安徽省卓越县中联盟2020-2021学年高二上学期期中联考数学（理）试卷 PDF版含答案

安徽省卓越县中联盟2020-2021学年第一学期高二期中联考

数学（理）答案

一、选择题

12.【详解】

对于①，∵，分别为菱形的边，的中点，∴，又平面，平面，∴平面，①正确；

对于②，取中点，连接，如图，则，，∴平面，而平面，∴，∴，即异面直线与所成的角为90°，②正确；

对于③，借助极限状态，当平面与平面重合时，三棱锥外接球即是以外接圆圆心为球心，外接圆半径为球半径，当二面角逐渐变大时，球心离开平面，但球心在平面内射影仍然是外接圆圆心，故二面角逐渐变小的过程中，三棱锥外接球的半径不可能先变小后变大，③错误；

对于④，过作于，若为锐角，则在线段上，若为直角，则与重合，若为钝角，则在线段的延长线上，

若存在某个位置，使得直线与垂直，∵，∴平面，由线面垂直的性质得，

若为直角，则与重合，则，而已知，∴不可能成立，即不可能为直角，

若为钝角，则在线段的延长线上，则在原平面菱形中，为锐角，由于立体图形中，因此立体图形中比原平面图形更小，∴立体图形中为锐角，而，∴空间图形中是锐角三角形，由知在线段上，与在线段的延长线上矛盾，因此不可能为钝角，

综上可知，只能为锐角，即④正确．

故选：B．

二、填空题

13．

14.

15.22

16．3

【详解】

由得

所以由得

又为线段上的点，且,

所以 ，

当且仅当时，等号成立

即的最大值为3.

三、解答题

17．解：（Ⅰ）因为，所以，

所以，所以．

因为，所以，所以．

因为，所以，所以，

所以，则．...............................................5 分

（Ⅱ）由余弦定理可得，

因为，所以，

即，解得或（舍去）．

故的面积为．....................10 分

18．

解：（Ⅰ）证明：面，

面，则，

四边形为菱形，则，

又，面，则面……………….……6分

（Ⅱ）设与交于点，平面，平面平面，

∴.

又因为为中点，得为中点，三棱锥的高，

故.…………………..…12分

19．

解:（Ⅰ），…………2分

令，则，      ………………………………3分

所以，函数图象的对称中心为；…………………4分

（Ⅱ），…………………………………………………………………7分

因为，所以，则，….…10分

所以，即线段的长度的取值范围为…12分

20．

解:（Ⅰ）∵，∴，

两式相减，得，∴，…………………2分

又，∴为等比数列，公比为，

∴……………………………………………………4分

（Ⅱ）证明：，………………………5分

∴……………………………………6分

，两式相减，得………………7分

，

所以.

∵，∴，………………………………………………………10分

∵，∴，

∴关于n单调递增，∴，

∴……………………………………………………………….12分

21．

解:（Ⅰ）因为是定义域为的奇函数，所以，         

所以，所以，                    …………………2分                    

所以，

因为，所以，又且，所以，

所以是上的单调递增，        ………………………4分                       

又是定义域为的奇函数，

所以

即在上恒成立，                                    

所以，即，

所以实数的取值范围为.                ………………………6分                       

（Ⅱ）因为，所以，解得或（舍去），…8分

所以，

令，则，

因为在上为增函数，且，所以，

因为在上的最小值为，……………10分

所以在上的最小值为，

因为的对称轴为

所以当时， ，解得或（舍去），

当时， ，解得，

综上可知：……………………………………………………………12分

22．

解:（Ⅰ）由于圆与线段相切，所以半径.

即圆的方程为……………………………………………..……..1分

又由题与线段相切，

所以线段方程为.即     .…………………………..……..2分

故直线的方程为.

由直线和圆相切可得：，

解得或.由于为不同的点，所以. ……………….……..3分

（Ⅱ）设，，则.

由可得，

，解得.所以.……5分

故.

所以.所以.

故. ……………………………………………………………….………….7分

（Ⅲ）设.

则，.

若在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，

都有为常数,

等价于对圆上任意点恒成立.

即

整理得…..…..9分

因为点在直线上，所以.

由于在圆上，所以.

故对任意恒成立.

所以显然，所以.

故，

因为，解得或…………………………………………………11分

当时，，此时重合，舍去.

当时，，

综上，存在满足条件的定点，此时……………….……..12分