人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用教案及反思

6.4.4正弦定理

(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章)

一、教学目标

1. 掌握正弦定理的概念与公式，理解正弦定理的推导过程，学会正弦定理在实际生活中的应用；

2. 通过观察，讨论，概括总结等活动，提高推理论证、运算求解等能力，感受数形结合等数学思想，培养数学抽象，空间想象，数学运算等数学学科核心素养。

二、教学重难点

1. 重点：掌握正弦定理的概念与公式，学会正弦定理在实际生活中的应用

2. 难点：理解正弦定理的推导过程，学会正弦定理在实际生活中的应用

三、教学过程

1.创设情境，引发思考

【实际情境】小明的家坐落在河岸的一侧A处，河的对岸B处有一座电视塔，现在小明想测量他的家与电视塔的距离。但是他没有办法渡河，他的手边只有测角仪与皮尺，那么他有办法利用手边的工具测得A与B之间的距离么？

问题1：（1）在测量之前应该借助什么图形来研究？（2）在上一堂课中学习的余弦定理是否可以应用在解决此类问题？（3）在构造出的三角形中，哪些条件是已知条件？

【预设的答案】三角形；不能；AC边长，角A与角C是已知的。

【设计意图】利用求河的两岸两点距离这一实例以及复习余弦定理，让学生感受余弦定理的局限性以及引入新的定理的必要性，同时调动学生学习的兴趣。

2.探究典例，形成概念

问题2：在初中阶段，怎样描述三角形中角与对边的关系？如何用符号语言表示？可以在直角三角形中加以证明么？

【活动预设】回顾初中阶段的知识“大边对大角，小边对小角”，并利用直角三角形初步得出的结论。

【设计意图】通过回顾初中的知识引出正弦定理，初步了解正弦定理的含义。

问题3：此结论在一般的三角形中仍适用么？可以用什么方法进行证明？

【活动预设】

（1）利用定义法，通过作垂线将锐角三角形分解为两个直角三角形；

（2）利用向量法，通过作垂直的单位向量构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系；

（3）利用外接圆法，通过同一弦对应角的大小相同的关系，得出的结论。

【设计意图】运用不同方法进行正弦定理的证明，拓宽思路，同时明了正弦定理与外接圆的关系。

问题4：如何用文字语言与符号语言描述正弦定理？

【教师讲授】符号语言：；文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

追问：正弦定理有哪些变形呢？

【教师讲授】

【设计意图】在探究特例的基础上，遵循从特殊到一般的思路，形成正弦定理的概念，并了解正弦定理的变形。

问题5：回顾问题1中的题目，假设测得AC=20m，角A为60度，角C为45度，如何利用正弦定理求AB之间的距离?

【预设答案】根据角B与AC的长度列出等式即可。

【设计意图】回归情景导入问题，通过新授知识解决问题，感受正弦定理在实际生活中的应用。

问题6：余弦定理适用于解决已知三边求三角等问题，那么正弦定理适用于哪些类型的解三角形问题？

【预设答案】已知两边与其中一个边的对角；已知两角与一边等问题。

【设计意图】通过类比余弦定理，得到正弦定理的适用范围，方便进行区分。

3.初步应用，理解概念

例1: 已知在△中，A＝45°c＝，a＝2，解此三角形.

【预设答案】由正弦定理，得sin C＝＝＝，

又c>a，∴C＝60°或C＝120°.

当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＋1；

当C＝120°时，B＝15°，b＝＝－1.

【设计意图】

通过给出已知两边与一边对角求解三角形的问题，巩固正弦定理的应用能力。

例2： △的内角，，的对边分别为，，，求.

【预设答案】

∵，

∴由正弦定理，得，  

∴由余弦定理，得.   

∵，

∴.

【设计意图】

加深对正弦定理的理解，了解正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：既可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；也可以化角为边，转化为代数问题来解决，同时学会将正弦定理与余弦定理的结合运用。

4.归纳小结，文化渗透

课堂总结：正弦定理的适用范围是什么？正弦定理与外接圆的关系是什么？正弦定理与余弦定理应该如何结合使用？截至本堂课，我们学习到了哪些三角形的结论？

【预设答案】（1）三角形内角和180度；（2）三角形面积公式；（3）余弦定理；（4）正弦定理。

【设计意图】

（1）梳理本节课对于正弦定理的认知；

（2）结合初中所学知识，回顾、加深三角形相关定理，并初步了解两者的结合运用。

四、课外作业