2022年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷（一）（含解析）

2022年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷（一）

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 在实数，，，中，最小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 全国脱贫攻坚总结表彰大会年月日上午在北京人民大会堂隆重举行．为如期实现全面脱贫，近几年，国家扶贫资金投入力度持续加大，年投入高达亿元，其中亿用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

4. 使分式有意义的字母的取值范围是

A.  B.  C.  D. 且

5. 某校对部分参加研学活动的中学生的年龄单位：岁进行统计，结果如表：则这些学生年龄的众数和中位数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

6. 如图几何体的主视图为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，中，，，，，分别为，的中点，为上一点，且满足，则

A.  B.  C.  D.

8. 九章算术是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻两．问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为两，一枚白银的重量为两，则可列方程组为

A.  B.
C.  D.

9. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是

A. 时，
B. 当时，
C. 若在二次函数图象上，则
D.
 

10. 一个矩形按如图的方式分割成三个直角三角形，把较大的两个三角形纸片按图方式放置，若图中两个阴影部分面积满足，则在图中，下列结论错误的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11. 的立方根是______ ．
12. 分解因式：______．
13. 从如图的四张印有品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有品牌标志的图案是轴对称图形的卡片的概率是______．

14. 如图，一个边长为的等边的高与的直径相等，与相切于点，与相交于点，则的长为______ ．
     

15. 在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长的值与面积的值相等，则这个点叫做“和谐点”已知直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且点是“和谐点”，则的面积为______．
16. 如图，在菱形中，，是锐角，点是的中点，点在上，，连结，，若，则的长为______，的值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17. 计算：．
    解不等式组：．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共7小题，共72.0分）

18. 如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，按要求画图：
    在图中找一个格点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形；
    在图中仅用无刻度的直尺，画的角平分线保留画图痕迹，不写画法．

19. 在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的点固定，点从向处滑动，压柄可绕着转轴旋转．已知，．
    当托板与压柄夹角时，如图，点从点滑动了，求连接杆的长度；
    当压柄从中的位置旋转到与底座的夹角，如图求这个过程中点滑动的距离．答案保留根号参考数据：，

20. 已知抛物线经过，，三点．
    求抛物线的表达式和顶点坐标．
    请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在点处，并写出平移后抛物线的表达式．
    
    
    
    
    
    
     
21. 某校决定加强羽毛球、篮球、乒乓球、排球、足球五项球类运动，每位同学必须且只能选择一项球类运动，对该校学生随机抽取进行调查，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．

本次随机抽取的学生共有______人，频数分布表中的______，______；
在扇形统计图中，“排球”所在的扇形的圆心角为多少度？
全校大约有多少名学生选择参加乒乓球运动？






 

22. 一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后船不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，直到将船内积水排尽．设轮船触礁后船舱内积水量为，时间为，与之间的函数图象如图所示．
    修船过程中排水速度为______，的值为______．
    求修船完工后与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
    当船内积水量是船内最高积水量的时，直接写出的值．

23. 证明体验
    如图，在中，点在边上，点在边上，，，与相交于点求证：．
    思考探究
    如图，在的条件下，过点作的平行线交于点，若，，求的长．
    拓展延伸
    如图，在四边形中，对角线与相交于点，，，，，求的长．

24. 如图，内接于，的外角的平分线交于点点在弧之间，连结，．
    求证：．
    若，，求的长．
    如图，在的条件下，作于点．
    若，求的周长．
    求的最大值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：，
最小的是，
故选：．
根据正数大于，负数小于，即可比较出大小，从而得到最小的数．
本题考查了实数的比较大小，知道负数小于是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：亿，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
 

3.【答案】

【解析】

解：．
故选：．
先根据幂的乘方运算法则化简，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．
本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】

【解析】

解：根据题意得，则．
故选：．
根据分式有意义的条件即可作出判断．
本题考查了分式有意义的条件：掌握分式的分母不等于是解决此题关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：出现的次数最多，是众数．
一共个学生，按照顺序排列第、个学生年龄是，所以中位数为：．
故选：．
出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
本题考查了众数及中位数的知识，掌握众数及中位数的概念是解题关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：从正面看，是一个正方形，且正方形的右上角有一条实线把正方形分成一个三角形和一个直角梯形．
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

7.【答案】

【解析】

解：在中，，，
由勾股定理得：，
，分别为，的中点，
，
，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
故选：．
根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：设每枚黄金重两，每枚白银重两，
根据题意得：．
故选：．
直接利用“黄金枚每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银枚每枚白银重量相同，称重两袋相等，以及两袋互相交换枚后，甲袋比乙袋轻了两”分别得出等式得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
 

9.【答案】

【解析】

解：选项，对于，移项可得，，对应于图中即是抛物线在直线上方的部分，有图可知，两个曲线交点的坐标为和，所以，，所以A正确；
选项，当时，抛物线最高点即的最大值为抛物线与的交点，此点为，所以，当时，，所以B正确；
选项，在抛物线中，有对称轴公式可知，抛物线的对称轴是，所以在抛物线上与点关于对称轴对称的点是，但是，所以，，所以C错误；
选项，因为抛物线开口向下，且与轴交点在正半轴，所以，，，因为直线经过二、四象限，且与轴交于负半轴，所以，，所以，，D正确．
故选：．
选项将，移项可得，，根据图象求解判断为对；
选项当时，抛物线最高点即的最大值为抛物线与的交点，此点为，即可求解判断为对；
选项抛物线的对称轴是，所以在抛物线上与点关于对称轴对称的点是，但是，所以，，可判断为错；
选项因为抛物线开口向下，且与轴交点在正半轴，所以，，，因为直线经过二、四象限，且与轴交于负半轴，所以，，即可判断为对．
本题主要考查了二次函数与不等式，二次函数图象与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数图象与系数关系以及结合不等式运算是解决问题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：、如图，四边形是矩形，
，
，

如图，，
，
，
，
，
，
故选项A正确，不符合题意；
B、如图，过点作于，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
设，，则，，
，
，
故选项B正确，不符合题意；
C、，，
，
，
如图，中，，
，
，
，
，
故选项C正确，不符合题意；
D、设，，则，
，
，
，
故选项D错误，符合题意；
故选：．
如图，证明，再由等角的余角相等可得，所以，可以判断A正确；
如图，过点作于，证明∽，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得，设，，则，，可判断B正确；
如图，先计算，由勾股定理得，由三角函数定义可判断C正确；
设，，则，可判断D错误．
本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，设未知数表示各线段的长是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】

解：，
的立方根是，
故答案为：．
如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根．
本题主要考查了立方根的定义，一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是．
 

12.【答案】

【解析】

解：．
故答案为：．
利用平方差公式分解即可求得答案．
本题考查了利用平方差公式分解因式的方法．题目比较简单，解题需细心．
 

13.【答案】

【解析】

解：由图可得，
第一个图形不是轴对称图形，第二个、第三个、第四个都是轴对称图形，
从如图的四张印有品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有品牌标志的图案是轴对称图形的卡片的概率是，
故答案为：．
根据题意和图形，可知第一个图形不是轴对称图形，第二个、第三个、第四个都是轴对称图形，然后即可求得任取一张是轴对称图形的概率．
本题考查概率公式、轴对称，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
 

14.【答案】

【解析】

解：连接、，作于，作于，
在中，，
，
为的切线，
，
，
，
，
的长，
故答案为：．
连接、，作于，作于，根据正弦的定义求出，根据题意求出的半径，根据切线的性质得到，根据弧长公式计算即可．
本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

15.【答案】

或
 

【解析】

解：点是“和谐点”，
，解得，
当时，，
，，
，
．
当时，，
，，
，
．
故答案为：或．
先根据“和谐点”的定义求出的值，进而可求出点的坐标，根据三角形的面积可求出的面积．
本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，读懂题意，明确和谐点的定义是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】

解：如图，延长交的延长于，过点作，交的延长线于，

点是的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：，．
由“”可证≌，可得，，可求，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
 

17.【答案】

解：原式

；
，
解得，
解得．
不等式组的解集为．
 

【解析】

先用平方差公式、完全平方公式，再合并同类项；
先解不等式组中的各不等式，再确定不等式组的解集．
本题主要考查了整式的混合运算、一元一次不等式组，掌握整式的乘法公式、一元一次不等式组的解法是解决本题的关键．
 

18.【答案】

解：如图，点，，即为所求．
如图，扇形即为所求．

 

【解析】

利用平行四边形的判定作出点即可，注意满足条件的点有个．
利用格点特征作出的中点，故过作射线即可．
本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】

解：如图，作于，

在中，，，，
，，
，．
，，
，
．
答：连接杆的长度为；
如图，作的延长线于点，

，
，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
点滑动的距离为：．
答：这个过程中点滑动的距离为．
 

【解析】

作于，在中用三角函数算出和，再求出，在三角形中用勾股定理即可求得；
作的延长线于点，在和中，用三角函数分别求出，，的长，从而可求得点滑动的距离．
本题考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

20.【答案】

解：抛物线经过，，三点，而、两点的纵坐标相同，
抛物线的对称轴为直线，
，即，
把的坐标代入得，
解得，
抛物线的表达式为，
，
顶点为；
抛物线的顶点为，，
把抛物线向左平移一个单位，向上平移个单位平移后抛物线的顶点落在点处，
平移后抛物线的表达式为．
 

【解析】

利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标；
根据顶点坐标和的坐标即可得出把抛物线向左平移一个单位，向上平移个单位平移后抛物线的顶点落在点处，进而得到平移后抛物线的表达式为．
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确记忆二次函数平移规律是解题关键．
 

21.【答案】

解：，，；
“排球”所在的扇形的圆心角为；
全校总人数是名，
则选择参加乒乓球运动的人数是名，
答：全校大约有名学生选择参加乒乓球运动．
 

【解析】

解：抽取的人数是人，
则，
．
故答案是：，，；
见答案。
根据选择乒乓球运动的人数是人，对应的百分比是，即可求得总人数，然后利用百分比的定义求得，用总人数减去其它组的人数求得；
利用乘以对应的百分比即可求得；
求得全校总人数，然后利用总人数乘以对应的百分比求解．
本题考查读扇形统计图获取信息的能力，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数单位，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
 

22.【答案】

【解析】

解：由题意可知，修船共用了：分钟，
修船过程中进水速度为：吨分钟，
修船过程中，排水速度是吨分钟，
修船完工后船不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，
修船完工后，排水速度是，
；
故答案为：；；
设修船完工后与之间的函数关系式为，
由题意，得，
解得，
修船完工后与之间的函数关系式为；
在修船过程中，当船内积水量是船内最高积水量的时，可得，
解得；
修船完工后，当船内积水量是船内最高积水量的时，可得，
解得．
故的值为或．
修船共用了分钟，修船过程中进水速度为：吨分钟，修船过程中，排水速度是吨分钟，；
利用待定系数法求解即可；
分修船过程和修船完工后两种情况解答．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，掌握待定系数法求函数关系式．
 

23.【答案】

证明：，，
，，
，，
；

解：在的条件下，有，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
．
即的长为；
解：过点作于点，如图：

，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，，
，
，
，，
在中，
，，
，．
在中，由勾股定理，得
，
即的长为．
 

【解析】

等边对等角得，，根据三角形外角的性质得，由，等量代换即可得出结论；
由，可得，，证明≌，根据全等三角形的性质即可求得；
证明∽，根据相似三角形的性质以及，可得，则，求出，在中，可得，，则，在中，由勾股定理即可得的长．
本题是一道四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，解直角三角形等．熟练掌握了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】

证明：四边形是的内接四边形，
，
是的平分线，
，
，
，
，
；

解：如图，
过点作于，则，
，，
，
在中，，
设，，
根据勾股定理得，，
由知，，
，
在中，，
根据勾股定理得，，
，
或舍，
；

解：如图，
过点作于，则，
，
，
，，
≌，
，
，，，
≌，
，
的周长为，
在中，，，
，
，
的周长为；

如图，
过点作于，
，
必过圆心，，，
在中，，
连接，在中，设，则，
，
根据勾股定理得，，
，即，
过点作于，
由知，，
在中，，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
在的延长线上取点，使，
，
，要最大，则最大，
，，
，
，
，，
≌，
，即的最大值其实就是的最大值，
为的弦，
最大为，
即的最大值为．
 

【解析】

先判断出，再判断出，进而判断出，即可得出结论；
过点作于，设，，得出，进而得出，最后用勾股定理求出，即可求出答案；
过点作于，判断出≌，得出，再判断出≌，得出，进而得出的周长为，最后用勾股定理求出，即可求出案案；
过点作于，得出，进而求出，连接，进而求出，
过点作于，再判断出∽，得出，，，，在的延长线上取点，使，进而得出要最大，则最大，最后判断出≌，得出，即可求出答案．
此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，角平分线定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．