辽宁省盘锦市大洼区2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷（含解析）

辽宁省盘锦市大洼区2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 新型冠状病毒直径平均约为，用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 如果是一个完全平方式，那么的值等于

A.  B.  C.  D.

5. 下列等式成立的是

A.  B.
C.  D.

6. 已知三角形中的两边长分别为和，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是

A.  B.  C.  D.

7. 在锐角内一点，满足，则点是

A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条高的交点 D. 三条垂直平分线的交点

8. 如图，在中，，尺规作图：分别以，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；作射线，连接，则下列结论中错误的是

A.
B. 是等边三角形
C. 垂直平分
D.
 

9. 如图，把长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为，则下列说法错误的是

A. ≌
B. 是等腰三角形
C. 折叠后的图形是轴对称图形
D.
 

10. 如图，在直角中，，平分，交于，，垂足为，将沿所在直线折叠，则点恰好与点重合，下列结论：垂直平分；；；的周长等于，其中正确的命题是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共24分）

11. 分解因式：______．
12. 计算：______．
13. 点关于轴的对称点的坐标为______．
14. 在中，、为边上两点，把、、这三个角用“”链接起来是______．
    
     

15. 若分式的值为零，则______．
16. 如图，已知直角和直角，，，若≌，则需要添加的一个条件是______．
17. 如图，小亮从点出发，沿直线前进向左转再沿直线前进，又向左转，照这样走下去，他第一次回到出发地点时，一共走了______
    
     

18. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为______ ．

三．解答题（本题共11小题，共96分）

19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点即三角形的顶点都在格点上．
    
    在图中作出关于直线对称的；要求：与，与，与相对应
    在问的结果下，连接，，求四边形的面积．
    
    
    
    
    
    
     
20. 某乡为了解决干旱问题，要在某河道处建一座水泵站，分别向河同一侧的张村和李村送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥点为坐标原点，以河道所在的直线为轴建立直角坐标系，如图所示，两村的坐标分别为，．
    若从节约经费的角度考虑，水泵站建在距离大桥点______千米的点可使所用输水管最短．
    水泵站建在距离大桥 ______千米的点，可使它到张村、李村的距离相等．
    利用尺规作图请在图中分别标出点、的位置，再填空．不写作法，不用证明

21. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
22. 解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
23. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
24. 东东玩具商店用元购进一批悠悠球，很受小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的倍，但每套进价多了元．
    求第一批悠悠球每套的进价是多少元；
    如果这两批悠悠球每套售价都是元，那么全部售出后，该玩具商店可获得的利润是多少元？
    
    
    
    
    
    
     
25. 某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合做天，那么余下的工程由甲队单独完成还需天．
    这项工程的规定时间是多少天？
    已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
    
    
    
    
    
    
     
26. 如图，点在线段上，为线段的垂直平分线，，，试探究与的位置关系，并说明理由．
    
    
     

27. 如图，，点为的中点，平分，过点作，垂足为，连结、．
    求证：是的平分线；
    求证：线段垂直平分．
    
    
     

28. 如图，已知，，，点在延长线上，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，为线段的中点，连接，．
    求证；
    判断的形状，并说明理由．

29. 尝试探究：如图，在中，，，是过点的一条直线，且，在的同侧，于，于，则图中与线段相等的线段是______．
    类比延伸：如图，，，点，的坐标分别是，，求点的坐标．
    拓展迁移：在的条件下，在坐标平面内是否存在一点不与点重合，使与全等？若存在，请在图中画出并直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．
故选：．
结合轴对称图形的概念进行求解即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】

【解析】

解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别计算，进而判断得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】

【解析】

解：，用科学记数法表示为．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】

【解析】

解：是一个完全平方式，
，
解得：，
故选：．
完全平方式有两个：和，根据以上内容得出，求出即可．
本题考查了对完全平方公式的应用，能根据题意得出是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：和．
 

5.【答案】

【解析】

解：、，本选项错误；
B、，本选项正确；
C、，本选项错误；
D、，本选项错误．
故选B．
结合幂的乘方与积的乘方的概念和运算法则进行求解即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念和运算法则．
 

6.【答案】

【解析】

解：设三角形的第三边是则
．
即，
故选：．
根据在三角形中任意两边之和第三边，任意两边之差第三边；即可求第三边长的范围，然后由第三边长的范围来作出选择．
此题主要考查了三角形三边关系的应用．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．注意做题时要分别进行思考．利用线段的垂直平分线的性质进行思考，首先思考满足的点的位置，然后思考满足的点的位置，答案可得．
【解答】
解：
在的垂直平分线上，
同理在，的垂直平分线上．
点是三边垂直平分线的交点．
故选D．  

8.【答案】

【解析】

解：根据作图方法可得，
，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，故C结论正确；
为中点，
是的中线，
，
，故A结论正确；
，
是等边三角形，故B结论正确；
四边形的面积，故D选项错误，
故选：．
根据作图方法可得，进而可得等边三角形，再利用垂直平分线的判定方法可得垂直平分，利用等腰三角形的性质可得，利用面积公式可计算四边形的面积．
此题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一．
 

9.【答案】

【解析】

解：如图，

由题意得：≌，
，；
；
又四边形为长方形，
，，；
，；
，
，
为等腰三角形；
故B选项正确；
在与中，
，
≌；
故A选项正确；
折叠后，
和不一定相等除非都是，
故D选项错误；
≌，
又为等腰三角形，
折叠后得到的图形是轴对称图形；
故C此选项正确；
综上所述，错误的结论是选项，
故选：．
根据翻转变换的性质、全等三角形的判定定理和性质定理解答．根据题意结合图形可以证明，进而根据证明≌；此时可以判断选项A，，C正确，D错误，问题即可解决．
本题考查的是翻转变换的性质、直角三角形的性质，解决本题的关键是翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
 

10.【答案】

【解析】

解：平分，
，
将沿所在直线折叠，则点恰好与点重合，
，，
，
，
垂直平分线段，故正确，
，
，
，
，故正确，
，，
，故错误，
，，
，
，
，，平分，
，
的周长，故正确．
故选：．
首先证明，再证明，，，可得结论．
本题考查命题与定理，角平分线的性质定理，轴对称的性质，含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】
解：

．
故答案为：．  

12.【答案】

【解析】

解：，
，
．
故答案为：．
根据多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加，计算即可．
本题考查多项式除以单项式运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：点关于轴的对称点的坐标为，
故答案为：．
依据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可得出结论．
本题主要考查了关于轴的对称点的坐标特点，点关于轴的对称点的坐标是．
 

14.【答案】

【解析】

解：是的外角，
，
是的外角，
，
．
故答案为：．
根据三角形外角的性质可求解．
本题主要考查三角形的外角，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】

解：，，
，
故答案为：．
根据分式的值为的条件：分子等于且分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式的值为的条件，掌握分式的值为的条件：分子等于且分母不等于是解题的关键．
 

16.【答案】

答案不唯一
 

【解析】

解：添加的条件是，
理由是：在和中，
，
≌，，
故答案为：答案不唯一．
此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合两直角三角形全等的判定定理即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．
 

17.【答案】

【解析】

解：小亮每次都是沿直线前进后向左转度，
他走过的图形是正多边形，
边数，
他第一次回到出发点时，一共走了．
故答案为：．
根据题意，小亮走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，然后再乘以即可．
本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为；根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．
 

18.【答案】

或
 

【解析】

解：如图，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是；
如图，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是．
故答案为：或．
分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．同时考查了：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
 

19.【答案】

解如图， 是关于直线的对称图形．

由图得四边形是等腰梯形，，，高是．
．
 

【解析】

本题主要考查了作轴对称变换，在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
关于轴对称的两个图形，各对应点的连线被对称轴垂直平分．作直线于点，并延长到，使，同法得到，的对应点，，连接相邻两点即可得到所求的图形；
由图得四边形是等腰梯形，，，高是，根据梯形的面积公式进行计算即可．
 

20.【答案】

【解析】

解：作点关于轴的对称点，连接交轴于，如图：

，、关于轴对称，
，，
，
由、、共线知最小，即最小，
设直线的函数关系式为，
则，
解得，
直线的函数关系式为，
当时，．
水泵站建在距离大桥点千米的点可使所用输水管最短，
故答案为：；
作的垂直平分线交轴于，如图：

设，
，，
，
解得，
，
故答案为：．
为了使所修水泵站的所用输水管道最短，利用轴对称的方法画图可求；
所求点要满足两个条件，到张村和李村的距离相等，可以作连接两村线段的垂直平分线，与轴的交点即为所求．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，线段的垂直平分线，轴对称的作图方法．关键是掌握“将军饮马”问题及垂直平分线的性质．
 

21.【答案】

解：原式

．
 

【解析】

利用平方差公式和多项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后去括号，合并同类项进行化简．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握平方差公式是解题关键．
 

22.【答案】

解：，
原方程可化简为：，
方程的两边同乘，得，
解这个整式方程得：，
检验：当时，，
是原方程的根．
 

【解析】

按照解分式方程的步骤进行计算即可．
本题考查了解分式方程，一定要注意，解分式方程必须检验．
 

23.【答案】

解：原式


；
又



，
原式．
 

【解析】

原式小括号内的式子先进行通分计算，然后算除法，再算括号外面的减法，最后根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则以及有理数混合运算的运算顺序求得的值，从而代入求值．
本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的和计算法则是解题关键．
 

24.【答案】

解：设第一批悠悠球每套的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
 答：第一批悠悠球每套的进价是元．
，
答：该玩具商店可获得元的利润．
 

【解析】

设第一批悠悠球每套的进价是元，由题意：东东玩具商店用元购进一批悠悠球，悠悠球很快售完，接着又用元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的倍，但每套进价多了元．列出分式方程，解方程即可；
结合的结果列式计算即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

25.【答案】

解：设这项工程的规定时间是天，根据题意得：
．
解得：．
经检验是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是天．

该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：天，
则该工程施工费用是：元．
答：该工程的费用为元．
 

【解析】

设这项工程的规定时间是天，根据甲、乙队先合做天，余下的工程由甲队单独需要天完成，可得出方程解答即可；
先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．
本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位”，注意仔细审题，运用方程思想解答．
 

26.【答案】

解：．
证明：为线段的垂直平分线，
，
在和中，
 ，
≌，
，
．
 

【解析】

由线段垂直平分线的性质得出，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
本题考查了平行线的判定，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

27.【答案】

证明：，
，
又，平分，
，
又点为的中点，
，
，
，
，
又，
是的平分线；
证明：在和中，
，
≌，
，
为等腰三角形，
又是的平分线，
线段垂直平分．
 

【解析】

证出，由角平分线的性质得出结论；
证明≌，由全等三角形的性质得出，由等腰三角形的性质可得出结论．
本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

28.【答案】

证明：，
，
，
，
，
≌，
；
解：为等腰直角三角形．
证明：连接，

，，
，
，
，
≌，，
，
，
，
，，为线段的中点，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
为等腰直角三角形．
 

【解析】

证明≌，由全等三角形的性质得出；
连接，证明≌，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论．
本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

29.【答案】

【解析】

解：，于，，
，，
，
≌，
，
故答案为：；
过作轴于，如图：

，
，
，，
≌，
，，
，
；
存在，
当≌时，过作轴于，如图：

≌，
，，
，
、、共线，
，
又，
≌，
，，
，
，
当≌时，过作轴平行线，过作轴平行线交于，如图：

≌，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
当≌时，过作轴于，如图：

≌，
，，
，
，
，
，
而，
≌，
，，
，
综上所述，的坐标为：或或．
证明≌即可得，从而得到答案；
过作轴于，证明≌即得，，故C；
当≌时，过作轴于，证明≌得，，即得，当≌时，过作轴平行线，过作轴平行线交于，证明≌，得，，故，当≌时，过作轴于，证明≌，得，，故．
本题考查三角形的全等判定与性质，涉及等腰直角三角形性质及应用，平面内点坐标等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角．