山东省德州地区十校2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题 Word版含答案

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三、填空 13、 14、 15 16、
四解答题的答案
17、解 (1)取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F＝2FC1，连接EF，

则eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(EA1,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(→))＋eq \(D1F,\s\up6(→))＝eq \(EF,\s\up6(→)).（与相等的向量都对）…………(5分)
(2)eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(BC1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＋eq \f(3,4)(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AA1,\s\up6(→))，
所以α＝eq \f(1,2)，β＝eq \f(1,4)，γ＝eq \f(3,4). ……………………………………………………(10分)
18、解 (1)设BC边上的高所在直线为l，由题意知kBC＝eq \f(3－(－1),2－(－2))＝1，则kl＝eq \f(－1,kBC)＝－1.
又点A(－1,4)在直线l上，所以直线l的方程为y－4＝－(x＋1)，
即x＋y－3＝0，即BC边上的高所在直线的方程为x＋y－3＝0…………………………(4分)
(2)BC边所在直线的方程为y＋1＝x＋2，
即x－y＋1＝0.点A(－1,4)到直线BC的距离d＝eq \f(|－1－4＋1|,\r(12＋(－1)2))＝2eq \r(2).
又|BC|＝eq \r((－2－2)2＋(－1－3)2)＝4eq \r(2)，所以S△ABC＝eq \f(1,2)·|BC|·d＝eq \f(1,2)×4eq \r(2)×2eq \r(2)＝8……………………(8分)
(3)当直线过原点时，设直线方程为y=kx,代入A点得k=-4,直线方程4x+y=0
当直线在坐标轴上的截距都不为0时，设直线方程为代入A点得b=所以直线方程为
x+2y-7=0…………………………(12分)
19（1）如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且，知是等边三角形.
∵ E是CD的中点 ∴ 又∥ ∴
…………………………(4分)
(2)在平面ABCD内，过点A作A的垂线，如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系.
易知，…………………………(5分)
设是平面PBE的一个法向量，则由得令得.…………………………(6分)
设是平面PAD的一个法向量，则由得
所以，故可取.…………………………(7分)
于是…………………………(9分)
设所成锐二面角为，所以=…………………………(11分)
所以平面PAD和平面PBE所成锐二面角的正弦值为 …………………………(12分)
，+ = 2 \* GB3 ②
由 = 2 \* GB3 ②及得又由知，故b=3,
由 = 2 \* GB3 ②得，所以，从而=18故a3,所以b=3, a3
时存在满足条件得点P， 所以b=3,a得取值范围为[3)
21、（1）∵ ∴即为直线AS与平面ABCD所成的角∴在中，
所以直线AS与平面ABCD所成角的正弦值………………(3分)(也可以用向量法)
如图所示，以B为坐标原点，以BC，BA，BS的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建 立空间直角坐标系.
则各点坐标分别为.………………(4分)
设所以
∵
∴在所给的数据中，可以取①②③. ………………(7分)
由（2）知此时，，即满足条件的点E有两个.
根据题意得，其坐标为，
∵∴
∴是二面角的平面角. ………………(9分)
由………………(11分)
由题意得，二面角为锐角，所以二面角的大小为30………………(12分)
22、(1)设圆心坐标为M(m,0)(m∈Z)，由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且圆的半径为5，所以
eq \f(|4m－29|,5)＝5，即|4m－29|＝25，即4m－29＝25或4m－29＝－25，
解得m＝eq \f(27,2)或m＝1．因为m为整数，故m＝1，
故所求的圆的方程为(x－1)2＋y2＝25．………………(4分)
(2)设符合条件的实数a存在，
因为a≠0，则直线l的斜率为－eq \f(1,a)，所以直线l的方程为y＝－eq \f(1,a)(x＋2)＋4，
即x＋ay＋2－4a＝0．
由于直线l垂直平分弦AB，故圆心M(1,0)必在直线l上，
所以1＋0＋2－4a＝0，解得a＝eq \f(3,4)．
经检验，当a＝eq \f(3,4)时，直线ax－y＋5＝0与圆有两个交点，
故存在实数a＝eq \f(3,4)，使得过点P(－2,4)的直线l垂直平分弦…………………(8分)
（3）因为圆N过点P（-1，0）所以PN为半径，又动圆N与动圆M内切，所以MN=5-PN即
MN+PN=5,所以点M的轨迹是以M,P为焦点，长轴为5的椭圆，所以2a=5,c=1,所以b=
所以所求轨迹方程是………………(12分)