2021-2022学年度高二上册数学人教A版考试卷（含答案）

这是一份2021-2022学年度高二上册数学人教A版考试卷（含答案），共38页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年度人教A版高中数学考试卷
高二试题


第I卷（选择题）
一、单选题
1． “”的一个必要不充分条件是（       ）
A． B． C． D．
2．定义在R上的函数满足，当时，，当时，，则（       ）
A．336 B．338 C．337 D．339
3．已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，则y=f(x)的定义域是（       ）
A．[0，5] B．[-1，4] C．[-3，2] D．[-2，3]
4．若a＝log54，b＝log43，c，则（　　）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a
5．若向量与的夹角为60°，，，则（       ）
A．2 B．4 C．6 D．12
6．在中，设，那么动点的轨迹必通过的（       ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
7．在中，已知，则（       ）
A． B． C．或 D．或
8．(1+i)20-(1-i)20的值是　(　　)
A．-1024 B．1024 C．0 D．512
二、多选题
9．下列命题正确的是（       ）
A．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件
B．命题“x＜1，x2＜1”的否定是“x＜1，x2≥1”
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要而不充分条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件
10．已知函数，则（       ）
A． B．的最大值为
C．是奇函数 D．的最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题
11．计算(7-i)=________.
12．已知其中为虚数单位，则____．
四、解答题
13．已知函数
(1)求函数的最小正周期；
(2)函数的单调递增区间和对称轴方程．
(3)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．






14．已知函数的最大值为,最小值为.
(1)求a，b的值；
(2)求函数的周期，单调区间，最值并求出对应x的集合．









15．选修4-4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，
已知在极坐标系中曲线是以点为圆心，以1为半径的圆，以极点为坐标系原点，极轴为轴的非负半轴，且单位长度相同建立平面直角坐标系，直线的参数方程为
（为参数）
（1）写出的普通方程及曲线的极坐标方程；
（2）判断与是否相交，若相交，设交点为两点,求线段的长，若不相交，说明理由.

16．某城市随机抽取一年（天）内天的空气质量指数的监测数据，结果统计如下：








空气质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
天数








（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：元）与空气质量指数（记为）的关
系式为：

试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于元且不超过元的概率；
（2）若本次抽取的样本数据有天是在供暖季，其中有天为重度污染，完成下面列联表，并判断能否有的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？

非重度污染
重度污染
合计
供暖季



非供暖季



合计




附：


























17．由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示．四边形为正方形，为与的交点，为的中点，平面．


（1）证明：平面；
（2）设是的中点，证明：平面平面．


25．已知等差数列的首项为，公差，且是与的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．






26．已知椭圆的右焦点为，圆的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，其中与圆相交于两点，与椭圆的一个交点为（不与重合），求的最大面积．














16．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（1）写出直线的普通方程和曲线的参数方程：
（2）P为曲线上任一点，Q为直线上任一点，且直线PQ与所成角为30°，求的最大值与最小值.
17．在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值.
18．由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示．四边形为正方形，为与的交点，为的中点，平面．


（1）证明：平面；
（2）设是的中点，证明：平面平面．
19．已知直三棱柱中，，，是中点，是的中点.


（1）求证：；
（2）求证：平面.
20．如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，底面是边长为2的等边三角形，PB=PD=，AP=4AF

（1）求证：PO⊥底面ABCD
（2）求直线与OF所成角的大小.
（3）在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.
21．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．

(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．
22．甲乙两人相约在火车站会面，甲在之间随机到达，乙在之间随机到达.
（1）求乙先到达火车站的概率；
（2）求两人会面需要等候的时间不超过半小时的概率.





23．某城市随机抽取一年（天）内天的空气质量指数的监测数据，结果统计如下：








空气质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
天数








（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：元）与空气质量指数（记为）的关
系式为：

试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于元且不超过元的概率；
（2）若本次抽取的样本数据有天是在供暖季，其中有天为重度污染，完成下面列联表，并判断能否有的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？

非重度污染
重度污染
合计
供暖季



非供暖季



合计




附：




















24．已知公差不为零的等差数列中，，又成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设 ，求数列的前项和．
25．已知等差数列的首项为，公差，且是与的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
26．已知椭圆的右焦点为，圆的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，其中与圆相交于两点，与椭圆的一个交点为（不与重合），求的最大面积．
27．在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心 Q的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点F的两条直线、与曲线相交于A、 B、C、D四点，且M、N分别为、的中点.设与 的斜率依次为、，若，求证：直线 MN恒过定点.
28．已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若恒成立.求a的取值范围.
29．已知函数，，函数在处与直线相切．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数在上的单调性．
30．已知函数．
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
31．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：
参考数据：，，
，≈2.646.
参考公式：相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
32．2017年10月18日至24日，中国共产党第十九次全国人民代表大会在北京顺利召开．大会期间，北京某高中举办了一次“喜迎十九大”的读书读报知识竞赛，参赛选手为从高一年级和高二年级随机抽取的各100名学生．图1和图2分别是高一年级和高二年级参赛选手成绩的频率分布直方图．

(1)分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；
(2)若称成绩在68分以上的学生知识渊博，试以上述数据估计该高一、高二两个年级学生的知识渊博率；
(3)完成下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高一、高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛的成绩有差异．
分类
成绩低于60分人数
成绩不低于60分人数
总计
高一年级



高二年级



总计




附：
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

K2＝.
33．设是虚数，是实数，且．
（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．
（2）若，求证：为纯虚数．

参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
由集合的包含关系直接判断即可.
【详解】
，
因为，
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
2．B
【解析】
【分析】
利用，得到函数的周期为6，求出周期内的6个函数值作为一个整体，然后再利用周期性进行分析求解，即可得到答案.
【详解】
因为当时，，所以，，，，
又因为，所以，即函数的周期为6，，
当时，，所以，，
因为，所以，
所以，
故.
故选：B.
3．B
【解析】
【分析】
函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]得-2≤x≤3，即得y=f(x)的定义域
【详解】
∵函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，
∴-2≤x≤3，
∴-1≤x+1≤4，
∴函数y=f(x)的定义域是[-1，4].
故选：B
4．C
【解析】
【分析】
利用，得，可比较b、c，通过作商，结合基本不等式可比较a、b．
【详解】
因为，所以，所以，即，
又，所以
因为
所以

即
所以
故选：C．
5．C
【解析】
【分析】
由平面向量的数量积的性质求解即可
【详解】
因为向量与的夹角为60°，，，
所以，即，
所以，解得或（舍），
故选：C
6．C
【解析】
【分析】
设的中点是，根据题意化简可得，即可确定的轨迹.
【详解】
设的中点是，
，
即，所以，
所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，
故选：C.

【点睛】
关键点点睛：本题考查向量的运算法则，熟练掌握向量的运算法则，数量积与垂直的关系，三角形的外心定义是解题的关键，属于较难题.
7．B
【解析】
【分析】
由三角函数恒等变换化简，利用三角形的性质，得到，再结合三角函数的基本关系式，得出，即可求解.
【详解】
由，所以，
所以或，即（舍去）或，所以，
又，所以，所以，
所以，解得（舍去）或.
故选：B.
8．C
【解析】
【详解】
(1+i)20-(1-i)20
=[(1+i)2]10-[(1-i)2]10=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0.
故答案为C．
点睛：这个题目考查的是复数的乘方运算，i的平方等于-1，根据这个可以得到规律，这是周期为4的一个周期性地规律，对于次数较高的复数运算，可以根据这个规律计算．
9．ABD
【解析】
【分析】
由充分必要条件的概念可判断ACD，由全称命题的否定可判断B.
【详解】
对于选项A：“a＞1”可推出“＜1”，但是当＜1时，a有可能是负数，∴“＜1”推不出“a＞1”，∴“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件，故A正确；
对于选项B：命题“∀x＜1，x2＜1”的否定是“∃x＜1，x2≥1”，故B正确；
对于选项C：当x＝－3，y＝3时，x2＋y2≥4，但是“x≥2且y≥2”不成立，∴“x2＋y2≥4”推不出“x≥2且y≥2”，∴“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；
对于选项D： “a≠0”推不出“ab≠0”，但“ab≠0”可推出“a≠0”，∴“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件，故D正确.
故选：ABD.
10．AB
【解析】
【分析】
由，可判定A正确；由
，集合基本不等式，可判定B正确；由函数奇偶性的定义，可判定C不正确；由，可判定D不正确.
【详解】
由题意，函数，
可得，所以A正确；
由，
当且仅当时等号成立，故B正确；
由，所以，所以C不正确；
由，所以D不正确.
故选：AB
11．+i
【解析】
【详解】
由题意得．
12．1
【解析】
【分析】
根据复数的除法先对等式化简，然后根据复数相等的充要条件可得关于的方程组，解出可得．
【详解】
，即，
由复数相等的条件，得，
解得，
∴.
故答案为：．
【点睛】
本题考查复数的除法和复数相等的充要条件，属基础题．
13．(1)
(2)单调递增区间为；
对称轴方程为
(3)最大值是，最小值是﹣1
【解析】
【分析】
（1）展开利用辅助角公式化简即可求最小正周期
（2）根据复合函数整体法即可求单调递增区间和对称轴方程
（3）根据复合函数整体法即可最大值和最小值
(1)


函数的最小正周期
(2)
令
解得
所以函数的单调递增区间为
令,解得
所以对称轴方程为
(3)
当时,
所以

所以函数在区间上的最大值是,最小值是
14．(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）根据余弦函数的有界性列出方程组求a、b的值；
（2）写出函数g(x)的解析式，通过复合函数整体法即可求出周期、单调区间和最大最小值，以及对应的x的取值．
(1)
由题知,解得
(2)
函数
所以函数的周期为
令
解得
所以的单调减区间为
令
解得
所以的单调增区间为
令
解得
即时,取得最小值
令
解得
即时,取得最大值2
15．（1））的普通方程为，曲线的极坐标方程；（2）相交，长度为.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）利用加减消元法可将直线参数方程的参数消去，化为一般方程.将圆心转化为直角坐标来表示，由此得到圆的直角坐标方程，将代入可求得圆的极坐标方程.（2）求出圆心到直线的距离为故直线和圆相交，利用弦长公式可求得弦长为.
试题解析：
解（Ⅰ）的普通方程为，
由，
曲线圆心的直角坐标为
曲线的直角坐标方程为，
由，得，
所以曲线的极坐标方程.
（Ⅱ）曲线圆心的直角坐标为，半径，
所以圆心到直线的距离为.
所以与是相交，.
16．（1）；（为参数）；（2）最小值为；最大值为 .
【解析】
（1）利用消参法即可写出直线的普通方程，由极坐标与直角坐标的关系可写出曲线的普通方程，再由普通方程化为参数方程即可：（2）由（1）曲线的参数方程设，由直线PQ与所成角为30°即有是P到直线距离的2倍，结合点线距离公式及辅助角公式得关于的函数式，即可求最值.
【详解】
（1）直线： ，则代入中，整理得；
曲线的极坐标方程为知：，而，，即，则（为参数）；
（2）由（1）不妨设点坐标为，点到直线的距离为，根据题意可得，
故可得.
【点睛】
本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，并根据两线夹角结合点线距离公式、辅助角公式求两点间距离的最值.
17．（1），（2）
【解析】
【详解】
分析：（1）消去得直线方程为，极坐标化为直角坐标可得曲线的直角坐标方程为：；
（2）设曲线上的点为，由点到直线距离公式可得，则曲线上的点到直线的距离的最大值为.
详解：（1）由，消去得：，
曲线的直角坐标方程为：；
（2）设曲线上的点为，
则点到直线的距离为，
当时，，
即曲线上的点到直线的距离的最大值为.
点睛：本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，参数方程转化为直角坐标方程的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18．（1） 证明见解析；（2） 证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接，证得四边形为平行四边形，可得，即可证明平面；
（2）证明，可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明平面平面．
【详解】
证明：（1）取的中点，连接，


由于是四棱柱，
所以，
因此四边形为平行四边形，
所以，又平面，
平面，所以平面．
（2）因为分别为和的中点，所以，
所以，又平面，
平面，所以，
因为，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）证明平面平面，可得平面，即可证明；
（2）取中点，连结，，证明平面平面，即可证明平面.
【详解】
证明：（1），为等腰三角形
为中点，，
为直棱柱，平面平面，
平面平面，平面，
平面，
.
（2）取中点，连结，，
，，分别为，，的中点
，，
，
平面平面，
平面
平面.

20．（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.
【解析】
（1）由底面是菱形，证得PO⊥BD，在中，PA=PC，证得PO⊥AC，结合线面垂直的判定定理，即可证得PO⊥底面ABCD；
（2）连接OF，取AP中点为E，连接OE，证得CPOE，得到∠EOF为直线与OF所成的角，进而求得直线与OF所成角的大小；
（3）连接CM，连接CE，ME，证得EM平面BDF，结合（2）证得平面EMC平面BDF，即可得到CM平面BDF.
【详解】
（1）因为底面是菱形，且，所以O为AC，BD中点，
在中，PB=PD，可得PO⊥BD，
因为在中，PA=PC，O为AC，BD中点，所以PO⊥AC，
又因为ACBD=O，所以PO⊥底面ABCD.
（2）连接OF，取AP中点为E，连接OE，
因为底面ABCD是菱形，ACBD=O，
由O为AC中点，且E为AP中点，AP=4AF，所以F为AE中点，所以CPOE. ，
故∠EOF为直线与OF所成的角，
又由为等边三角形，且E为中点，所以∠EOF=.
（3）存在，，
连接CE，ME，
因为AP=4AF，E为AP中点，所以，
又因为，所以在中，，即EMBF，
因为EM平面BDF，BF平面BDF，所以EM平面BDF，
由（2）知ECOF，因为EC平面BDF，OF平面BDF，所以EC平面BDF，
因为ECEM=E，所以平面EMC平面BDF，
因为CM平面EMC，所以CM平面BDF.

【点睛】
解答空间中点、线、面位置关系的判定问题常见解题策略：
1、对空间平行关系的转化条件理解不透导致错误；对面面平行判定定理的条件“面内两相交直线”认识不清导致错解；
2、对于空间中的垂直关系中确定线面垂直是关键，证明线线垂直则需借助线面垂直的性质，垂直关系的判定定理和性质定理合理转化是证明垂直关系的基本思想.
21．(1)；(2)平均数为，中位数为；(3)．
【解析】
【分析】
(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率；
(2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数；
(3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率.
【详解】
解：(1)第六组的频率为，
∴第七组的频率为．
(2)由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，，
设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，
由得，
所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为
．
(3)第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，
第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，
则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．
22．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先作出乙先到达火车站为的基本事件所对应的阴影区域，再结合几何概型中的面积型可得解；
（2）先作出两人会面需要等候的时间不超过半小时为的基本事件所对应的阴影区域，再结合几何概型中的面积型可得解.
【详解】
（1）设为初始时刻0，则，，分别为时刻1，2，3，
设甲到火车站为时刻，乙到火车站为时刻，则基本事件可用图（1）中的矩形区域表示，
乙先到达火车站为，基本事件可用图1中的阴影区域表示，
由几何概型中的面积型可得：；
故乙先到达火车站的概率为
（2）两人会面需要等候的时间不超过半小时为，基本事件可用图（2）中的阴影区域表示，
由几何概型中的面积型可得：.
故两人会面需要等候的时间不超过半小时的概率为

【点睛】
关键点点睛：本题考查几何概型，解题的关键是将概率问题转化为面积比型，熟悉基本图形的面积计算即可，考查学生的转化与化归思想，属于中档题.
23．（1）；（2）有的把握认为空气重度污染与供暖有关.
【解析】
【分析】
（1）先求出“在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于元且不超过元”的频数，进而可确定概率；
（2）依题意先完善列联表，再由计算出的观测值，结合临界值表，即可得出结论.
【详解】
（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于元且不超过元”为事件
由，得，频数为，
（2）根据以上数据得到如下列联表：

非重度污染
重度污染
合计
供暖季



非供暖季



合计




的观测值
所以有的把握认为空气重度污染与供暖有关.
【点睛】
本题主要考查古典概型和独立性检验，熟记公式即可求解，属于常考题型.
24．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件和等比中项，求出数列的首项和公差，即可求出通项公式；
（2）利用裂项相消法即可求出结果.
(1)
解：公差不为零的等差数列中，，又成等比数列，
所以，即，
解得，
则；
(2)
解：由（1）可知，，
可得数列的前项和
.
25．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由等比中项的性质可得将其转化为关于首项和公差的方程，解方程求得公差，再由等差数列的通项公式即可求解；
（2）由（1）求出的通项公式，再由裂项求和即可求解.
(1)
设等差数列的公差为d，
因为是与的等比中项，
所以即
所以，整理可得：，
解得：或（舍），所以.
(2)
由（1）知
所以，
所以

.
26．（1）；（2）5．
【解析】
【分析】
（1）由圆得到，再由椭圆的右焦点为，得到，联立方程组求得的值，即可求解；
（2）当直线的斜率存在且不为0时，可设，联立方程组，求得，再由圆的弦长公式求得，得到面积，结合基本不等式，求得面积的最大值，验证直线的斜率为0时，与题意不符，即可求解.
【详解】
（1）由圆的面积为，可得，即；
又椭圆的右焦点为，故，
联立方程组，解得，所以椭圆的方程为.
（2）当直线的斜率存在且不为0时，可设，
联立方程组，整理得，
解得，，所以，
而圆心到直线的距离，，
所以，
当且仅当，即时取等号；
当直线的斜率不存在时，，可得，
当直线的斜率为0时，重合，与题意不符；
综上，的最大面积为5．
【点睛】
解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
27．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
（Ⅰ）设，根据题意得到，即可求得曲线的方程；
（Ⅱ）设，的方程为，联立方程组分别求得，和，进而得出，进而得出，得出直线的方程，即可判定直线恒过定点.
【详解】
（Ⅰ）由题意，设，
因为圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，
可得，化简得.
（Ⅱ）设，的方程分别为，，
联立方程组，整理得，
所以，则，同理
所以，
由，可得，
所以直线的方程为
整理得，所以直线恒过定点.
【点睛】
解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
28．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求得，得到，且，进而求得曲线在处的切线方程；
（2）由（1）知，令，得到恒成立，进而求得函数的单调性与最小值，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数，则，
可得，且，所以曲线在处的切线方程为.
（2）由（1）知，
令，则恒成立，
所以在上单调递增，且，
当时，，，所以单调递诚；
当时，，所以单调递增.
即当时取到极小值，也是最小值，所以.
因为恒成立，所以的取值范围为.
29．（1）；（2）增区间是，减区间是．
【解析】
【分析】
（1）由函数得，根据曲线切点处导数的几何意义，列方程求参数a，b的值；
（2）由（1）知，结合给定区间讨论的符号，进而确定的单调性.
【详解】
（1）由题意，得：，
∴，得.
（2）由（1），得，
∴，
∴当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减．
∴函数的增区间是，减区间是．
30．（1）答案见解析；（2）.
【解析】
（1）求出导数，分、、三种情况讨论，根据导数符号判断函数单调性；（2）当时，不妨设，根据函数在上的单调性可将问题转化为，令再次将问题转化为在上恒成立，设，所以，利用导数求出即可得解.
【详解】
（1），因为所以分以下情况讨论：
当时，恒成立，故在单调递增；
当时，当单调递减，时单调递增；
当时，恒成立，故在单调递减.
综上所述：当时在单调递增，无单调递减区间；
当时在单调递减，在单调递增；
当时，在单调递减，无单调递增区间.
（2）因为，由1知，函数在上单调递增，不妨设，
则，可化为，
设，则，
所以为上的减函数
即在上恒成立，等价于在上恒成立，
设，所以，
因，所以，所以函数在上是增函数，
所以（当且仅当时等号成立）．
所以．即的最小值为12．
【点睛】
破解含双参不等式证明题的三个关键点：
（1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；
（2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
（3）回归双参不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
31．(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）根据相关系数的公式求出相关数据后，代入公式即可求得的值，最后根据值的大小回答即可；（Ⅱ）准确求得相关数据，利用最小二乘法建立y关于t的回归方程，然后预测．
试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得
，，，
，
.
因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，
.
所以，关于的回归方程为：.
将2016年对应的代入回归方程得：.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
【考点】线性相关系数与线性回归方程的求法与应用．
【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时要严格按照公式求解，并一定要注意计算的准确性．
32．（1）； （2）在犯错误的概率不超过的前提下，认为高一、高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛的成绩有差异.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图小矩形的面积和为平均值计算可得．
（2）由题意，成绩在68分以上的学生知识渊博，那么在之间所占比例为，由此利用频率分布直方图小矩形的面积计算即可．
（3）由频率分布直方图先计算小于60分的频率，再计算频数，完成列联表，利用卡方公式计算卡方，得出结论．
【详解】
(1)高一年级参赛学生的平均成绩为(45×0.04＋55×0.04＋65×0.01＋75×0.01)×10＝54(分)．
高二年级参赛学生的平均成绩为(45×0.015＋55×0.025＋65×0.035＋75×0.025)×10＝62(分)．
(2)高一年级参赛学生的知识渊博率为P1＝10×0.01×＋10×0.01＝0.12，
高二年级参赛学生的知识渊博率为P2＝10×0.035×＋10×0.025＝0.32.
故可估计该校高一年级学生的知识渊博率为0.12，高二年级学生的知识渊博率为0.32.
(3)补全2×2列联表，如下：
分类
成绩低于60分人数
成绩不低于60分人数
总计
高一年级
80
20
100
高二年级
40
60
100
总计
120
80
200
根据表中数据得K2的观测值k＝≈33.33>6.635，
故在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高一、高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛的成绩有差异．
【点睛】
1．正确利用概率分布直方图与平均数等，求出高一、高二年级各个分数的学生数是利用K公式求得k并进行估计的前提条件．
2．独立性检验的一般步骤如下：(1)根据样本数据制成2×2列联表．
(2)根据公式计算的观测值k.(3)比较k与临界值的大小关系，做统计推断．
33．（1）；（2）略
【解析】
【详解】
分析：（1）设z1=a+bi，（a，b∈R，且b≠0），则=（a+）+（b﹣），由z1是实数，得a2+b2=1，由此求出z1的实部的取值范围为[﹣，]．
（2）ω====，由此能证明ω=是纯虚数．
详解：(1)解:设.则
,
因为.所以，又，所以.所以.
所以,
又,即.解得.
所以的实部的取值范围的取值范围为.
(2)证明:,
因为.所以,
所以为纯虚数.
点睛：复数实部为，虚部为，共轭复数实部为，虚部为，在复平面内对应的点关于是轴对称，复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，
．