2020-2021学年7.3* 复数的三角表示教学设计及反思

7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第七章)

一、教学目标

1.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.

2.在知识的探究过程和发现中,感受数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.

二、教学重难点

1.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.

2.对复数乘、除运算的三角表示及其几何意义的理解.

三、教学过程

引言:在7.2节中,我们研究了复数代数形式的四则运算,上节课又学习了复数的另一种重要的表示形式—三角形式，很自然地，我们想知道复数的四则运算是否能用三角形式表示?下面我们就一起来研究这个问题.

(一)  知识回顾

      问题1:我们知道,复数可以进行加、减、乘、除运算，请回忆一下，复数的代数形式的加法和乘法运算的法则是什么?

     活动：学生回忆后回答：

     设则

     【设计意图】复数加法、乘法运算的法则是研究复数加法、乘法运算三角表示的出发点，提出这个问题，激活学生已有的认知基础，为本节课研究复数乘法运算的三角表示进行铺垫.

(二)  复数乘法运算的三角表示及其几何意义的探究及其应用

      问题2:上节课，我们学习了复数的一种新的表示法—三角形式，那么复数加法、乘法运算是否能用三角形式来表示呢?

追问（1）：如果把复数分别写成三角形式你能计算和并将结果分别表示成三角形式吗?

师生活动：师生充分自主探究讨论后得出：一般来说复数的加法不便表示成三角形式；复数乘法能表示成三角形式，其三角表示公式为

教师板书复数乘法三角形式公式.

追问（2）：复数的减法运算是加法运算的逆运算，复数的减法运算能否用三角形式来表示?

师生活动：教师引导学生加减运算的关系得出：复数的减法是加法的逆运算，类比加法运算可知：复数减法不便表示成三角形式.

【设计意图】引导学生独立思考，自主探究，侧重经历复数乘法的三角表示公式的得出的过程，从中进一步体会复数与三角之间的紧密联系.

问题3:你能用文字语言来表述复数乘法的三角表示公式吗?

师生活动：学生回答，教师补充完善，得出：两个复数相乘积，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，可以简述为：“模相乘，辐角相加”.

【设计意图】培养学生的语言表达能力，帮助学生进一步加深对复数乘法运算三角表示的理解.

问题4:我们知道复数的加、减运算具有几何意义，那么复数乘法很可能也具有几何意义，请用复数乘法运算的三角表示进行探索、尝试.

师生活动：学生用纸笔画出草图，分组讨论交流.教师借助信息工具画出图像，师生一起归纳出复数乘法运算三角表示的几何意义.

【设计意图】让学生借助图形进行分析，探究得出复数乘法运算三角表示的几何意义，体会数形结合思想，同时培养学生自主学习能力和合作意识.

问题5：你能解释和的几何意义吗？

师生活动：学生思考并陈述结论，教师归纳总结：可以写成，其几何意义是“将对应的向量绕点按照逆时针方向旋转，得到对应的向量”；可以写成，其几何意义是“将对应的向量绕点按照逆时针方向旋转，得到对应的向量”.

【设计意图】让学生利用复数乘法运算的几何意义，进一步理解熟悉的乘法运算的基本结论.

例1 已知求，请将结果化为代数形式，并做出几何解释.

【预设的答案】

    将对应的向量的模长伸长到原来的倍，再绕点按照逆时针方向旋转，得到对应的向量.

【设计意图】让学生利用复数乘法的三角表示进行运算，进一步熟悉算理和复数乘法运算三角表示的几何意义.

例2 如图，向量对应的复数为将绕点按照逆时针方向旋转，得到.求与向量对应的复数（作代数形式表示）.

【预设的答案】向量对应的复数

【设计意图】让学生了解利用复数乘法的几何意义可以解决某些与向量旋转、伸缩有关的复数运算问题，体会利用复数乘法几何意义解决问题的便捷性.

(三)  复数除法运算的三角表示及其几何意义的探究及其应用

   问题6:除法运算是乘法运算的逆运算.根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的三角表示吗?你能用文字语言加以表述吗?

师生活动：师生充分自主探究讨论后得出：复数除法能表示成三角形式，其三角表示公式为

教师板书复数除法三角形式公式，文字表述为：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数辐角所得的差.

【设计意图】在复数乘法的基础上，引导学生借助已有的知识和运算技巧推导复数除法的三角表示，体会转化与化归和类比的数学思想，提升数学运算素养.

 问题7:类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的几何意义吗?

师生活动：教师引导进而由学生自己画图并观察图形，得出复数除法运算的几何意义，教师借助信息技术演示.

【设计意图】通过除法三角表示的几何意义的自主探究，让学生进一步感受乘法和除法相互转化的关系，感受向量与复数之间的联系，同时感受数形结合、化归与转化思想在研究数学问题中的作用.

问题8:如果复数对应的向量，绕点按照逆时针方向旋转，模不变，所对应的新复数是什么?

师生活动：学生思考、讨论后回答：对应的新复数是

追问（1）：若按顺时针方向旋转呢?

师生活动：学生思考口答：新复数是

追问（2）：若模伸长或者缩短倍呢?

师生活动：学生思考回答，教师借助信息技术演示，帮助学生理解.教师总结：利用复数的乘法和除法运算的几何意义，可以把平面向量的旋转和伸缩问题转化为复数的乘、除运算问题；反之亦然.

【设计意图】让学生思考复数乘、除运算几何意义的反向应用，培养逆向思维能力，进一步感受平面向量与复数之间可以相互转化的关系.

例3 计算并把结果化为代数形式.

【预设的答案】.

【设计意图】让学生利用复数除法运算的三角表示公式进行运算，进一步熟悉算理.指导学生反思：在确保两个复数都为三角表示形式，才能运用复数的三角表示公式进行运算.

(四)  课堂练习

1.    教科书第89页练习1（1）（3）.
2.    教科书第89页练习2（1）（3）.

(五)  课堂小结

1.      复数乘法运算和除法运算的三角表示公式及其几何意义分别是什么?它们是如何推导出来的，试简述研究思路和方法.
2.      简述复数的代数形式和三角形式的区别与联系，它们在运算上各有什么优势?分别适合哪些运算?

【设计意图】帮助梳理本节课的知识、研究思路与方法，让学生进一步明确复数乘、除运算的三角表示及其几何意义，进一步体会类比、化归与转化、数形结合等数学思想方法，有利于提升学生直观想象、逻辑推理等素养.通过比较，让学生体会复数的代数形式和三角形式各自的特点，体会复数的三角形式给复数的乘、除运算带来的便利，以及复数三角形式与平面向量、三角函数之间的紧密联系.

(六)  布置作业

教科书习题7.3第3，4，5，6，8题.