专题02：解一元二次方程-2021-2022学年九年级数学上册期中考试好题汇编（人教版）（解析版）

专题02：解一元二次方程-2021-2022学年九年级数学上册期中考试好题汇编（人教版）

一、单选题

1．（2020·咸阳百灵学校九年级期中）一元二次方程化为的形式，正确的是（    ）

A． B． C． D．以上都不对

【答案】A

【分析】先把常数项1移到等号的右边，再把二次项系数化为1，最后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后配方即可．

【详解】解：∵2x2-3x+1=0，

∴2x2-3x=-1，

，

，

，

∴一元二次方程2x2-3x+1=0化为（x+a）2=b的形式是：，

故选：A．

【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

2．（2020·福建厦门双十中学九年级期中）若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据判别式的意义得到△=（-2）2-4m＜0，然后解关于m的不等式即可．

【详解】解：根据题意得△=（-2）2-4m＜0，
解得m＞1．
故选：C．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

3．（2019·福建九年级期中）方程的解是（     ）．

A．x1=x2=0 B．x1=x2=1 C．x1=0, x2=1 D．x1=0, x2=-1

【答案】D

【分析】利用提公因式法解方程，即可得到答案.

【详解】解：∵，

∴，

∴或；

故选择：D.

【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握提公因式法解方程是解题的关键.

4．（2019·山东九年级期中）若关于的一元二次方程的两根分别为，，则，的值分别是（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】A

【分析】利用韦达定理即可求出p和q．

【详解】根据韦达定理：x1＋x2＝−p，x1x2＝q，

∴p＝−（x1＋x2）＝−3，q＝2．

故选：A．

【点评】本题考查了二次方程根与系数的关系，考查了韦达定理的运用，属于基础题．

二、填空题

5．（2020·江西象湖实验学校九年级期中）已知、是方程的两个实数根，则__．

【答案】-1

【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2、x1x2的值，代入并利用完全平方公式变形计算即可得出结论．

【详解】解：∵方程的两个实数根为x1、x2，

∴x1+x2=2，x12+x1=-5，

∴===-1，

故答案为：-1．

【点评】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，根据根与系数的关系得到x1+x2，x1x2是解题的关键．

6．（2020·福建省福州第一中学九年级期中）若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为_________．

【答案】-2

【分析】由题目已知x=1是方程的根，代入方程后求出k的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答题．

【详解】解：将x=1代入一元二次方程有：，k=-1，

方程

即方程的另一个根为x=-2

故本题的答案为-2．

【点评】本题主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系数以及利用因式分解法解一元二次方程，其中利用已知根代入方程求出未知系数是解题的关键．

7．（2017·河北保定市·保定十三中九年级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是_____．

【答案】m≤3且m≠2

【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac的意义得到m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，

∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，解得m≤3，

∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．

故答案为 m≤3且m≠2．

【点评】此题主要考查根的判别式，解题的关键是熟知一元二次方程有实数根可得△≥0．

8．（2019·江苏九年级期中）用配方法解方程时，方程的两边同时加上________，使得方程左边配成一个完全平方式．

【答案】

【分析】利用方程两边同时加上一次项系数一半的平方求解．

【详解】x2﹣6x+32=2+32，（x﹣3）2=11．

故答案为9．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．解决本题的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方．

三、解答题

9．（2019·山东九年级期中）解方程：（配方法）

【答案】

【分析】利用配方法解方程即可.

【详解】方程变形得：

配方得：，即

开方得：

解得：，

【点评】此题考查了接一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键。

10．（2018·辽宁大连市·九年级期中）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．

（1）求m的值；

（2）解原方程．

【答案】（1）2；（2）．

【详解】试题分析：（1）根据题意有△=0，由此列出关于m的方程并解答；

（2）利用直接开平方法解方程．

试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，

∴△=，且m≠0，解得m=2；

（2）由（1）知，m=2，则该方程为：，即，解得．

考点：根的判别式．

11．（2018·江苏九年级期中）当x为何值时,代数式x2-13x+12的值与代数式-4x2+18的值相等?

【答案】x的值为-0.4或3时，代数式x2-13x+12的值与代数式-4x2+18的值相等．

【解析】

试题分析：通过题目中的等量关系列方程x2-13x+12=-4x2+18，解方程即可．

试题解析：由题,x2-13x+12=-4x2+18,

整理得5x2-13x-6=0,

解得：x1=-0.4,x2=3,

∴x的值为-0.4或3时，代数式x2-13x+12的值与代数式-4x2+18的值相等．

考点：解一元二次方程.

12．（2019·甘肃定西市·九年级期中）已知关于x的方程2x2+kx-1=0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根．

(2)若方程的一个根是-1，求方程的另一个根．

【答案】(1)证明见解析；(2).

【分析】（1）计算得到根的判别式大于0，即可证明方程有两个不相等的实数根；

（2）利用根与系数的关系可直接求出方程的另一个根.

【详解】解：(1)∵△=k2+8＞0，

∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根；

(2)设方程的另一个根为x1，

则，

解得：，

∴方程的另一个根为.

【点评】本题是对根的判别式和根与系数关系的综合考查，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

一、单选题

1．（2020·三江侗族自治县基础教育教学研究中心九年级期中）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（　）．

A．x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B．x2+8x+9=0化为(x+4)2=25

C．2t2-7t-4=0化为 D．3y2-4y-2=0化为

【答案】B

【分析】根据配方法，对各个选项分别计算，即可得到答案．

【详解】

即

∴选项A正确；

即

∴选项B不正确；

即

∴选项C正确；

即

∴选项D正确；

故选：B．

【点评】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程配方法的性质，从而完成求解．

2．（2019·甘肃夏河县·九年级期中）已知分别是的边长，则一元二次方程的根的情况是（    ）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根 D．无法判断

【答案】A

【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2，根据三角形的三边关系即可判断．

【详解】解：△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2=4（c+a+b）（c-a-b）．

∵a，b，c分别是三角形的三边，

∴a+b＞c．

∴c+a+b＞0，c-a-b＜0，

∴△＜0，

∴方程没有实数根．

故选：A．

【点评】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2-4（a+b）（a+b）进行因式分解．

3．（2018·山东九年级期中）方程3x（x﹣1）＝4（x﹣1）的根是（　　）

A． B．1 C．和1 D．和﹣1

【答案】C

【分析】先将原方程变形整理，得到（x-1）（3x-4）=0，然后解两个一元一次方程即可．

【详解】原方程变形整理后得：（x﹣1）（3x﹣4）＝0，

x﹣1＝0或3x﹣4＝0，

解得：x1＝1，x2＝，

故选C．

【点评】本题考查解一元二次方程-因式分解法，正确掌握因式分解法将一元二次方程转化为解一元一次方程是解题的关键．

4．（2019·四川九年级期中）已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则＝（　　）

A．﹣6 B．2 C．16 D．16或2

【答案】D

【分析】当a=b时，可得出=2；当a≠b时，a、b为一元二次方程x2-6x+2=0的两根，利用根与系数的关系可得出a+b=6，ab=2，再将其代入=中即可求出结论．

【详解】当a=b时，=1+1=2；
当a≠b时，∵a、b满足a2-6a+2=0，b2-6b+2=0，
∴a、b为一元二次方程x2-6x+2=0的两根，
∴a+b=6，ab=2，
∴= =16．
故选D．

【点评】此题考查根与系数的关系，分a=b及a≠b两种情况，求出的值是解题的关键．

二、填空题

5．（2018·云南九年级期中）通过配方，把方程2x2-4x-4=0转化成(x+m)2=a形式为_____________.

【答案】（x-1）2=3

【解析】试题解析：：∵2x2-4x-4=0，

∴2x2-4x=4，

∴x2-2x=2，

∴x2-2x+1=2+1，

∴（x-1）2=3，

故答案为（x-1）2=3．

点睛：配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

6．（2019·山东菏泽市·九年级期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．

【答案】且

【分析】根据题意，结合一元二次方程的定义和根的判别式可得关于k的不等式，然后解不等式即可求解．

【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴，，

∴的取值范围是且，

故答案为：且．

【点评】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式、解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是解答的关键．

7．（2020·江苏省南菁高级中学实验学校九年级期中）一元二次方程x2+mx+2m=0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2=1，则x1x2=______.

【答案】-2．

【详解】试题分析：根据根与系数的关系得到x1+x2=-m=1，x1x2=2m，先求出m的值，然后计算x1x2的值．

试题解析：根据题意得x1+x2=-m=1，x1x2=2m，

所以m=-1，

所以x1x2=-2．

考点：根与系数的关系．

8．（2020·江苏泰州·泰兴市西城初级中学）设、是方程的两个实数根，则的值为_____．

【答案】-2017

【分析】根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可得出结论．

【详解】∵、是方程的两个实数根，

∴，，

∴．

故答案为-2017．

【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．

三、解答题

9．（2020·山西九年级期中）阅读下列材料，完成相应任务：

我们已经学习过利用“配方法、公式法、因式分解法”解一元二次方程，对于关于的一元二次方程，还可以利用下面的方法求解．

将方程整理，得.        ……………………第1步

变形得.    ……………………第2步

得.                ……………………第3步

于是得，即.……第4步

当时，得.……………………第5步

得，.………………第6步

当时，该方程无实数解. ……………………………第7步

学习任务：

（1）上述材料的第2步到第3步依据的一个数学公式是_______；以第4步到第5步将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是________．

（2）请用材料中提供的方法，解下列方程：

①；                        ②．

【答案】（1）平方差公式[或（a+b）（a-b）=a²-b²）]；转化思想；（2）①x1=-1；x2=-9；②，．

【分析】（1）直接根据平方差公式和转化的数学思想即可解答；

（2）直接根据题意中的求解方法求解即可．

【详解】（1）平方差公式[或（a+b）（a-b）=a²-b²）]；转化思想

（2）①整理，得

变形，得，

得

得

得

得x1=-1 ，x2=-9

②移项，二次项系数化为1，得

整理，得

变形，得

得

得

得

解得，

【点评】此题主要考查阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意中的解题方法．

10．（2020·宜春市宜阳学校九年级期中）已知关于的一元二次方程．

（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即Δ≥0求解即可；

（2）由韦达定理把x1+x2和x1x2分别用含m的式子表达出来，然后根据完全平方公式将变形，即可求解．

【详解】（1）∵方程有实数根，

∴，

∴，

解得：；

（2）∵方程两实数根分别为，，

∴，，

∵，

∴，

，

解得：，，

∵，

∴．

【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记（1）“当△≥0时，方程有实数根”；（2）掌握根与系数的关系即韦达定理，是解题的关键．

11．（2021·广州市第五中学九年级期中）已知关于ｘ的一元二次方程有两个实数根，．

（1）求的取值范围；

（2）若，满足，求的值．

【答案】（1）；（2）的值为或

【分析】（1）直接利用根的判别式计算求解即可；

（2）根据根与系数的关系得出，，分和两种情况计算求解即可．

【详解】解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根，

△，即

解得．

答：的求值范围为．

（2）根据根与系数的关系：

，，

，满足，

①当时，

把代入，得

解得，

，

．

②当时，

解得，，

．

答：的值为或

【点评】本题考查的知识点是一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟记求根公式以及根的判别式是解此题的关键．