2022年中考数学复习新题速递之圆（含答案）

这是一份2022年中考数学复习新题速递之圆（含答案），共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年中考数学复习新题速递之圆
一、选择题（共10小题）
1．（2022•锦江区校级开学）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，若连接，则的度数是

A． B． C． D．
2．（2021秋•信都区期末）半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线的距离为4，则这个圆可以是

A． B． C． D．
3．（2021秋•濮阳期末）如图，是的直径，线段与的交点是的中点，于点，连接，①；②；③；④是的切线，则上述结论中正确的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021•香洲区模拟）如图，格点、在圆心也在格点上的圆上，则的值为

A． B．1 C．2 D．
5．（2021•沙坪坝区校级三模）如图，是的切线，点为切点，连接并延长交线于点，连接，，若，则的度数等于

A． B． C． D．
6．（2021•黑龙江模拟）中，，点是的外心，点是的内心，连接，，，，则与的差为
A． B． C． D．
7．（2021•巴东县模拟）如图，是直径，弦，垂足为，若，则的长为

A．4 B．8 C． D．
8．（2020•藤县一模）若点是的外心，且，则的度数为
A． B． C．或 D．或
9．（2019•兴宁区校级模拟）如图，扇形的圆心角为，是上一点，则的度数是

A． B． C． D．
10．在同圆中，圆心角，则与的关系是
A． B． C． D．不能确定
二、填空题（共7小题）
11．（2022•瑞安市开学）如图，矩形中，，分别是边，上的两个动点，将沿着直线作轴对称变换，得到△，点恰好在边上，过点，，作，连结．若，时，则 ．

12．（2022•邗江区校级开学）如图，在中，，，点是边上的一个动点，以为直径的圆交于点，若线段长度的最小值是4，则的面积为 ．

13．（2022•海淀区校级开学）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．

有以下结论：
①当，时，可得到形状唯一确定的；
②当，时，可得到形状唯一确定的；
③当，时，可得到形状唯一确定的；
其中所有正确结论的序号是 ．
14．（2022•鼓楼区校级开学）如图，四边形内接于，是延长线上一点，若，则的度数是 ．

15．（2021秋•沂源县期末）到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是 ．
16．（2021秋•定海区期末）一块直角三角板的角的顶点落在圆上，两边分别交圆于、两点，则弧的度数为 ．

17．（2021•盐都区二模）如图，在中，弦过弦的中点，，，则 ．

三、解答题（共8小题）
18．（2022•泗洪县一模）如图，是的直径，点是外一点，切于点，连接，过点作交于点，点是的中点，且，．
（1）与有怎样的位置关系？为什么？
（2）求的长．

19．（2021秋•枣阳市期末）如图，是的直径，点，在上，，交于点．若，求的度数．

20．（2021秋•巨野县期末）如图，的半径为4，是的内接三角形，连接、．若与互补，求弦的长．

21．（2021秋•嘉祥县期末）如图，线段，，点，在以为直径的半圆上，且四边形是平行四边形，过点作于点，求的长．

22．（2021春•延平区校级月考）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，延长、相交于点，，，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线．

23．（2021•武汉模拟）如图，四边形内接于，，，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．

24．（2020•红塔区校级一模）如图，为的直径，点在上，为劣弧的中点，过点作直线于，连接、．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求点到直线的距离．

25．（2020•安庆二模）如图，在中，，，以为直径作，连接，过点作交于点，连接交于点．
（1）求证：；
（2）若的半径为4，求的长．


2022年中考数学复习新题速递之圆（2022年3月）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．（2022•锦江区校级开学）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，若连接，则的度数是

A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【专题】推理能力；圆的有关概念及性质
【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，，
是的直径，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
2．（2021秋•信都区期末）半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线的距离为4，则这个圆可以是

A． B． C． D．
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】与圆有关的位置关系；几何直观
【分析】根据直线与圆的位置关系解答即可．
【解答】解：、、、是四个半径为5的等圆，
圆心到直线的距离为4是，
故选：．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，解此题的关键是找出这个圆．
3．（2021秋•濮阳期末）如图，是的直径，线段与的交点是的中点，于点，连接，①；②；③；④是的切线，则上述结论中正确的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【考点】全等三角形的判定与性质；切线的判定
【专题】推理能力；与圆有关的位置关系
【分析】根据圆周角定理和切线的判定，采用排除法，逐条分析判断．
【解答】解：是直径，
，
，故①正确；
连接，

点是的中点，
，
又，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
是圆的切线，故④正确；
为圆的直径，
，
，，
，
，
，选项②正确；
由为中点，且，
垂直平分，
，又，
，选项③正确；
故选：．
【点评】此题考查了切线的判定，证明切线时连接是解这类题经常连接的辅助线．
4．（2021•香洲区模拟）如图，格点、在圆心也在格点上的圆上，则的值为

A． B．1 C．2 D．
【答案】
【考点】点与圆的位置关系；解直角三角形
【专题】推理能力；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系
【分析】如图所示，为圆的直径，连接、，根据圆周角定理知，再由勾股定理知，继而得，即可得出答案．
【解答】解：如图所示，为圆的直径，连接、，

则，，
，
，
的值为1，
故选：．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系及圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定．
5．（2021•沙坪坝区校级三模）如图，是的切线，点为切点，连接并延长交线于点，连接，，若，则的度数等于

A． B． C． D．
【答案】
【考点】切线的性质；圆周角定理
【专题】推理能力；与圆有关的位置关系
【分析】根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，再根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
【解答】解：由圆周角定理得：，
是的切线，
，
，
故选：．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
6．（2021•黑龙江模拟）中，，点是的外心，点是的内心，连接，，，，则与的差为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；圆周角定理
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力
【分析】根据点是的外心，可得，根据点是的内心，可得，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，

点是的外心，
，
点是的内心，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，三角形外接圆与外心，圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．
7．（2021•巴东县模拟）如图，是直径，弦，垂足为，若，则的长为

A．4 B．8 C． D．
【答案】
【考点】勾股定理；垂径定理
【专题】推理能力；与圆有关的计算
【分析】连接，根据已知条件可计算出的长，即可得出的直径，在在中，根据勾股定理可得，代入计算即可得出的长，再根据垂径定理即可得出答案．
【解答】解：连接，如图，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
解得：，
．
故选：．

【点评】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理进行求解是 解决本题的关键．
8．（2020•藤县一模）若点是的外心，且，则的度数为
A． B． C．或 D．或
【答案】
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力
【分析】先画出几何图形，分为锐角三角形和钝角三角形进行讨论，先利用圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质得到．
【解答】解：如图，，
，
，
，
的度数为或．
故选：．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．也考查了圆周角定理．
9．（2019•兴宁区校级模拟）如图，扇形的圆心角为，是上一点，则的度数是

A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆周角定理
【专题】推理能力；圆的有关概念及性质
【分析】作所对的圆周角，如图，先根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质计算的度数．
【解答】解：作所对的圆周角，如图，
和都对，
，
，
．
故选：．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．
10．在同圆中，圆心角，则与的关系是
A． B． C． D．不能确定
【答案】
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力
【分析】根据角平分线的性质得出，进而利用圆心角与弧的关系可直接求解．
【解答】解：作的角平分线，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
二、填空题（共7小题）
11．（2022•瑞安市开学）如图，矩形中，，分别是边，上的两个动点，将沿着直线作轴对称变换，得到△，点恰好在边上，过点，，作，连结．若，时，则 ．

【答案】．
【考点】垂径定理；勾股定理；轴对称的性质；矩形的性质
【专题】与圆有关的计算；推理能力
【分析】延长交于点，设．利用垂径定理证明，推出，利用勾股定理求出，再在中，利用勾股定理求出即可．
【解答】解：延长交于点，设．

四边形是矩形，
，，，
，
，
，
四边形是矩形，四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
由翻折的性质可知，，
，
，
在中，则有，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查垂径定理，矩形的性质，勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
12．（2022•邗江区校级开学）如图，在中，，，点是边上的一个动点，以为直径的圆交于点，若线段长度的最小值是4，则的面积为 48 ．

【答案】48．
【考点】三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线；圆周角定理；点与圆的位置关系
【专题】几何直观；与圆有关的位置关系
【分析】如图，取的中点，连接，．首先证明，，共线时，的面积最大，设，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，取的中点，连接，，．

是的直径，
，
定值，是定值，
，
当，，共线时，的值最小，设，
在中，则有，
解得，
，
，
故答案为：48．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，是中考选择题中的压轴题．
13．（2022•海淀区校级开学）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．

有以下结论：
①当，时，可得到形状唯一确定的；
②当，时，可得到形状唯一确定的；
③当，时，可得到形状唯一确定的；
其中所有正确结论的序号是 ②③ ．
【答案】②③．
【考点】圆周角定理；全等三角形的判定
【专题】与圆有关的计算；应用意识；推理能力
【分析】以为圆心，长为半径画弧，与射线有1个交点，则可得到形状唯一确定的，否则不能得到形状唯一确定的．根据此观点进行解答便可．
【解答】解：①当，时，以为圆心，6为半径画弧，与射线有两个交点，则的形状不能唯一确定，故①错误；
②当，时，以为圆心，10为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故②正确；
③当，时，以为圆心，12为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故③正确；
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查圆的基本性质，关键是确定以为圆心，长为半径画弧，与射线的交点个数．
14．（2022•鼓楼区校级开学）如图，四边形内接于，是延长线上一点，若，则的度数是 105 ．

【答案】105．
【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【专题】推理能力；圆的有关概念及性质
【分析】由圆的内接四边形的性质，可得，又由邻补角的定义可得：，可得．
【解答】解：，
，
．
故答案为：105．
【点评】此题考查了圆的内接四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
15．（2021秋•沂源县期末）到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是 圆 ．
【答案】圆．
【考点】圆的认识
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力
【分析】根据圆的定义作答．
【解答】解：圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．
故答案是：圆．
【点评】本题主要考查了圆的认识，圆可以看作是所有到定点的距离等于定长的点的集合．
16．（2021秋•定海区期末）一块直角三角板的角的顶点落在圆上，两边分别交圆于、两点，则弧的度数为 ．

【答案】．
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力
【分析】利用圆周角定理，圆心角、弧、弦的知识解决问题即可．
【解答】解：连接、，
，
又，
，
弧的度数为，
故答案为：．

【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是求得圆心角的度数．
17．（2021•盐都区二模）如图，在中，弦过弦的中点，，，则 ．

【答案】．
【考点】相交弦定理
【专题】推理能力；圆的有关概念及性质
【分析】直接利用相交弦定理得出，求出即可．
【解答】解：弦过弦的中点，，，
，
，
解得：，
弦的长为：，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了相交弦定理，正确记忆相交弦定理是解题关键．
三、解答题（共8小题）
18．（2022•泗洪县一模）如图，是的直径，点是外一点，切于点，连接，过点作交于点，点是的中点，且，．
（1）与有怎样的位置关系？为什么？
（2）求的长．

【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【考点】垂径定理；圆周角定理；直线与圆的位置关系；切线的性质
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力
【分析】（1）连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据切线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
（2）连接、、，过点作于，根据圆周角定理得到，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：（1）为的切线，
理由如下：连接，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
切于点，
，
，
是的半径，
为的切线；
（2）连接、、，过点作于，
，
是的直径，
，
点是的中点，
，，
，
由勾股定理得：，
．

【点评】本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
19．（2021秋•枣阳市期末）如图，是的直径，点，在上，，交于点．若，求的度数．

【答案】．
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【专题】与圆有关的计算；几何直观
【分析】根据圆周角定理得到，，再由得到，然后根据三角形外角性质计算的度数．
【解答】解：是的直径，
，
，
，
，
．
所以的度数为．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
20．（2021秋•巨野县期末）如图，的半径为4，是的内接三角形，连接、．若与互补，求弦的长．

【答案】
【考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【专题】正多边形与圆；推理能力
【分析】首先过点作于，由垂径定理可得，又由圆周角定理，可求得的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得的度数，利用余弦函数，即可求得答案．
【解答】解：如图，过点作于，
则，
内接于，与互补，
，，
，
，
，
的半径为4，
，
．

【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法．
21．（2021秋•嘉祥县期末）如图，线段，，点，在以为直径的半圆上，且四边形是平行四边形，过点作于点，求的长．

【答案】
【考点】平行四边形的性质；垂径定理
【专题】几何综合题；推理能力
【分析】首先分析题干：根据平行四边形可得出，再根据垂径定理可得的长；再过点作、连接，从而得矩形，根据勾股定理进一步得、的长．
【解答】解：过点作于点，连接，则，，

四边形是平行四边形，
，，
，即，
，，
四边形是矩形，
，
，
在中，，
在中，．
【点评】本题考查垂径定理，其中作垂直构造出矩形的辅助线是解题关键．
22．（2021春•延平区校级月考）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，延长、相交于点，，，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线．

【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【考点】圆内接四边形的性质；全等三角形的判定与性质；切线的判定
【专题】推理能力；与圆有关的位置关系
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）连接，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）四边形是的内接四边形，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：连接，
是的直径，
，
，
由（1），得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
又是的半径，
是的切线．

【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
23．（2021•武汉模拟）如图，四边形内接于，，，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．

【答案】（1）见解析；
（2）．
【考点】勾股定理；圆内接四边形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；
（2）过作于，根据等腰三角形的性质得到，，过作交的延长线于，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，设，，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过作于，
，
，，
，
，
过作交的延长线于，
，
，
，
，，
，
，
，
，
设，，
，
，
．

【点评】本题考查了圆内接四边形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．（2020•红塔区校级一模）如图，为的直径，点在上，为劣弧的中点，过点作直线于，连接、．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求点到直线的距离．

【答案】（1）相切，理由见解析；
（2）．
【考点】垂径定理；直线与圆的位置关系；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；勾股定理
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力；等腰三角形与直角三角形
【分析】（1）连接，由为的中点，得到，等量代换得到，根据平行线的性质得到，即可得到结论；
（2）过作于，由勾股定理得到，根据角平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）相切，
理由如下：连接，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线与相切；
（2）过作于，
在中，，，
，
由（1）知，，
，，
，
点到直线的距离为．

【点评】本题主要考查了切线的判定和，圆周角和弧的关系，平行线的性质，勾股定理，角平分线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．
25．（2020•安庆二模）如图，在中，，，以为直径作，连接，过点作交于点，连接交于点．
（1）求证：；
（2）若的半径为4，求的长．

【答案】（1）证明见解答过程；（2）．
【考点】全等三角形的判定与性质；圆周角定理；等腰直角三角形
【专题】推理能力；圆的有关概念及性质
【分析】（1）先利用圆周角定理得到，再根据平行线的性质得，根据等角的余角相等得到，于是可判断，从而得到；
（2）由于，根据垂径定理得到，则，然后在中利用勾股定理可求出的长．
【解答】（1）证明：为直径，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，
，
，
为的中位线，
，
由（1）知，，
，
在中，，，
，
．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．

考点卡片
1．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
2．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
3．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
4．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
5．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
6．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
7．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
8．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
9．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
10．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
11．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
12．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
13．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
14．相交弦定理
（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．
几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理） （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项． 几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）．
15．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
16．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
17．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
18．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
19．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
20．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
21．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
22．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）