二次函数与角

二次函数与角（教研）

题型一：等角问题

1.（2021•随州）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，﹣4）．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图1，若点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标；

（3）如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标．

2.（2021•岳阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图2，直线l：y＝kx+3经过点A，点P为直线l上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一个动点，当PQ∥y轴时，作QM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，QM为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；

（3）如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F，使得∠CBF＝∠DQM？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

3.（2021•成都）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，顶点的坐标为．点为抛物线上一动点，连接，，过点的直线与抛物线交于另一点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点的横坐标与纵坐标相等，，且点位于轴上方，求点的坐标；

（3）若点的横坐标为，，请用含的代数式表示点的横坐标，并求出当时，点的横坐标的取值范围．

题型二：半角或倍角

二倍角的构造方法

如图，已知∠a,我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造2a,在BC边上找一点D,使得 BD=AD,则

∠ADC = 2a.这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数(一般用正切)计算就可以了。

半角的构造方法

如图，已知∠a,构造半角可以用下面两种方法：

方法一：和二倍角的构造相对应，利用外角定理，如图，延长CB至D,使得BD=BA,则∠D =a,若AC、BC的长度已知，则容易求出tan∠D的值，从而进行相关计算。

方法二：如图，直接做∠a的角平分线BE,若AC、BC的长度已知，则容易求出tan∠EBC 的值。

1.（2021•绥化）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B（1，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y经过点A，且与y轴交于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；

（3）点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H（点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．

2.（2021•泰安）二次函数的图象经过点，，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上一点，连接、，交于点，过点作轴于点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接，当时，求直线的表达式；

（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点的坐标，如没有请说明理由．

3.（2021•南充）如图，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，对称轴为直线．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由；

（3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = a(x + 5)(x-3)与x轴交与A、B两点(点A在点B 的左侧)，且过点(-2, 4).

(1)直接写出a的值和点B的坐标：

(2)将抛物线向右平移2个单位长度，所得的新抛物线与x轴交于M, N两点，两抛物线交于点 P.求点M到直线PB的距离；

(3)在(2)的条件下，若点D为直线BP上的一动点，是否存在点D,使得∠DAB =∠PBA ?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说 明理由.

5.如图,已知二次函数 y = ax²-2ax+c(a<0)的图像交x轴于A、B两点，交y轴于点C.过点A的直线y = kx + 2k(k≠0)与这个二次函数的图像的另一个交点为F，与该图像的对称轴交于点E，与y轴交于点D,且DE=EF.

(1)    求点A的坐标；

(2)    若△BDF的面积为12，求这个二次函数的关系式；

(3)    设二次函数的顶点为P，连接PF，PC，若∠CPF=2∠DAB，求此时二次函数表达式。

6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x-2  的图像分别交x、y轴于点A、B，抛物线y=x²+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点.

(1)  求此抛物线对应的函数表达式；

(2)  如图1所示，过点P作PM / / y轴，分别交直线AB、x轴于点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；

(3)  如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的读数等于∠OAB度数的2倍时，直接写出点P的横坐标。

题型三：两角的和与差

1.（2021•株州）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．

（1）若a，b＝c＝﹣2，求方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；

（2）如图所示，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，与y轴的负半轴交于点C，点D在线段OC上，连接AC、BD，满足∠ACO＝∠ABD，c＝x1．

①求证：△AOC≌△DOB；

②连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，点F（0，x1﹣x2）在y轴的负半轴上，连接AF，且∠ACO＝∠CAF+∠CBD，求的值．

2.（2021•宿迁）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；

（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．

3.（2021•眉山）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）点为该抛物线上一点（不与点重合），直线将的面积分成两部分，求点的坐标；

（3）点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴移动，运动时间为秒，当时，求的值．

4.如图，在平面直角坐标系中，直线yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．

（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；

（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标；

（3）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°．

5.如图，二次函数y=-x2+bx+c的图像分别交坐标轴于点A(1,0)、B（-3,0），顶点为C．
（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；
（2）如图（1），连接AC，点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+CDO）=4时，求点D的坐标．

（3）如图（2）抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线第二象限的部分上的点，PA交BE于点M，交轴于点N，连接PB，△BMP与△EMN的面积分别为m，n，求m-n的最大值。

6.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-0.25x²+bx+c与直线y=0.5x-3分别交x轴、y轴上的B、C两点，设该抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为点D，连接CD交x轴于点E.

(1)    求该抛物线的表达式及点D的坐标；

(2)    求∠DCB的正切值；

(3)    如果点F在y轴上，且∠FBC=∠DBA+∠DCB，求点F的坐标。

题型四：特殊角

1.（2021•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．

（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；

（2）已知点P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上．

①求抛物线的解析式；

②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，且∠MAN＝90°，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等．

2.（2021•连云港）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，已知．

（1）求的值和直线对应的函数表达式；

（2）为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；

（3）为抛物线上一点，若，求点的坐标．

3.如图，抛物线y=x2-x-3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，﹣3）．

（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；

（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；

（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．

4.已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．

（1）求二次函数的解析式．

（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ，求点K的坐标．

5.如图，二次函数y1＝a（x﹣m）2+n，y2＝6ax2+n（a＜0，m＞0，n＞0）的图象分别为C1、C2，C1交y轴于点P，点A在C1上，且位于y轴右侧，直线PA与C2在y轴左侧的交点为B．

（1）若P点的坐标为（0，2），C1的顶点坐标为（2，4），求a的值；

（2）设直线PA与y轴所夹的角为α．

①当α＝45°，且A为C1的顶点时，求am的值；

②若α＝90°，试说明：当a、m、n各自取不同的值时，的值不变；

6.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；

（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．