专题05 解三角形中的外接圆与内切圆-备战2022年高考数学二轮复习之大题核心考点专题训练(新高考地区)(解析版)

这是一份专题05 解三角形中的外接圆与内切圆-备战2022年高考数学二轮复习之大题核心考点专题训练(新高考地区)(解析版)，共25页。试卷主要包含了外接圆问题，内切圆问题等内容，欢迎下载使用。
第一篇 解三角形专题05 解三角形中的外接圆与内切圆常见考点考点一 外接圆问题典例1．的内角所对的边分别为.已知角成等差数列，且.（1）求的外接圆直径；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）2；（2）.【分析】（1）由条件先得出，由正弦定理可得答案.
（2）由三角形的面积公式可得，由余弦定理，可得，从而得出答案.【详解】（1）角成等差数列，得，又，所以.又，由正弦定理可得，所以的外接圆直径为2.（2），所以，，即，所以，所以的周长为.【点睛】关键点睛：本题考查正弦定理和余弦定理的应用，解答本题的关键是由正弦定理得出外接圆的直径，由余弦定理得出的值，属于中档题.变式1-1．的内角，，的对边分别为，，，且满足：.（1）求；（2）若面积为，外接圆直径为4，求的周长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先将已知等式化简，再利用正弦定理将边化角，即可求出结果；（2）根据三角形面积公式可得， 再正弦定理可求，再利用余弦定理可求，由此即可求出结果.【详解】（1），得， ∴.（2）的面积，由正弦定理可知，由，则，∴的周长为.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.变式1-2．锐角中，角所对的边分别为，若且.（1）求的外接圆直径；（2）求的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）利用正弦定理和三角函数化简题中等式可得，从而求出，然后再利用正弦定理求出外接圆直径即可；（2）由正弦定理将变形为，然后利用三角函数即可求出取值范围.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，，即，所以，因为，故，又，故，由正弦定理得，即的外接圆直径为；（2）由正弦定理可得，，∴，又由题意可得，解得，所以，∴，∴.【点睛】本题综合考查了三角函数与解三角形的应用，属于中档题，综合性较强.在解三角形题中，常利用基本不等式或者三角函数求最值，本题也可考虑用基本不等式结合三边关系求范围.变式1-3．在中，角，，所对的边分别为，，，， （1）求证：；（2）若，的外接圆面积为，求的周长．【答案】(1)见证明；(2) .【分析】（1）由，利用诱导公式、两角和与差的正弦公式化简可得，从而可得结论；（2）利用圆的面积公式可求得三角形外接圆半径，利用同角三角函数的关系与正弦定理可得，结合（1），利用余弦定理列方程求得，从而可得结果.【详解】（1）∵，∴，∴，∴，∴.∴在中，，（2）设的外接圆半径为，由已知得，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，由得，解得，∴，∴的周长为.【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.  考点二 内切圆问题典例2．在中，分别为角的对边，且.（1）求角；（2）若的内切圆面积为，求面积的最小值.【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理得到，化简整理求出，即可得出结果；（2）根据题意，得到内切圆的半径为，作出图形，记内切圆的圆心为，为切点，得到，由余弦定理得到，根据基本不等式，推出，再由三角形面积公式，即可得出结果.【详解】（1）因为所以即，所以，即，；（2）由题意知内切圆的半径为，如图，内切圆的圆心为，为切点，则，从而，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），从而，即面积的最小值为.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理，灵活运用基本不等式即可，属于常考题型.变式2-1．已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，，求的内切圆半径.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，即可求解的值；（2）根据，以及余弦定理列方程，可求出，设内切圆半径为，利用面积公式，解方程即可求出内切圆半径为.【详解】（1）根据题意，且，∴，，由正弦定理得，因为，故，即，∵，，∴，即，.（2）由题意可得：，解得：，设内切圆半径为，∴，又，解得，∴内切圆半径.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，重点在知道三角形的面积和内切圆半径之间的关系，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．变式2-2．在△ABC中，D是BC中点，AB＝3，AC＝，AD＝．（1）求边BC的长；（2）求△ABD内切圆半径．【答案】（1）4；（2）【分析】（1）设，利用两次余弦定理和，化简计算得到答案.（2）利用余弦定理得到，，再利用面积公式得到，再利用计算得到答案.【详解】（1）设，在中利用余弦定理得到：， 解得，则 （2）在中，利用余弦定理得到：，， 又即解得【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，内切圆半径，其中是一个求内切半径的常用方法，需要熟练掌握.变式2-3．在中，角所对的边分别为，且.（1）求角；（2）若，则当的面积最大时，求的内切圆半径.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理的边角互化可得，再根据两角和的正弦公式以及三角形的内角和性质即可求解.（2）由余弦定理得，再利用基本不等式以及三角形的面积公式求出的面积最大值，由等面积法即可求解.【详解】（1）由得，，由正弦定理得，，所以，又，，所以，又，所以.（2）由余弦定理得，整理得，所以，当且仅当时取等号.所以，，所以当且仅当时，时的面积的最大值为.设的内切圆半径为，则，所以.【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理解三角形、三角形的面积公式，基本不等式求最值，属于中档题.  巩固练习练习一 外接圆问题1．已知外接圆直径是，角，，所对的边分别为，，，满足．（1）求角；（2）求的周长的最大值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角的大小；
（2）根据正弦定理边化角得的周长，再利用正弦函数的性质即可求的周长的最大值.【详解】解：（1）由已知，由正弦定理，得，由正弦定理角化边得，则，又所以；（2）的周长　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，，，，，即的周长的最大值为.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合三角恒等变形及三角函数的性质是解决本题的关键.综合性较强.2．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（2b﹣c）cosA＝acosC．（1）求角A；（2）若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC的面积的最大值．【答案】（1）A（2）．【分析】（1）化边为角，利用两角和正弦公式，即可求解；（2）由正弦定理求出，和角应用余弦定理建立关系，再由基本不等式求出最大值，即可求出结论.【详解】（1）∵（2b﹣c）cosA＝acosC，∴由正弦定理可得：（2sinB﹣sinC）cosA＝sinAcosC，可得：2sinBcosA＝sinAcosC+sinCcosA＝sinB，∵sinB≠0，∴cosA，∵0＜A＜π，∴A，（2）∵△ABC的外接圆面积为π，∴△ABC的外接圆半径为1，∵，∴a，∵由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得3＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，∴bc≤3，当且仅当b＝c等号成立，∴S△ABCbcsinA，当且仅当b＝c等号成立，∴S△ABC的最大值为．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和公式解三角形，注意应用基本不等式求最值，属于中档题.3．已知的三个内角所对的边分别为，在条件①，条件②这两个条件中任选一个作为已知条件，解决以下问题.（1）若，求的外接圆直径；（2）若的周长为6，求边的取值范围.【答案】（1）2            （2）【分析】（1）选择①：结合正弦定理和已知条件，推出a2+b2﹣c2＝ab，再由由余弦定理，求得，然后由可得解；选择②：利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角差的余弦公式、同角三角函数的商数关系，求得，然后由可得解；（2）由（1）知，由正弦定理，知，结合两角差的正弦公式、辅助角公式，推出，然后根据正弦函数的图象与性质，得解．【详解】解：（1）选择①：由正弦定理知，＝＝，∵∴∴，即，∵sinC≠0，所以，由余弦定理知，cosC＝＝，又∴，由，知2R＝＝2 ，∴R＝1，∴△ABC的外接圆直径为2．选择②：由正弦定理知，＝，∵，∴sinCsinA＝sinAcos，∵sinA≠0，∴sinC＝cos，∴，即sinC＝cosC，∴tanC＝＝，  ∵∴，由2R＝，知2 R＝＝2，∴R＝1，∴△ABC的外接圆直径为2．（2）由（1）知，，由正弦定理知，＝＝＝＝，∴a＝sin A，b＝sin B，∵△ABC的周长为6，所以 ∴c＝，∵，∴A+，，所以 ．4．在①的外接圆面积为②的面积为，③的周长为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.问题：在中，内角，，的对边分别为，，，是边上一点已知，，，若___________，求的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；.【分析】由，结合二倍角公式进行化简可求，由，结合和差角公式及辅助角公式进行化简可求得为等边三角形，选①，结合正弦定理及余弦定理可求，，再由余弦定理即可求解；选②，由已知可知的面积，然后结合面积公式可求，，然后结合余弦定理可求；选③，由已知可求，进而可求，，由的周长为，可直接求解．【详解】解：因为，所以解得或舍去，所以在中.因为所以所以由余弦定理得又所以即，所以为等边三角形.因为所以在中，由余弦定理得选择条件①：由的外接圆面积为得所以所以故.选择条件②：由的面积为，得的面积为，所以解得故.选择条件③：由的周长为，得所以故.  练习二 内切圆问题5．在中，内角所对的边分别为，且满足.（1）求的值;（2）设的内切圆半径为，若求的面积取最大值时的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由三角恒等变换及正弦定理即可求解；（2）利用余弦定理及不等式可得面积最值，确定等号成立条件，利用内切圆的性质求半径即可.【详解】解：因为故整理得.由正弦定理得故因为故即由知，所以，且因为由余弦定理得所以由基本不等式得即当且仅当时，等号成立，故的面积取得最大值时，此时.又的周长为设的内切圆的半径为圆心为则解得故的面积取最大值时其内切圆半径为.【点睛】关键点点睛：一般对于三角形中面积最值，周长最值时，需要利用余弦定理结合不等式求最值，同时本题对内切圆的性质分割三角形后求半径，属于中档题.6．已知，，分别为三个内角，，的对边，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，且，求的内切圆半径．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）先利用正弦定理把都统一成角，然后消去角，将式子进一步整理，得到，从而可求出角的值；（Ⅱ）根据余弦定理，由题中条件，先求出；再由三角形面积公式，即可求出的内切圆半径.【详解】（Ⅰ）因为，所以，因为，所以，所以，即，因为，所以，所以，因为，所以，得；（Ⅱ）因为，，，由余弦定理可得，所以，则，所以，设的内切圆半径为，则，所以.【点睛】关键点点睛：求解本题第二问的关键在于熟记三角形的面积公式，根据（为三角形内切圆半径），列出等式，即可求解.7．已知中，角，，所对的边分别是，，，，且满足.（1）求；（2）若，求的内切圆半径.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据题中条件，由余弦定理，得到，，进而可得出；（2）先由（1）根据题中条件，得出，，设内切圆半径为，由三角形面积公式，得到，即可求出结果.【详解】（1）由得，又，所以又∴，故三角形是以为斜边的直角三角形，所以.（2）因为，由（1）易知，，设内切圆半径为，由得，即.【点睛】本题主要考查由余弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，属于常考题型.8．已知中，角所对的边分别是，满足.（1）求证：；（2）若，且，求的内切圆半径.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由正余弦定理，结合已知条件可得，进而有，由三角形内角性质即可证；（2）由已知条件知，结合（1）的结论有为直角三角形进而求内切圆半径；【详解】（1）证明：由得，即，即又，或(舍去)（2）由，得，，，，，.因为，可知有内切圆半径【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，及三角恒等变换求三角形内角关系，并由直角三角形三边与内切圆半径关系求半径；