2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：尺规作图（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：尺规作图（含答案），共18页。试卷主要包含了如图，BD为▱ABCD的对角线，作图等内容，欢迎下载使用。
1．（2021•青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：∠O及其一边上的两点A，B．
求作：Rt△ABC，使∠C＝90°，且点C在∠O内部，∠BAC＝∠O．

2．（2021•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB上一点，且AC＝AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接DE，求证：DE⊥AB．

3．（2021•襄阳）如图，BD为▱ABCD的对角线．
（1）作对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BC，BD于点E，F，O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BE，DF，求证：四边形BEDF为菱形．

4．（2021•陕西）如图，已知△ABC，AB＞AC．请在边AB上求作一点P，使点P到点B、C的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

5．（2021•湖北）已知△ABC和△CDE都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图1，当BC＝CD时，作△ABC的中线BF；
（2）如图2，当BC≠CD时，作△ABC的中线BG．

6．（2021•吉林三模）图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，△ABC为格点三角形．请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．

（1）在图①中，画出△ABC中AB边上的中线CM；
（2）在图②中，画出△ABC中AC边上的高BN，并直接写出△ABC的面积．
7．（2021•潜江模拟）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．只用直尺（不带刻度）作图．：
①如图1，如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上．请在这个网格中作线段AB的垂直平分线．
②如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH．

8．（2021•渭南模拟）如图在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，请利用尺规作图法作⊙P使得⊙P与AB相切于点A，同时与BC相切（保留作图痕迹，不写作法）．

9．（2020•安顺）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．

10．（2021•长春）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：
（1）在图①中，连结MA、MB，使MA＝MB；
（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；
（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC．

2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：尺规作图（10题）
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题）
1．（2021•青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：∠O及其一边上的两点A，B．
求作：Rt△ABC，使∠C＝90°，且点C在∠O内部，∠BAC＝∠O．

【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】先在∠O的内部作∠DAB＝∠O，再过B点作AD的垂线，垂足为C点．
【解答】解：如图，Rt△ABC为所作．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
2．（2021•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB上一点，且AC＝AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接DE，求证：DE⊥AB．

【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题；推理能力．
【分析】（1）利用基本作图作∠BAC的平分线；
（2）证明△ACE≌△ADE得到∠ADE＝∠C＝90°，从而得到DE⊥AB．
【解答】（1）解：如图，AE为所作；


（2）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠DAE，
在△ACE和△ADE中，
，
∴△ACE≌△ADE（SAS），
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∴DE⊥AB．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了全等三角形的判定与性质．
3．（2021•襄阳）如图，BD为▱ABCD的对角线．
（1）作对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BC，BD于点E，F，O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BE，DF，求证：四边形BEDF为菱形．

【考点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；作图—基本作图．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【分析】（1）利用基本作图作BD的垂直平分线即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OD，EB＝ED，FB＝FD，再证明△ODE≌△OBF得到DE＝BF，则BE＝DE＝BF＝DF，然后根据菱形的判定方法得到结论．
【解答】（1）解：如图，EF为所作；

（2）证明：∵EF垂直平分BD，
∴OB＝OD，EB＝ED，FB＝FD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，
在△ODE和△OBF中，
，
∴△ODE≌△OBF（AAS），
∴DE＝BF，
∴BE＝DE＝BF＝DF，
∴四边形BEDF为菱形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作已知线段的垂直平分线）．也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质和菱形的判定．
4．（2021•陕西）如图，已知△ABC，AB＞AC．请在边AB上求作一点P，使点P到点B、C的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【考点】线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】作线段BC的垂直平分线MN交AB于点P，点P即为所求．
【解答】解：如图，点P即为所求．

【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线的性质解决问题．
5．（2021•湖北）已知△ABC和△CDE都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图1，当BC＝CD时，作△ABC的中线BF；
（2）如图2，当BC≠CD时，作△ABC的中线BG．

【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）连接BE交AC于点F，线段BF即为所求．
（2）延长BA交DE的延长线于W，连接AD，CW交于点O，连接OB交AC于G，线段BG即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，线段BF即为所求．
（2）如图2中，线段BG即为所求．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是能结合题目条件，灵活运用所学知识解决问题．
6．（2021•吉林三模）图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，△ABC为格点三角形．请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．

（1）在图①中，画出△ABC中AB边上的中线CM；
（2）在图②中，画出△ABC中AC边上的高BN，并直接写出△ABC的面积．
【考点】三角形的角平分线、中线和高；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；作图—应用与设计作图．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）根据三角形的中线的定义，画出图形即可；
（2）根据三角形的高的定义画出图形，利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）如图，线段CM即为所求；
（2）如图，线段BN即为所求．S△ABC＝×2×3×＝．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等边三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解三角形的中线，高的定义解决问题．
7．（2021•潜江模拟）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．只用直尺（不带刻度）作图．：
①如图1，如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上．请在这个网格中作线段AB的垂直平分线．
②如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH．

【考点】线段垂直平分线的性质；作图—应用与设计作图．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】①取格点C，D，M，N，连接BD，AC交于点E，连接AM，BN交于点F，作直线EF即可；
②取格点R，J，连接BR，CJ交于点I，连接AJ，延长AI交BC于点H，线段AH即为所求．
【解答】解：①如图1中，直线EF即为所求；
②如图2中，直线AH即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
8．（2021•渭南模拟）如图在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，请利用尺规作图法作⊙P使得⊙P与AB相切于点A，同时与BC相切（保留作图痕迹，不写作法）．

【考点】圆周角定理；切线的判定与性质；作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】作∠ABC的平分线BF，与AC交于点P，以点P为圆心，AP长为半径作⊙P．⊙P即为所求．
【解答】解：如图，⊙P即为所求．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．（2020•安顺）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．

【考点】无理数；勾股定理；勾股定理的逆定理；作图—应用与设计作图．
【专题】作图题；应用意识．
【分析】（1）构造边长3，4，5的直角三角形即可．
（2）构造直角边为2，斜边为4的直角三角形即可（答案不唯一）．
（3）构造三边分别为2，，的直角三角形即可．
【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求．
（2）如图②中，△ABC即为所求．
（3）△ABC即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计，无理数，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．（2021•长春）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：
（1）在图①中，连结MA、MB，使MA＝MB；
（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；
（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC．

【考点】作图—应用与设计作图．
【专题】网格型；推理能力．
【分析】（1）根据勾股定理得MA＝MB＝．
（2）连接AC，取AC中点M，MA＝MB＝MC＝．
（3）取△ABC外心M，由圆周角定理得∠AMC＝2∠ABC．
【解答】解：如图，

【点评】本题考查网格作图问题，解题关键是熟练掌握直角三角形与圆的性质．
考点卡片
1．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
2．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
3．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
4．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
5．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
6．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
7．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
8．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
9．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

10．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
11．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
12．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
13．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
14．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．