高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用教案

6.4.3平面向量的应用（第一课时）

余弦定理

(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章)

一、教学目标

1.借助向量的运算，推导余弦定理；

2.掌握余弦定理的几种变形公式及应用；

3.能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题.

二、教学重难点

1.余弦定理变形公式及应用

2.会利用公式解三角形

三、教学过程

1.1创设情境，引发思考

【实际情境】千岛湖位于杭州杭州到黄山之间，距离汉州129公里，黄山140公里，是这黄金旅游线上一颗璀璨的明珠，下图就是千岛湖的部分照片.

问题1：现在千岛湖上又三座岛屿，岛A、岛B和岛C，其中AB之间的距离1200m，AC之间的距离900m，用测角器测得∠BAC之间的角度为120°，现在想知道BC之间的距离，用什么方法来计算？

【设计意图】由实际问题出发，引出问题，引导学生思考.

【数学情境】把上述问题数学化，让岛A、岛B和岛分别在▲ABC的三个顶点上，且AC=1200m，AB=900m，∠A=120°，要求边BC的长度？

【设计意图】把实际问题转化为数学问题，初步让学生感受到数学建模的乐趣.

追问：更一般化，如果知道三角形的两个邻边和夹角，怎样求对边？

【活动预设】引导学生归纳概括出问题的共同特征，进一步提出数学建模思想.

1.2 探索新知，形成概念

问题3：在一个三角形中，如果知道邻边和夹角，利用前面的向量知识，能不能求出对边？

【活动预设】

1. 把平面向量的知识过度到三角形中来，学会知识迁移
2. 利用向量的数量积运算来化简复杂三角形问题

教师讲授：余弦定理：三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹

角的余弦的积的两倍.

【设计意图】（1）从已有知识出发，推导新的知识；

（2）引导学生巩固和加强，理解两个事物之间的联系

1.3 初步应用，理解概念

题型一  已知两边及夹角求对边

问题4：回到初始千岛湖的问题：由条件知岛A与岛C距离为12000m，A与岛B距离为900m，再利用仪器测出岛A对岛B和岛C的张角为120°（∠A=120°），计算求出岛B和岛C的长度？

【预设的答案】0

【设计意图】从知识到应用，在回顾前面问题的基础上，加强对余弦定理的理解

练习：在▲ABC中b=3,c=,A=30°，求a

【预设的答案】

【设计意图】

在形成概念后，遵循从一般到特殊的思路，在实践活动中进行再认识，熟悉概念，从外延的角度加深概念的理解，为下一个环节作铺垫；同时也规范对数符号的书写.

1.4 升入理解，理性分析

余弦定理：三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

即：       

变式： ，，

适用范围：任意三角形

机构特征：“平方”，“乘积”，“夹角”，“余弦”

简单应用：等式中的三个便和一个角，四个元素可以做到“知三求一”

解三角形：一般地，三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c叫做三角形的元素。

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形(solving.triangles)

【设计意图】

通过对公式的形式和内容进一步认识，进一步加深对余弦定理的概念的内涵和外延的理解.

1.5 加强应用，深入理解

题型二  已知三边求夹角

例1 在△ABC中，已知a= ,b=2, c=解三角形.

【预设的答案】

，，

练习：在中，,,解这个三角形.

【预设的答案】

题型三：判断三角形的形状

例2 :在△ABC中，若，则△ABC的形状为（　   ）

Ａ、钝角三角形　Ｂ、直角三角形

Ｃ、锐角三角形　Ｄ、不能确定

【预设的答案】A

变式：思考 :将，改为,则△ABC的形状为         .

【预设的答案】无法确定

练习：在△ABC中，若，则△ABC的形状为（　   ）

【预设的答案】等腰三角形

【设计意图】利用实例来强化对定理的理解

利用对数概念以及对指互化求值,加深对数概念的理解；

1.6 归纳小结、文化渗透

1.      余弦定理

余弦定理：三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

即：       

变式： ，，

2.应用：

（1）已知两边和夹角求对边

（2）已知三边求角度

（3）判断三角形的形状

3.思想与方法：

（1）思想：转化化归、方程、数形结合

（2）方法：利用余弦定理实现边角关系的相互转化

【设计意图】

（1）梳理本节课对于对数的认知；

（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习对数的必要性 .

四、课外作业