四川省乐山市十校2019-2020学年高二下学期期中联考数学（理）试题 Word版含解析

乐山十校高2021届第四学期半期联考数学（理科）试题

本试卷共6页.满分150分.

考生注意：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

1. 已知复数（为虚数单位，），则在复平面内对应的点所在的象限为（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

分别比较复数的实部、虚部与0的大小关系，可判断出在复平面内对应的点所在的象限.

【详解】因为时，所以，，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.

故选：B.

【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

2. 某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为人，那么高三被抽取的人数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用分层抽样的比例关系得到答案.

【详解】根据分层抽样的比例关系：高二抽取人数为人，

则高三抽取人.

故选：D.

【点睛】本题考查了分层抽样，属于简单题.

3. 《普通高中数学课程标准（版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为分，分值高者为优，低者为差），则下面叙述不正确的是（    ）

A. 甲的数据分析素养低于乙

B. 乙的六大素养中逻辑推理最差

C. 甲的数学建模素养差于逻辑推理素养

D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲

【答案】B

【解析】

【分析】

根据雷达图依次判断每个选项得到答案.

【详解】甲的数据分析素养低于乙，故A正确；

乙的六大素养中数学建模、数学抽象和数学运算最差，故B错误；

甲的数学建模素养差于逻辑推理素养，C正确；

甲只有数学运算高于乙，其他均低于乙，故D正确.

故选：B.

【点睛】本题考查了雷达图，意在考查学生的理解能力和读图能力.

4. 已知，则（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据复合函数求导法则计算．

【详解】由题意，

故选：A．

【点睛】本题考查复合函数的求导法则，掌握复合函数求导法则是解题基础．

5. 下列说法正确的是（    ）

A. 抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是，所以抛掷两次一定会出现一次正面朝上的情况

B. 某地气象局预报说，明天本地降水概率为，这说明明天本地有的区域下雨

C. 概率是客观存在的，与试验次数无关

D. 若买彩票中奖的概率是万分之一，则买彩票一万次就有一次中奖

【答案】C

【解析】

【分析】

概率是反映事件发生机会大小的概率，只是表示发生机会的大小，机会大也不一定发生.

【详解】解：对于A，这是一个随机事件，抛掷一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，事先无法预料，错误；

对于B，这是一个随机事件，明天本地降水概率为表示明天有的可能降雨，事先无法预料，错误；

对于C，正确；

对于D，这是一个随机事件，买彩票中奖或不中奖都有可能，事先无法预料，错误.

故选：C.

【点睛】本题考查概率的意义，属于基础题.

6. 设是可导函数，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由导数的定义计算．

【详解】，∴，

∴．

故选：C．

【点睛】本题考查导数的定义，注意定义中，分子分母都是的增量，两者一样．根据极限的性质，（是常数且）．

7. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取个数，则其和等于的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

这是一个古典概型，先算出从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取个数的基本事件的总数，再利用列举法求出其和等于9的基本事件数，代入公式求解.

【详解】从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取个数的基本事件的总数个，

其和等于9的基本事件有共4个，

所以其和等于的概率是.

故选：A

【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

8. 函数在区间上（    ）

A. 最大值为，最小值为 B. 最大值为，最小值为

C. 最大值为，无最小值 D. 最大值为，无最小值

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数，求导，令，解得，再按照最值的求法求解.

【详解】因为，

所以，

令，解得，

当时，，当时，，

所以当时，取得极大值即最大值，无最小值.

故选：C

【点睛】本题主要考查导数与函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

9. 执行下面的程序框图，则输出的值为    （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据框图，模拟程序运行，即可求出答案.

【详解】运行程序，

，
，

，

，

，

，结束循环，

故输出，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.

10. 设为正实数，函数，若，，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

对函数进行求导，利用导数的正负性判断函数在上的单调性，根据函数在上单调性结合已知进行求解即可.

【详解】，

因为，当时，所以有成立，因此函数在上单调递减，

因此当时，恒成立，一定有成立，

即，因为，所以有.

故选：A

【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.

11. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的各个面中，面积大于的面的个数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三视图，得到几何体是一个四棱锥，求得各面的面积比较即可.

【详解】如图所示：几何体是一个四棱锥，

其中，面面ABCD，，是等腰三角形，，是直角三角形，ABCD是正方形，

所以，，

，S正方形ABCD，

所以面积大于的面的个数为2个。

故选：B

【点睛】本题主要考查三视图的应用，还考查了数形结合的方法，属于基础题.

12. 若函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

对函数求导，根据题意可知有两个不相等的实根，然后常变量分离，得到，对函数进行求导，判断其单调性、最值，结合的正负性，画出函数的图象，根据两个函数有两个交点，求出实数的取值范围即可.

【详解】由题意，函数，则，

要使得函数有两个极值点，则有两个不相等的实根，

得到方程，

即与的图象有2个交点，

因为，

所以当时，单调递减，当时，单调递增，

因此，

当时，，当时， ,

函数图象如下图所示：

所以当是满足函数与的图象有2个交点，

即函数有两个极值点.

故选：A

【点睛】本题考查了已知函数极值点的个数求参数取值范围问题，考查了常变量分离法、构造函数法，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了数形结合思想和数学运算能力.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 复数的共轭复数__________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据复数的运算法则计算得到，再计算共轭复数得到答案.

【详解】，故.

故答案为：.

【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力和转化能力.

14. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程.

【详解】因为，

所以，

又

故切线方程为，

整理为，

故答案为：

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于容易题.

15. 某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，抽奖活动的规则是：每个优胜队的队长通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行若电脑显示“中奖”，则该优胜队中奖；若电脑显示“谢谢”，则该优胜队不中奖．在一次抽奖活动中，该优胜队中奖的概率为____________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据x、y的取值范围及胜率情况，列出不等式组，根据线性规划的基本求法及程序框图的简单计算，即可求得概率值．

【详解】根据题意，列出关于x、y的不等式组

，画出x、y的可行域如下图所示

所以阴影部分面积占矩形面积的

即优胜队获奖的概率为

【点睛】本题考查了线性规划与程序框图的综合简单应用，属于基础题．

16. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为_____________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意得到函数单调递增，求导根据导数大于等于零得到，构造，求导得到单调区间，计算函数最小值得到答案.

【详解】当时，不等式，即，

故函数单调递增，

，恒成立，即，

设，，故函数在上单调递减，在上单调递增，

故，故.

故答案为：.

【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数范围，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数单调递增是解题的关键.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出盒该产品获利润元，未售出的产品，每盒亏损元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了盒该产品，以（单位：盒，）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．

（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）将表示为的函数；

（3）根据直方图估计利润不少于元的概率．

【答案】（1）众数估计值是；平均数153（2）（3）0.9

【解析】

【分析】

（1）直接利用众数的定义和平均数公式计算得到答案.

（2）考虑和两种情况，根据利润定义得到函数表达式.

（3）解不等式得到范围，根据频率分布直方图得到答案.

【详解】（1）由频率直方图得：

最大需求量为的频率，为频率的最大值．

这个开学季内市场需求量的众数估计值是150；

需求量为的频率，

需求量为的频率，

需求量为的频率，

需求量为的频率，

需求量为的频率．

则平均数

（2）因为每售出盒该产品获利润元，未售出的产品，每盒亏损元，

当时，，

当时，，

所以．

（3）因为利润不少于元所以，故，解得，

所以由（1）知利润不少于元的概率．

【点睛】本题考查了频率分布直方图，众数和平均值，函数表达式，概率的计算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

18. 若函数，当时，函数有极值．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的极值；

（3）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．

【答案】（1）（2）极大值，极小值，（3）

【解析】

【分析】

（1）求导，根据极值的定义得到，代入数据解得答案.

（2）求导得到单调区间，计算极值得到答案.

（3）变换得到有三个交点，画出函数图像，根据图像得到答案.

【详解】（1）函数，，

由题意知，当时，函数有极值，，

即，解得，故所求函数的解析式为；

（2）由（1）得，令，得或，

当变化时，，的变化情况如下表：

因此，当时，有极大值2，当时，有极小值-2，

（3）画出函数图像，如图所示：

要使方程有三个不同的实数解，即有三个交点，

根据图像知：.

【点睛】本题考查了根据极值求参数，求函数极值，根据方程解的个数求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，画出图像是解题的关键.

19. 甜皮鸭，乐山人称卤鸭子，也称嘉州甜皮鸭，是乐山著名美食，起源于乐山市夹江县木城古镇，每年吸引成千上万的外地人前来品尝.某商家生产卤鸭子，每公斤鸭子的成本为元，加工费为元（为常数），且，设该商家每公斤卤鸭子的售价为元（），日销售量（单位：公斤），且（为自然对数的底数）.根据市场调查，当每公斤卤鸭子的出售价为元时，日销售量为公斤.

（1）求该商家的每日利润元与每公斤卤鸭子的出售价元的函数关系式；

（2）若，当每公斤卤鸭子的出售价为多少元时，该商家的利润最大，并求出利润的最大值．

【答案】（1）（2）出售价为元时，该商家的利润最大，最大值为元．

【解析】

【分析】

（1）代入数据计算得到，得到函数解析式。

（2）将代入函数解析式，求导得函数单调区间，得到最值。

【详解】（1）由已知得，，日销售量，

.

（2）当时，，，

由得，由得，

在上单调递增，在上单调递减.

当时，，

当每公斤卤鸭子的出售价为36元时，该商家的利润最大，最大值为元．

【点睛】本题考查了函数应用，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.

20. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，，，且平面平面ABCD.

（1）求证：；

（2）在线段PA上是否存在一点M，使二面角M-BC-D的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.

【解析】

【分析】

(1) 过点P在面PAD内作，垂足为O，连接BO、OC，可得，再结已知条件可得是等边三角形，进而判断出四边形OBCD是正方形，从而得面POC，

得；

（2）由于面ABCD，，所以以O坐标原点建立空间直角坐标系，设，则点M的坐标为，求出平面MBC和平面ABCD的法向量，用，求出的值，从而得到的值

【详解】（1）证明：过点P在面PAD内作，垂足为O，连接BO、OC

∵面面ABCD，

∴面ABCD，∴

∵，，

∴是等边三角形，∴

又∵，

∴四边形OBCD是正方形，∴，

又，∴面POC，

又面POC，∴.

（2）∵面ABCD，，如图，建立空间直角坐标系﹐

则，，，，

假设在线段PA上存在一点M，使二面角大小为

设，，则，

所以，

∴，，

设面MBC的法向量为，

则，即，令，得，

所以，面ABCD的一个法向量为

∵二面角M-BC-D大小为，

∴

∴或（舍），

所以在线段PA上存在点M满足题设条件且.

【点睛】此题考查了线面垂直的判定和性质，空间向量的应用与二面角的计算，属于中档题.

21. 年月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，下图是年月日至月日累计确诊人数随时间变化的散点图．

为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数与时间变量的两个回归模型，根据月日至月日的数据（时间变量的值依次，，…，）建立模型和．

参考数据：其中，．

（1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为累计确诊人数与时间变量的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；

（2）根据（1）的判断结果及附表中数据，建立关于的回归方程；

（3）以下是月日至月日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：

（i）当月日至月日这天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？

（ii）年月日在人民政府的强力领导下，全国人民共同取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？并说明理由.

附：对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．

【答案】（1）适宜作为累计确诊人数与时间变量的回归方程类型；（2）（3）（i）可靠；（ii）有效，见解析

【解析】

【分析】

（1）根据散点图直接得到答案.

（2）设，则，根据最小二乘法公式代入数据计算得到答案.

（3）（i）取，，，代入回归方程计算比较得到答案.

（ii）取，代入回归方程比较得到答案.

详解】（1）根据散点图可知：

适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型；

（2）设，则，

， ，

；

（3）（i）当时，，，

当时，，

当时，，，

（2）回归方程可靠；

（ii）当时，，远大于真实值，故防护措施有效．

【点睛】本题考查了求回归方程，回归方程的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

22. 已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若，直线与曲线和曲线都相切，切点分别为，，求证：．

【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）详见解析.

【解析】

【分析】

（1）首先写出函数定义域为，求得，对的范围进行讨论，从而确定出的符号，确定出函数的单调性；

（2）可以从两个角度去分析，方法一是根据导数的几何意义，写出直线的方程为，即，也可以写成，根据两条直线是同一条直线，得到，且，对式子进行整理可以得到，构造函数，利用导数研究该函数的单调性及最值，从而可以证得结果；方法二是根据两条切线的斜率想的得到，进一步可以得到，构造函数，利用导数研究该函数的单调性及最值得到结果.

【详解】（1）定义域为，

因为，

若，则，所以在单调递增，

若，则当时，，当时，，

所以在单调递减，在单调递增．

（2）证法一：

证明：对于曲线，，

直线的方程为，

即，即①．

对于曲线，因为，所以

所以，

直线的方程为，

即，即②．

因为①与②表示同一条直线，所以③，

且④，

④÷③，得，

所以．

令，

，

由（1）知，在单调递增又

∴

有唯一零点，

且当时，，，

当时，，，

所以在上递增，在上递减，

所以，

又，即，

所以，

所以，所以，

又，所以．

证法二：

证明：因为，所以直线的斜率为，

因为，所以，所以，

所以直线的斜率为，

所以，所以，

又因为，

所以，

所以，

令，

所以，所以在单调递增，

又因为，，

所以存在，使得，

且当时，，当时，，

所以在递减，在递增，

因为，所以在递减，

所以当时，，

所以在内无零点，

因为是的零点且，所以．

【点睛】该题考查的是有关导数的应用，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，利用导数的几何意义研究函数图象的切线，利用导数研究函数的最值和零点问题，属于难题.