专题01 解三角形中的角、边、面积、周长计算问题-备战2022年高考数学二轮复习之大题核心考点专题训练(新高考地区)(解析版)

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第一篇 解三角形
专题01 解三角形中的角、边、面积、周长计算问题
常见考点
考点一 角的计算
典例1．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，，.
（1）求角C的大小；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求解；
（2）利用正弦定理即可求解；
（3）先求出，再利用三角恒等变换结合二倍公式即可求解.
（1）
解：
由正弦定理将角化为边整理得：

所以
又
所以
（2）
解：由（1）知，，又，
由正弦定理得：
即
解得：
（3）
解：由题知，，
即
所以
所以为锐角
由（2）知，
所以
所以

所以
即.
变式1-1．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b=1,c=2，
（1）求a的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】
（1）2
（2）144
（3）-338-78
【分析】
（1）根据余弦定理解方程；
（2）利用正弦定理即可得解；
（3）求出cosA，利用两角差的余弦公式求解.
（1）
由余弦定理可得：2=a2+1-2a×34，2a2-3a-2=0,a>0
所以解得：a=2
（2）
cosC=34,sinC=74，
由正弦定理可得：274=2sinA
解得：sinA=144
（3）
由余弦定理cosA=1+2-422=-24
cos2A-π6=32cos2A+12sin2A=321-2sin2A+sinAcosA=-338-78
变式1-2．在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）化简原式，直接利用余弦定理求的值即可；
（2）由（1）可得，利用正弦定理求得．
（1）
在中，由，整理得，
又由余弦定理，可得；
（2）
由（1）可得，又由正弦定理，
及已知，可得；
故.
变式1-3．已知的内角的对边分别为，满足
（1）求角的值
（2）若，求的值
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据已知条件，由正弦定理角化边，得到三边的关系，进而利用余弦定理求解；
（2）由正弦定理求得,并根据边的大小关系判定为锐角，然后利用倍角公式和两角和的正弦公式计算.
（1）
解：∵，
由正弦定理得，.
化简得，.
由余弦定理得，.
又，
∴.
（2）
解：由（1）知，，又，，
∴.
又，
∴.
∴，
，
∴

考点二 边的计算
典例2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，，点D在边BC上，且，求线段AD的长．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式化简可得角；
（2）中由余弦定理求得，再由余弦定理求得，然后在中由余弦定理求得．
（1）
在中，由正弦定理得
因为，代入得

即．
又，所以．
又，所以．
（2）
在中，由余弦定理得
所以，．
在中，由余弦定理得．
在中，由余弦定理得，
所以．
变式2-1．已知钝角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且___________，，，求c的值.
（1）从条件①，②中选择一个填到横线上，并解决问题；
（2）以（1）中结论为条件，若D是边AC上一点，且，求线段BD的长度.
【答案】
（1）1
（2）
【分析】
（1）由正弦定理化边为角可得，即可求出.选择条件①：求得，利用余弦定理即可求出；选择条件②，由正弦定理可得，再由余弦定理即可求出；
（2）利用余弦定理即可求出.
（1）
因为，
由正弦定理可得，
即，
因为，所以，则，
又，所以.
选择条件①：
由，得，
由余弦定理得，
即，解得或，
当时，，是直角三角形，不符合题意；
当时，，是钝角三角形，符合题意；
所以.
选择条件②，
因为，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
即，解得.
（2）
由（1）知，中，，
由余弦定理可得，
即，故.
变式2-2．已知△的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）判断三角形△的形状；
（2）记线段上靠近点的三等分点为，若，，求.
【答案】
（1）等腰三角形；
（2）.
【分析】
（1）由已知，结合正弦定理可得，根据即可判断形状.
（2）应用余弦定理，结合有求，即可求.
（1）
∵，由正弦定理得，整理得.
∴由，可得，即三角形为等腰三角形.
（2）
设，则，
由余弦定理得：，，而，
∴，解得，
∴.
变式2-3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
（1）求A；
（2）若a=2，的面积为，求b，c的值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）先利用正弦定理将边变成角，然后利用以及两角和的正弦公式代入计算即可；
（2）先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，然后解方程组即可.
（1）
由及正弦定理得
.
因为，
所以.
由于，
所以.
又，故.
（2）
由题得的面积，故①.
而，且，故②，
由①②得.


考点三 面积的计算
典例3．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．
(1)证明：；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)6
【解析】
【分析】
小问1：证法一：运用余弦定理可证，证法二：利用正弦定理可证；
小问2：由余弦定理求得，结合三角形面积公式可求结果．
(1)
（1）证法一：∵，∴，
由余弦定理可得．
则，
，∴．
证法二：∵，由正弦定理得，
∴，
可得，
所以由正弦定理可得．
(2)
（2）由余弦定理可得
．
∴，∴，
∵，A为三角形内角，∴，
∴．
变式3-1．记的内角A，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角A的值；
(2)若为锐角三角形，设，，求的面积.
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换得到，进而求出或，故或；（2）利用余弦定理求出或3，验证后得到，进而利用三角形面积公式进行求解.
(1)
，所以，因为，所以，故或，即或.
(2)
由第一问所求和为锐角三角形得，
由余弦定理可得，化为，解得或3，
若，则，即为钝角，不成立，
当，经检验符合条件，的面积为.
变式3-2．在中，，，且，再从条件①、条件②中选择一个作为已知.
条件①：；
条件②：.
(1)求b的值；
(2)求的面积.
【答案】(1)选条件①：；选条件②：
(2)选条件①：；选条件②：
【解析】
【分析】
（1）若选①：在三角形ABC中由正弦定理及余弦定理可得a，b关系式，解方程可得b的值；若选②：由正弦定理可得a，b，c的关系，再由余弦定理可得a，b，c的关系，再由A角的余弦值可得b的值．
（2）结合（1），利用三角形面积公式即可求出三角形的面积；
(1)
选条件①：.
在中，因为，所以.
因为，且，，，
所以，
化简得，解得或.
当时，，与题意矛盾，
所以，所以.
选条件②：.
在中，因为，且，
所以由，得.
因为，且，，，
所以，解得.
(2)
选条件①：.
因为，，所以，
所以.
选条件②：.
由（1）知，所以.
因为，，所以，
所以.
变式3-3．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，.
(1)若，求b.
(2)若______，求c的值及的面积.
请从①，②，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答.
【答案】(1)；
(2)选；选
【解析】
【分析】
(1)根据正弦定理计算即可得出结果；
(2)利用余弦定理或正弦定理求出c的值，再结合三角形的面积公式计算即可.
(1)
，由正弦定理，得，
所以；
(2)
选①：由余弦定理，得，即，
整理，得，由c>0，得c=4，
所以；
选②：因为，由正弦定理，得c=2a，
所以c=6，所以.

考点四 周长的计算
典例4．已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的周长.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由已知可得，由余弦定理求出的值，再结合即可得角的大小；
（2）根据三角形的面积公式可得的值，再由余弦定理即可求出的值，进而可得的周长.
(1)
因为，所以，
由余弦定理可得：，
又因为，所以.
(2)
由已知所以，
由已知及余弦定理得，
即，所以，解得：或（舍），
所以的周长为.
变式4-1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B；
(2)若，求的周长l．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)结合正弦定理可化为，由此可求角B；(2)由余弦定理可得，解方程求，由此可得的周长l．
(1)
由及正弦定理，可得．
在中，，所以，所以．
又，所以．
(2)
由余弦定理，可得，
即，又，解得．
故的周长
变式4-2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)证明：是等腰三角形；
(2)若的面积为，且，求的周长．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件利用三角形射影定理化简即可得解.
(2)根据给定条件求出，再利用三角形面积定理及(1)的结论求出a，b，然后借助余弦定理求出c即可计算作答.
(1)
在中，，
由射影定理得，，
所以是等腰三角形．
(2)
在中，因且，则，
又，即，由(1)知，则有，
在中，由余弦定理得：，解得，
又，则a，b，c能构成三角形，符合题意，，
所以的周长为.
变式4-3．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足．
(1)求A的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）通过正弦定理将边化为角的关系，可得，进而可得结果；
（2）由面积公式得，结合余弦定理得，进而得结果.
(1)
∵
∴由正弦定理，得
∴
∵，∴，故
(2)
由（1）知，
∵
∴
∵由余弦定理知，
∴，
故
∴，故
∴的周长为．


巩固练习
练习一 角的计算
1．在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】
（1）.
（2）.
【分析】
（1）根据正弦定理进行边角互化，再由正弦的和角公式可求得答案；
（2）由正弦的二倍角公式和正弦的差角公式可求得答案.
（1）
解：因为，由正弦定理得，
又，所以，
因为，所以.
（2）
解：由（1）得，所以，所以，，
所以，
所以.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由余弦定理结合正弦定理化简可得；
（2）由（1）求出和，再利用和的余弦公式即可求出.
（1）
由已知结合余弦定理得，∴.
由正弦定理得
∴.
∵，∴，
∵，∴.
（2）
因为，所以，则，
则，
所以.
3．在的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，已知，.
（1）求a的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）利用正弦定理和已知条件可求；
（2）根据边的比例关系和余弦定理可求；
（3）利用倍角公式求解，然后利用和角公式可求结果.
（1）
因为，所以；
因为，所以.
（2）
由（1）可得；所以.
（3）
因为，所以为锐角，所以；
，；
所以.
4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，.
（1）求角B；
（2）求a，c；
（3）求的值.
【答案】
（1）
（2），
（3）
【分析】
（1）根据题目条件，结合正弦定理，可以得到即可；（2），，结合第一问求出的，列余弦定理方程求解；（3）直接利用两角差的余弦公式展开，分别求出展开式的每一项.
（1）
在中，由正弦定理，
得.
又因为在中，所以.
因为，所以，因而.
所以，所以.
（2）
因为，，由余弦定理得，
解得，.
（3）
由余弦定理得，，则
所以，所以，，所以
.

练习二 边的计算
5．在中，角所对的边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若，的面积为，求.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由正弦定理边角互化得，进而得，在求解即可得答案；
（2）由面积公式得，进而根据题意得，，再根据余弦定理求解即可.
（1）
解：因为，
所以，
因为，
所以，即，
因为，所以.
（2）
解：因为的面积为，，
所以，即，
因为，所以，
所以，解得.
所以.
6．在中，角，，的对边分别为，，，且，三角形三边上的高之比为.
（1）求的值；
（2）若为边上一点，，，求的长.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
由于，则三边，，上的高之比为，根据
，得出，并利用余弦定理求出的值；
利用中的值求出的值，进而利用正弦定理求出的长.
（1）
解：由于，则三边，，上的高之比为.
又因为，则.
设，则，，.
在中，由余弦定理得
.
（2）
解：将代入，得，
又，则.
在中，由正弦定理得，
则.
7．已知钝角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且___________，，，求c的值.
从条件①，②中选择一个填到横线上，并解决问题.
【答案】条件选择见解析，
【分析】
结合正弦定理化简已知条件，求得.若选①，则利用余弦定理求得；若选②，则结合正弦定理、余弦定理求得的值.
【详解】
依题意，
由正弦定理得,
在三角形中，，
所以，，
由于，所以.
若选①，则，
由余弦定理得，
即，
解得或.
当时，符合题意.
当时，，则是直角三角形，不符合题意.
若选②，，由正弦定理得，
由余弦定理得，
即，
所以.
8．在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据余弦定理直接计算即可；
（2）根据正弦定理直接计算即可.
（1）
因为，
由余弦定理得：，
所以，结合，
故.
（2）
由（1）得：，于是，
由正弦定理得：，
于是，
故.

练习三 面积的计算
9．在中，角所对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)；
(2)或.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理边角关系、三角形内角的性质可得，即可知的大小.
（2）由余弦定理及已知条件可得或，再应用三角形面积公式求△的面积.
(1)
由正弦定理可得：
，则，
∴，可得，又，
∴.
(2)
由余弦定理：且，则，
，则，
∴，整理得，解得或，
①当时，，此时，
②当时，，此时.
∴△的面积为或.
10．已知 的内角，，所对的边分别为，，，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由可得，再利用余弦定理可求得角，
（2）由可得，再利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得答案
(1)
因为可得：，
由余弦定理可得，
又，所以
(2)
由可得，
由余弦定理知：，
，
解得，

11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角A的大小；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理边化角即可求解角A的大小；
（2）结合余弦定理得，由代换可得，联立正弦面积公式可求的面积.
(1)
由边化角得，
，得，显然，
则，；
(2)
由余弦定理得：，
将代入得，，代入得.
12．在中，．
(1)求的大小；
(2)现在给出三个条件：①；②；③．试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，______，______，求的面积．
【答案】(1)
(2)若选①③，；若选②③，.
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理进行边角互化，再利用两角和的正弦公式求解；
（2）根据正弦定理可知，不能同时选①②，若选①③，由余弦定理可解得各边长及三角形的面积；若选②③，利用正弦定理可解得各边长及面积.
(1)
解：由正弦定理可得，即，即，又在中，，所以，，所以；
(2)
若选①②，由，，又正弦定理，即，不成立，所以不能同时选①②；
若选①③，由余弦定理得，即，解得，，，所以；
若选②③，由，得，且，，则，由正弦定理，即，解得，所以.

练习四 周长的计算
13．在中，角的对边分别为，若.
(1)求角；
(2)若的面积为，，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）、根据正弦定理和余弦定理求解即可；
（2）、利用面积公式求出的值，化简求出的值，从而求出的周长.
(1)
,
,,
又，.
(2)
由（1）可知.
,,
,,,
,，.
的周长为.
14．已知的三个内角，，所对的边为，，.若.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理进行角化边的运算，结合余弦定理求出，根据角的范围可求出角.
（2）由三角形面积可求出，代入（1）中的等式结合完全平方式可求出的值，进而求出三角形的周长.
(1)
解：由正弦定理得
则，
由余弦定理得，
又由，可得；
(2)
由，可得，
又由，有，
又由，有，
故的周长为.
15．已知的内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角的值；
(2)若，且的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理结合二倍角的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）由三角形的面积公式可求得的值，结合已知条件可得出关于、的方程组，解出这两边的长，利用余弦定理求出的值，即可得出的周长.
(1)
解：由正弦定理得，
，则，所以，，
，则，可得，故.
(2)
解：由三角形的面积公式可得，所以，，
由已知可得，解得或.
当时，则为等边三角形，其周长为；
当且时，由余弦定理可得，
此时，的周长为.
综上所述，的周长为或.
16．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，____．
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
(1)求角A的大小；
(2)若b=4，的面积，求的周长．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）选①，利用余弦定理化简即得解；选②，利用正弦定理和三角恒等变换化简即得解；
（2）由面积求出再利用余弦定理求出，即得解.
(1)
解：选①：，；
选②：由正弦定理得：，
在中，，，可得，
.
(2)
解：由（1）知，
由余弦定理可得，则，
因此，的周长为．