贵州省遵义市仁怀市周林学校2021-2022学年八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

贵州省遵义市仁怀市周林学校2021-2022学年八年级（下）第一次月考数学试卷

一．选择题（本题共12小题，共48分）

1. 下列各式中是二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式中属于最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 使代数式有意义的的取值范围是 

A.  B.  C. 取一切实数 D. 且

5. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6. 若，则的值为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在数轴上点表示的实数是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，已知平行四边形的周长等于，，则的周长是

A.
B.
C.
D.

9. 如图，将两个大小、形状完全相同的和拼在一起，其中点与点重合，点落在边上，连接若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点、、都在格点上，则下列结论错误的是

A.
B.
C. 的面积为
D. 点到直线的距离是
 

11. 如图，矩形中，点的坐标为，点的纵坐标为，若将矩形沿直线折叠，则顶点恰好落在边上处，那么图中阴影部分的面积为

A.
B.
C.
D.

12. 观察下列各式：，，，请利用你所发现的规律，计算，其结果为

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共4小题，共16分）

13. 若是，则______．
14. 如图，在中，为边上的一点，若，，，，则的长为______．
    
     

15. 对于任意不相等的两个实数，，定义一种运算“”：，根据这一规则，那么______．
16. 如图，要在河边上修建一个水泵站，分别向村和村送水，已知村、村到河边的距离分别为和，且两村庄相距，则铺设水管的最短长度是______．

三．解答题（本题共8小题，共86分）

17. 计算：
    ；
    ；
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知，，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知，在▱中，是边的中点，连接．
    如图，若，则的长 ______ ；
    如图，延长交的延长线于点，求证：．

21. 已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要元，问要多少投入？
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，，，，一机器人在点处看见一个小球从点出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程是多少？

23. 用四个全等的直角三角形拼成如图所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为．
    结合图，求证：；
    如图，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形若该图形的周长为，求该图形的面积；
    如图，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形，记正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则______．

24. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，且，点在轴上，且．
    求线段的长；
    若点在线段上，，，求的值；
    在的条件下，过点作，交于点，试确定线段、、的数量关系？并证明你的结论．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：、是二次根式，故A符合题意．
B、不是二次根式，故B不符合题意．
C、不是二次根式，故C不符合题意．
D、时，无意义，故D不符合题意．
故选：．
一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．
本题考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解二次根式的定义，本题属于基础题型．
 

2.【答案】

【解析】

解：、是最简二次根式，本选项正确；
B、，不是最简二次根式，本选项错误；
C、，不是最简二次根式，本选项错误；
D、，不是最简二次根式，本选项错误．
故选：．
结合最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．求解即可．
本题考查了最简二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
 

3.【答案】

【解析】

解：、，正确；
B、无法计算，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：．
分别利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则化简分析得出即可．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的运算法则是解题关键．
 

4.【答案】

【解析】

解：根据题意得：且，
解得：且．
故选：．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围．
本题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握分式有意义，分母不为、二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：、，能构成直角三角形；
B、，能构成直角三角形；
C、，不能构成直角三角形；
D、，能构成直角三角形．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，解答此题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

6.【答案】

【解析】

解：，
．
故选：．
直接利用二次根式以及绝对值的性质化简求出即可．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：由题意得：
，
，
，
数轴上点表示的实数是：，
故选：．
根据勾股定理求出的长度，再估算出的值，然后根据点在数轴上的位置即可解答．
本题考查了实数，实数与数轴，估算无理数的大小，勾股定理，熟练掌握勾股定理，以及估算无理数的大小是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：▱的周长是，
，
，
的周长为，
故选：．
平行四边形的周长为相邻两边之和的倍，即，则，从而求得的周长．
本题考查了平行四边形的性质，在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择地使用，避免混淆性质，以致错用性质．
 

9.【答案】

【解析】

解：，，
，，
和大小、形状完全相同，
，，
，
，
故选：．
根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理计算．
本题考查的是勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

10.【答案】

【解析】

解：、，
，本选项结论正确，不符合题意；
B、，，，
，
，本选项结论正确，不符合题意；
C、，本选项结论错误，符合题意；
D、设点到直线的距离为，
，
，
则，
解得，，即点到直线的距离是，本选项结论正确，不符合题意；
故选：．
根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可．
本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

11.【答案】

【解析】

解：设，则，
点的坐标为，
，
点的纵坐标为，
，
在直角中，，
则，
在直角中，，即，
解得：，
则，
，
则．
故选：．
根据、的纵坐标即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，然后在直角中，利用勾股定理即可得到方程求得的长，则根据即可求解．
本题考查了矩形的性质，以及折叠的性质，勾股定理，正确求得的长是关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：原式


．
故选：．
直接利用已知得出数字变化规律，进而化简得出答案．
此题主要考查了数字变化规律以及实数运算，正确得出数字变化规律是解题关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：，
则或．
故答案为：．
直接根据平方根的定义解答即可．
此题主要考查了平方根的定义，比较简单，解答此题的关键是熟知平方根的定义：如果一个数的平方等于，那么这个数叫的平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．
 

14.【答案】

【解析】

解：，，，
，
是直角三角形，，
是直角三角形，
在中，．
故答案为：．
根据勾股定理的逆定理可判断出为直角三角形，即，在中利用勾股定理可得出的长度．
本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出．
 

15.【答案】

【解析】

解：根据题中的新定义得：，
则，
故答案为：．
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 

16.【答案】

【解析】

解：作点关于河边所在直线的对称点，连接交于，则点为水泵站的位置，此时，的值最小，即所铺设水管最短；
过点作的垂线，过作的平行线，设这两线交于点，
过作于，则四边形和四边形是矩形，
，，，
在中，依题意得：，，
根据勾股定理可得：，
在 中，，，
根据勾股定理可得：，
，
，
故答案为：．
作点关于河边所在直线的对称点，连接交于，则点为水泵站的位置；利用了轴对称的性质可得，在中利用勾股定理可以算出的长，再在中利用勾股定理算出的长，根据两点之间线段最短的性质即可求解．
考查主要最短路径问题，勾股定理，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决问题的关键．
 

17.【答案】

解：

；


；


；




．
 

【解析】

先化简，再进行减法运算即可；
先化简，再进行加减运算即可；
先进行乘法的运算，再进行加减运算即可；
先化简，再进行除法与乘法的运算，最后算减法即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

18.【答案】

解：


，
当时，原式
．
 

【解析】

先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

19.【答案】

解：，，
，，




，
即的值为．
 

【解析】

根据，，可以得到、的值，然后将所求式子变形，再代入和的值计算即可．
本题考查二次根式的化简求值、平方差公式，解答本题的关键是求出、的值．
 

20.【答案】

【解析】

解：四边形是平行四边形，
，
是边的中点，
，
故答案为：；
证明：在平行四边形中，是边上的中点，
，，
在和中，
，
≌，
．
由平行四边形的性质可知，所以的长可求出；
利用已知得出≌，进而求出即可证明．
此题主要考查了平行四边形的性质，利用平行线的性质得出是解题关键．
 

21.【答案】

解：连接，
在中，，
在中，，，
而，
即，
，
，
．
所以需费用元．
 

【解析】

仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接，在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，为斜边；由此看，四边形由和构成，则容易求解．
通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．
 

22.【答案】

解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
，
设，
则，
在中，
，
，
解得．
机器人行走的路程为
 

【解析】

根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到，设，根据勾股定理求出的值即可．
本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

23.【答案】

【解析】

证明：，
，
即，
；
解：，
设，则，
在中，由勾股定理得：
，
即，
解得：，
；
解：设正方形的面积为，其他八个全等三角形的面积为，
，
，，，
，
，
，
故答案为：．
用两种方法分别表示中间小正方形面积即可；
设，则，在中，由勾股定理列出方程即可求出的长，从而解决问题；
设正方形的面积为，其他八个全等三角形的面积为，则，，，根据，即可得出．
本题是四边形的综合题，主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用等知识，运用整体思想、方程思想是解题的关键．
 

24.【答案】

解：在中，，
．
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
结论：，理由如下：
连接，，
垂直平分分，
，
，，

由可知≌，
，，
，
，
．
 

【解析】

根据即可解决．
先证明≌得，所以即可解决．
结论：只要证明，，在中利用勾股定理即可证明．
本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是寻找全等三角形，属于中考常考题型．