积；
（3）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A'B'C'，在坐标系中画出△A'B'C'，并写出△A'B'C'的三个顶点坐标．

【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理；作图﹣平移变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【分析】（1）根据平面直角坐标系即可写出点A，B的坐标；
（2）根据网格和勾股定理计算出三边的长，然后利用勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状，然后根据网格即可求出三角形的面积；
（3）根据平移的性质即可画出△A'B'C'，进而写出△A'B'C'的三个顶点坐标．
【解答】解：（1）根据题意可知：点A（3，﹣1），B（5，3），
故答案为：3；﹣1；5；3．
（2）∵，
∴AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，
即△ABC的形状是等腰直角三角形．，
∴；
故△ABC的面积为5；
（3）如图，△A'B'C'即为所求．

A'（1，0），B'（3，4），C'（0，3）．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换，勾股定理，勾股定理的逆定理，解决本题的关键是掌握平移的性质．
10．（2021•德州模拟）若在方格（每小格正方形边长为1m）上沿着网格线平移，规定：沿水平方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿竖直方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”．例如：点A按“平移量”{1，4}可平移至点B．
（1）从点C按“平移量”{ ﹣2 ， ﹣1 }可平移到点B；
（2）若点B依次按“平移量”{2，﹣2}，{﹣3，2}平移至点D．
①请在图中标出点D；
②如果每平移1m需要2.5秒，那么按此方法从点B移动至点D需要多少秒？
③观察点D的位置，其实点B也可按“平移量”{ ﹣1 ， 0 }直接平移至点D；观察这两种平移的“平移量”，猜想：点依次按“平移量”{2，3}、{﹣5，1}、{1，﹣5}平移至点F，则相当于点E按“平移量”{ ﹣2 ， ﹣1 }直接平移至点F．

【考点】正数和负数；绝对值；算术平方根；坐标与图形变化﹣平移．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）根据“平移量”的定义判断即可．
（2）①根据要求作出点D即可．
②根据时间＝，可得结论．
（3）利用图象法判断即可．
【解答】解：（1）从点C按“平移量”{﹣2，﹣1}可平移到点B；
故答案为：﹣2，﹣1．

（2）①如图，点D即为所求．

②时间＝＝3.6（秒）．
③观察点D的位置，其实点B也可按“平移量”{﹣1，0}直接平移至点D；观察这两种平移的“平移量”，猜想：点依次按“平移量”{2，3}、{﹣5，1}、{1，﹣5}平移至点F，则相当于点E按“平移量”{﹣2，﹣1}直接平移至点F．
故答案为：﹣1，0，﹣2，﹣1．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，“平移量”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
4．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
5．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
6．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
7．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
8．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
9．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
10．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
11．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
12．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
13．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
14．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．