江苏省扬州中学2021-2022学年高三下学期二模测试数学试题（4月）（含答案）

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1.A 2.D 3. C 4. D 5. B 6. B 7. D 8. C
二、选择题：
9. AC 10. 11. ABC 12. BC
三、填空题：
13. ， 14. 15. -1；2024 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 解：（1）∵，①
当时，，即
当时，．②
由①－②得，即
∴数列是以2为首项，4为公比的等比数列．
∴
（2）由（1）知
∴，
∴．
18. 解：（1）在中，由正弦定理得
因为，代入得
即． 又，所以．
又，所以．
（2）在中，由余弦定理得
所以，．
在中，由余弦定理得．
在中，由余弦定理得，
所以
19. （1）根据以上数据，的观测值，
有的把握认为市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关．
（2）由题意可得：，
，，1，2，3，
，，，．
可得：随机变量的分布列：
均值．
20. 解：（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则、、、， 从而
∴
即与所成角的余弦值为
（2）点在棱上，且，所以，于是，，又，．
设为平面的法向量，则
，可得，取，则
设直线与平面所成的角为，则

令，则，所以
当，即时，有最小值，此时取得最大值为，即与平面所成的角最大，此时，即的值为．
21. 解（1）由题意知：，
若为的上顶点，则，，即，
原点到的距离，
又离心率，，，，
椭圆的标准方程为：.
(2)由题意知：直线斜率存在；
①当直线斜率为时，，；此时直线，
则，，；
②当直线斜率存在且不为时，，
由得：，
又，，则，；
又直线，
由得：，；
的焦点为，，
又，
，
设，则，，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
即；
综上所述：面积的最小值为.
22. (1)解：因为，所以，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
故令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，故，
所以，即的取值范围是.
(2)解：，
对函数，设上一点为，
过点的切线方程为，
将代入上式得，
所以过的的切线方程为.
所以，要使与有两个交点，则，
此时有两个极值点，且.
，
令，则，所以，
所以，即，所以，
令，令，
所以在上递增.
因为，所以在上恒成立.所以在上恒成立.
所以在上递增. ，
所以当时，，
所以的取值范围是.
0
1
2
3