高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.1 复数的概念教学设计

7.1.2复数的几何意义

(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第七章)

一、教学目标

1. 理解可以用复平面内的点和向量来表示复数及它们之间的一一对应关系；

2. 掌握实轴、虚轴、模等概念以及用向量的模来表示复数的模的方法.

3.通过对复数的几何意义的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。

二、教学重难点

1.理解复数的几何意义，会在复平面内找出复数所对应的点和向量；

2. 根据复数的代数形式描出其对应的点及求复数的模和有关模的运算.

三、教学过程

1.复习回顾

问题1：回顾复数的代数形式、复数的分类、相等复数等概念

【预设的答案】

1复数的代数形式：

2复数的分类：

3相等复数：

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．

【设计意图】联系上节课内容，为引入复数几何意义的思考打下知识基础。

2．情境引入

问题2：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？

【预设的答案】

【设计意图】

教师抛出问题激发学生探究兴趣,让学生带着以下问题阅读课本

(1).复平面是如何定义的，复数的模如何求出？

(2).复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？

小组合作探究完成

3、课堂探究 

【探究点1】复数的几何表示

问题3：认识复平面

【限时训练】下列命题中的假命题是（   ）

A.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；

B.在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；

C.在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；

D.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.

【预设的答案】D

【设计意图】

学生自主学习，建构概念，教师规范表达，并通过问题对概念的严谨性进行探讨。

    【例1】在复平面内

(1)原点（0，0）表示______;

(2)实轴上的点（2，0）表示_______;

(3)虚轴上的点（0，-1）表示_______;

(4)点（-2，3）表示__________.

【预设的答案】实数0，实数2，虚数-i，虚数-2+3i；

【设计意图】

通过小练习加深对复平面的理解。教师加以总结：

这是复数的一种几何意义。

【探究点2】复数的向量表示

问题4：你能说出复数的向量表示吗？

【预设的答案】

【设计意图】由于这两个问题类似，鼓励学生用类比归纳的办法，把复平面和向量的几何意义联系起来，构建数学。教师继续给出新的概念：

并补充：在本书的第六章，我们提到复数的这种几何表示是由韦塞尔在1797年提出的．后来，阿尔冈出书对此进行讨论，并得到高斯的认同，因此这种几何表示也称阿尔冈图(Argand diagram) ．正是这种直观的几何表示，揭开了复数的神秘的、不可思议的“面妙”，确立了复数在数学中的地位．

教师通过引导，让学生联系数与形的关系，让学生体会“几何直观”的作用。

【探究点3】复数的模的几何意义

问题5：联系复数的几何意义，你能说出复数的模在复平面内的几何意义吗？

【预设答案】

复数 z=a+bi的模r就是复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.

复数的模是实数绝对值概念的推广。

【设计意图】教师通过引导，让学生联系数与形的关系，让学生加深对复数的模的理解。

【例2】

【预设答案】

【设计意图】用问题加强概念的应用。

【探究点4】共轭复数

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。复数 z=a+bi的的共轭复数表示为 z=a-bi.

问题6：

【预设答案】关于x轴对称

【设计意图】通过前面的学习，学生已能联系数与形的关系，此处的思考再一次让学生能从数形两方面建构数学。

【例3】

【预设答案】

4、课堂小结

4.1知识点

（1）复平面

（2）．复数的几何意义

①复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Za，b .

②复数z＝a＋bia，b∈R  平面向量 .

（3）复数模的定义：

向量的 模 r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模,记为|z|或|a＋bi|，公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．

4.2数学思想：数形结合、转化、类比归纳

4.3学科素养：数学抽象,直观想象、数学运算素养

四、课后作业

完成课本73页习题7.1