专题08 解三角形在实际中的应用-备战2022年高考数学二轮复习之大题核心考点专题训练(新高考地区)(解析版)

第一篇 解三角形

专题08 解三角形在实际中的应用

常见考点

考点一 距离测量问题

典例1．为了测量一个不规则湖泊两端之间的距离，如图，在东西方向上选取相距的两点，点在点的正东方向上，且四点在同一水平面上．从点处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上．

（1）求之间的距离；

（2）以点为观测点，求点的方位角．

【答案】（1）；（2）北偏东方向上．

【分析】

（1）结合方位角表示出相关角的大小，进而结合正弦定理依次在、、中求出相应的边长，即可求出结果.

（2）作出辅助线，根据方位角的概念即可求出结果.

【详解】

（1）由已知得，

所以

在中，由正弦定理得．

同理，在中，，所以，

由正弦定理得．可以计算出，

在中，所以

（2）作．由（1）知，

所以，即点在点的北偏东方向上．

变式1-1．某海轮以30海里/小时的速度航行，在点A测得海上面油井P在南偏东，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东，海轮改为北偏东的航向再航行40分钟到达C点．

（1）求P，C间的距离；

（2）求在点C测得油井P的位置？

【答案】（1）40海里；（2）P在C的正南40海里处．

【分析】

（1）由正弦定理求，再在直角△中求即可.

（2）由求，易知，结合（1）的结果，即知在点C测得油井P的位置.

【详解】

（1）如图，在△中，，

由正弦定理：，解得，

在△中，，又，故．

答：P，C间的距离为40海里．

（2）在△中，，

∴，即，又，

∴，即在点C测得油井P在C的正南40海里处．

变式1-2．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，求这时船与灯塔的距离．

【答案】km

【分析】

根据示意图得出∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，从而在△AMB中，根据正弦定理可求得行驶后船与灯塔的距离．

【详解】

作出示意图如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，

∴∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，

在△AMB中，由正弦定理，得，

解得BM＝ km，即行驶后船与灯塔的距离为 km.

变式1-3．如图，某渔船在海上处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北方向上有一个小岛可躲避恶劣天气，在小岛的正北方向有一航标灯距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达处，测得，海里.

（1）求处距离航标灯的距离；

（2）求的值.

【答案】（1）海里；（2）.

【分析】

(1)利用余弦定理,即可求解.

（2）利用正弦定理，即可求解.

【详解】

解析：（1）∵，，，

∴由余弦定理得，∴海里，

（2），由正弦定理得，

∴.

考点二 高度测量问题

典例2．2019年10月1日，在庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵中，有我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，展实力，壮军威．在一次飞行模拟训练中，地面塔台观测到一架直升机以的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，求直升机飞行的高度为多少千米．（结果保留根号）

【答案】千米．

【分析】

在中，作，利用正弦定理可得，再在直角三角形中，即可求解.

【详解】

解：在中，作，

则，，

由正弦定理得：

所以，

在直角三角形中，．

所以，直升机飞行的高度为千米．

变式2-1．如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，经过测量得到在点D处的仰角为45，C处的仰角为75，且CD=20,测角仪的高为1.2，求出建筑物的高度.

【答案】

【分析】

在中，求得，根据正弦定理可得，再在直角中，由，即可求解.

【详解】

在中，根据题意可得，

由正弦定理可得，

在直角中，可得

所以建筑的高为.

变式2-2．航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为千米/小时，飞机先看到山顶的俯角为，经过后又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度h．（精确到m）

【答案】

【分析】

先求的长，在中，利用正弦定理可求，又，可求，即可得山顶的海拔高度.

【详解】

解：如图所示，，

∴，，

在中，由正弦定理得，

∴，

∵，

∴，

所以山顶的海拔高度．

变式2-3．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与现测得，，米，又在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.

【答案】米.

【分析】

利用正弦定理先求解出的值，然后根据直角三角形中的边角关系求解出的长度.

【详解】

因为，所以，

又因为，所以，所以米，

又因为，所以，所以米，

所以塔高为米.

巩固练习

练习一 距离测量问题

1．在某海域处的巡逻船发现南偏东方向，相距海里的处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线（以点为坐标原点，正东，正北方向分别为轴，轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发小时后，可疑船只所在位置的横坐标为.若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇.

（1）求的值；

（2）若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否搃截成功？若能，求出搃截时间，若不能，请说明理由.

【答案】

（1）

（2）能够拦截成功拦截，时间为2小时

【分析】

（1）设1小时后两船相遇于点C，根据关于y轴对称，且，即可求解；

（2）设t小时后两船相遇于点D，利用余弦定理列出方程，即可求解.

（1）

解：由题意，直线的倾斜角为，

若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C，

如图所示，则轴，，且关于y轴对称，

所以，所以.

（2）

解：若巡逻船以海里/小时进行追击，设t小时后两船相遇于点D，如图所示，

则，，，，

因为

可得

整理得，解得或（舍去），

所以能够拦截成功拦截时间为2小时.

2．如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.

（1）求小岛A到小岛C的距离；

（2）如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向.

【答案】

（1）海里

（2）游船应该沿北偏东的方向航行.

【分析】

(1)三边一角，由余弦定理可以求小岛A到小岛 C的距离；

(2)两边两角，由正弦定理可以求角.

（1）

解：(1)在中，

，根据余弦定理得：.

.

所以小岛A到小岛 C的最短距离是海里.

（2）

解：(2)根据正弦定理得：

解得

在中，

为锐角

.

由得游船应该沿北偏东的方向航行

答:小岛A到小岛 C的最短距离是海里;游船应该沿北偏东的方向航行.

3．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路AC长为1260m，经测量，，.

（1）求索道AB的长；

（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？

【答案】

（1）1040m

（2）

（3）

【分析】

（1）先求得，然后由正弦定理求得.

（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为d，利用余弦定理列方程，结合二次函数的性质求得的最小值.

（3）根据“两位游客在C处互相等待的时间不超过3min”列不等式，由此求得乙步行的速度的范围.

（1）

由题意，，

在中，，

由正弦定理，得.

所以，索道AB的长为1040m.

（2）

假设乙出发后，甲、乙两游客距离为d，

此时甲行走了，乙距离A处，

由余弦定理得

，

因为，即，

则当时，甲、乙两游客之间距离最短.

（3）

由正弦定理，得，

乙从B出发时，甲已走了，还需要走710m才能到达C，

设乙步行的速度为，

由题意得，

所以为了使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，

乙步行的速度应控制在（单位：）范围之内.

4．如图，位于处的救援中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．救援中心立即把消息告知在其南偏西、相距海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援．

（1）求两点间的距离；

（2）求的值．

【答案】

（1）

（2）

【分析】

（1）利用余弦定理，即可求出两点间的距离；

（2）利用正弦定理推出的正弦值，利用，即可求出结果．

（1）

解：如图所示，在中，，

由余弦定理得，

所以．

（2）

解：由正弦定理得．

由知为锐角，

故．

故．

练习二 高度测量问题

5．如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，.在点测得塔顶的仰角为50.5°.

（1）求与两点间的距离（结果精确到）；

（2）求塔高（结果精确到）.

参考数据：取，，.

【答案】

（1）324m

（2）669m

【分析】

（1）求出，在中利用正弦定理进行求解；（2）先在中利用正弦定理求出的长度，进而利用正切值求出塔高.

（1）

在中，，

由正弦定理得，

则

（2）

由正弦定理得，

则.

故塔高

6．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，并在处测得山顶在西偏北的方向上，且仰角为，求此山的高度.

【答案】

【分析】

在中利用正弦定理可求得，根据可求得结果.

【详解】

在中，，，，

由正弦定理得：.

在中，，.

7．如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，求山的高度BC．

【答案】．

【分析】

由，得到，又由，求得，在中，由正弦定理求得，根据，即可求解.

【详解】

由题意知，则，

又由，所以，

在中，由正弦定理得，即，

解得，则，即山的高度为．

8．如图，河流上有一座桥，其长度，在桥的两端，处测得空中一气球的仰角分别为，，试求气球的高度.

【答案】.

【分析】

先依题意确定，，再在中，利用构建方程，解得高度即可.

【详解】

解：由题可知，，，

∴，∴，

在中，∵，∴，即，

解得.

答：气球的高度为.