专题08：图形的旋转（解析版）-2021-2022学年九年级数学上册期中考试好题汇编（人教版）

这是一份专题08：图形的旋转（解析版）-2021-2022学年九年级数学上册期中考试好题汇编（人教版），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题08：图形的旋转


一、单选题
1．如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（ ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】①设∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起来等于180度，即可证明D、A、E三点共线；
②根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE为等边三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA；
③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，从而得到∠E=∠BAC．
④由旋转可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE为等边三角形，DC=DE=DB+BA．
【详解】解：如图，

①设∠1=x度，则∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，
∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度，
∴D、A、E三点共线；故①正确；
②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠E=60°，
∴∠BDC=∠E=60°，
∴∠CDA=120°-60°=60°，
∴DC平分∠BDA；故②正确；
③∵∠BAC=60°，
∠E=60°，
∴∠E=∠BAC．故③正确；
④由旋转可知AE=BD，
又∵∠DAE=180°，
∴DE=AE+AD．
∵△CDE为等边三角形，
∴DC=DB+DA．故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识，要注意旋转不变性，找到变化过程中的不变量．
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（ ）

A．50° B．70° C．110° D．120°
【答案】D
【分析】根据旋转可得∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，得∠BAA′＝70°，根据∠CAA'＝∠CAB＋∠BAA′，进而可得∠CAA'的度数．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，
∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，
∴∠BAA′＝∠BA′A＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠CAA'＝∠CAB＋∠BAA′＝50°＋70°＝120°．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
3．如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点（2017，2）的是（　）

A．点A B．点C C．点E D．点F
【答案】D
【分析】根据题意，做出旋转后的图，根据对应点，判断出这个正六边形旋转一周是6个单位长度，求出旋转单位长度，结合旋转周期即可求解．
【详解】如下图，当滚动到A’D⊥x轴时，E、F、A的对应点分别是E’、F’、A’，连接A’D，过点F’、E’作F’G⊥A’D，E’H⊥A’D，垂足分别为G、H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A’FG=30°，
∴A’G=A’F’=，同理DH=，
∴A’D=2，
∵D（2，0），
∴A’（2，2），
∵正六边形滚动6个单位长度是正好是一周，即6个单位长度一循环，从点（2，2）到点（2017，2）正好是2015个单位长度，2015÷6=335……5，即滚动335周多5个，
∴会最先会过点（2017 ，2）的是点F．
故选D．

【点评】本题考查了正多边形的旋转问题，找到旋转周期和第一次旋转时对应点的坐标是本题的关键．
4．如图，边长为3的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为（　　）

A．12° B．16° C．20° D．24°
【答案】A
【分析】根据点E旋转的角度和点C旋转的角度相等,所以求出点E旋转的角度即可.
【详解】解: 如图
设圆心为O,连接OA, OB,点E落在圆上的点E'处.
AB=OA=OB,
∠OAB=,同理∠OAE'=,
∠EAB=,
∠EAO=∠EAB-∠OAB=,
∠EAE'=∠OAE'-∠EAO=-=
点E旋转的角度和点C旋转的角度相等,
点C旋转的角度为,
故选A.
【点评】本题主要考查旋转的性质，注意与圆的性质的综合.
5．如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到出，与相交于点，连接，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】由旋转的性质可得AC=A'C，∠ACA'=40°，∠BAC=∠B'A'C=90°，由等腰三角形的性质可得∠AA'C=70°=∠A'AC，即可求解．
【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C
∴AC=A′C,∠ACA′=40∘,∠BAC=∠B′A′C=90°，
∴∠AA′C=70°=∠A′AC
∴∠B′A′A=∠B′A′C−∠AA′C=20°
故选C.
【点评】此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于得出得∠AA'C=70°=∠A'AC.
6．如图，把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连接BF，CE，且BC=2，下面四个结论：①BF=；②∠CBF=45°；③△BEC的面积=△FBC的面积；④△ECD的面积为，其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转的性质得到△BCF为等腰直角三角形，故可判断①②，根据三角形的面积公式即可判断③，根据直线DF垂直平分AB可得EH是△ABC的中位线，各科求出EH的长，再根据三角形的面积公式求出△ECD的面积即可判断④.
【详解】∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，
∴CB=FC，∠BCF=90°，∴△BCF为等腰直角三角形，故∠CBF=45°，②正确；
∵BC=2，∴FC=2，∴BF==，①正确；
过点E作EH⊥BD，
∵△BEC和△FBC的底都为BC，高分别为EH和FC，且EH≠FC，
∴△BEC的面积≠△FBC的面积，③错误；
∵直线DF垂直平分AB，
∴AF=BF=，∴CD=AC=2+
∵直线DF垂直平分AB，
则E为AB中点，又AC⊥BC，EH⊥BC，∴EH是△ABC的中位线，
∴EH=AC=1+，
△ECD的面积为×CD×EH=，故④正确，
故选C.

【点评】此题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟知全等三角形的性质、垂直平分线的性质、三角形中位线的判定与性质.
7．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4，则以下四个结论中： ①△BDE是等边三角形； ②AE∥BC； ③△ADE的周长是9； ④∠ADE=∠BDC．其中正确的序号是（　　）

A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【分析】先由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到BD=BE，∠DBE=60°，则可判断△BDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，所以∠BAE=∠ABC=60°，则根据平行线的判定方法即可得到AE∥BC；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，而∠BDC＞60°，则可判断∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等边三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，则AE=CD，所以△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD．
【详解】解：∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴BD=BE，∠DBE=60°，
∴△BDE是等边三角形，所以①正确；
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，
∴∠BAE=∠ABC，
∴AE∥BC，所以②正确；
∴∠BDE=60°，
∵∠BDC=∠BAC+∠ABD＞60°，
∴∠ADE≠∠BDC，所以④错误；
∵△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=4，
而△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴AE=CD，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9，所以③正确．
故选D．
【点评】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．
8．如图，△ABC中，∠A＝75°，∠B＝50°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转，得到△A’B’ C，点A的对应点A'落在AB边上，则∠BCA'的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理了求出∠ACB的度数，再根据旋转得出AC=A′C，进一步求出∠ACA′，即可得出答案．
【详解】解：∵△ABC中,∠A=75°，∠B=50°，
∴∠BCA=180°−∠A−∠B=55°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转，得到△A’B’C’，点A的对应点A’落在AB边上，
∴AC=A′C，
∴∠CA′A=∠A=75°，
∴∠ACA′=180°−∠A−∠CA′A=30°，
∴∠BCA′=∠BCA−∠ACA′=25°，
故选B.
【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质等知识.利用旋转找出图中的等腰三角形是解题的关键.
9．如图所示，图中所有的小三角形是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心按（　　）

A．顺时针旋转60°所得到的
B．逆时针旋转60°所得到的
C．顺时针旋转120°所得到的
D．逆时针旋转120°所得到的
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质、旋转变换的定义进行判断即可得答案.
【详解】∵△ABD，△AED，△AEG都是等边三角形，
∴∠GAE=∠EAD=∠DAB=60°，
∴菱形ABCD绕点A逆时针旋转120°得到菱形AEFG，
故选D．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、旋转变换等知识，熟练掌握等边三角形的性质以及旋转的性质是解题的关键.
10．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为( )

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：作MH⊥DE于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=1，∠B=∠BAD=∠ADC=90°，
∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，
∴AE=AB=1，∠1=30°，∠AEF=∠B=90°，
∴∠2=60°，
∴△AED为等边三角形，
∴∠3=∠4=60°，DE=AD=1，
∴∠5=∠6=30°，
∴△MDE为等腰三角形，
∴DH=EH=，
在Rt△MDH中，MH=DH=×=，
∴S△MDE=×1×=．
故选D．


二、填空题
11．如图，在平面内将Rt△EFC绕着直角顶点C顺时针旋转90°，得到Rt△ABC，若EF=，CF=2，则阴影部分的面积为________．

【答案】π－3
【分析】根据勾股定理求得EC的长，S阴影= S扇形﹣S△ECF，扇形面积是以C为圆心，EC为半径的圆的面积的四分之一，求出扇形面积后代入即可求解．
【详解】∵Rt△ABC中EF=，CF=2，
∴EC=．
∵△ABC由△EFC旋转而成，
∴△EFC≌△ABC，
∴AC=EC=2，BC=FC=1，
∴S阴影=S扇形﹣S△ECF=．
故答案为π－3．
【点评】本题考查扇形面积的计算及旋转的性质，掌握公式准确计算是本题的解题关键．
12．如图，正方形ABCD的顶点B，C的坐标分别是（﹣2，0），（﹣1，0），将正方形ABCD沿x轴正半轴方向翻滚，翻滚90°为一次变换，如果这样连续经过2019次变换后，正方形ABCD的顶点A的坐标为_____．

【答案】（2016，0）
【分析】由题意A1（0，1），A2（1，0），A3（1，0），A4（2，1），…，四次一个循环，用2019÷4=504…3，推出A2019在x轴上，横坐标=504×4-2+2=2016．
【详解】由题意A1（0，1），A2（1，0），A3（1，0），A4（2，1），…，四次一个循环，
∵2019÷4=504…3，
∴A2019在x轴上，横坐标=504×4﹣2+2=2016，
∴A2019（2016，0）．
故答案为（2016，0）．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
13．已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝_____°时，GC＝GB．

【答案】60或300
【分析】当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG＝60°，即可得到旋转角θ的度数．
【详解】解：当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，

∵GC＝GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝BH＝AD＝AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角θ＝60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，

∴∠DAG＝60°，
∴旋转角θ＝360°﹣60°＝300°．
故答案为60或300
【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
14．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E,F 分别在边AD,CD 上，若∠EBF = 45° ，则△EDF 的周长等于_____.

【答案】4
【分析】根据正方形的性质得AB=BC，∠BAE=∠C=90°，根据旋转的定义，把△ABE绕点B顺时针旋转90°可得到△BCG，根据旋转的性质得BG=BE，CG=AE，∠GBE=90°，∠BAE=∠C=90°，∠EBG=∠ABC=90°，于是可判断点G在CB的延长线上，接着利用“SAS”证明△FBG≌△EBF，得到EF=CF+AE，然后利用三角形周长的定义得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠BAE=∠BCD=90°，
∴把△ABE绕点B顺时针旋转90°可得到△BCG，如图，

∴BG=BE，CG=AE，∠GBE=90°，∠BAE=∠BCG=90°，
∴点G在DC的延长线上，
∵∠EBF=45°，
∴∠FBG=∠EBG-∠EBF=45°，
∴∠FBG=∠FBE，
在△FBG和△EBF中，
，
∴△FBG≌△FBE（SAS），
∴FG=EF，
而FG=FC+CG=CF+AE，
∴EF=CF+AE，
∴△DEF的周长=DF+DE+CF+AE=CD+AD=2+2=4
故答案为4．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．
15．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点顺时针旋转后得到矩形（如图），连结、，若此时他测得．小红同学用剪刀将与剪去，与小亮同学探究．他们将绕点顺时针旋转得，交于点（如图），设旋转角为，当为等腰三角形时，则旋转角的度数为________．

【答案】或
【分析】结合旋转的性质分情况讨论即可求得答案.
【详解】当AK=FK时，∠KAF=∠F=30°，
则∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°，
即β=60°；
②当AF=FK时，∠FAK==75°，
∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°，
即β=15°，
∴β的度数为60°或15°，
故答案为60°或15°.
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质以及运用分类讨论思想是解本题的关键.
16．如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的大小为________．

【答案】
【解析】
【分析】由旋转的性质可知AB=AB′，∠BAB′=42°，接下来，依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B′BC′的大小．
【详解】∵把△ABC绕点A逆时针旋转42°，得到△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，
∴∠BAB′=42°，AB=AB′．
∴∠AB′B=∠ABB′．
∴∠B′BC′=（180°-42°）=69°．
故答案为：69°．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，证得△ABB′是等腰三角形是解题的关键．
17．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且，将绕点D逆时针旋转90°，得到． 若，则EF的长为__________．

【答案】
【分析】先根据SAS证明△DEF≌△DMF，得EF＝MF，再设EF＝MF＝x，分别表示出BE和BF，然后在Rt△BEF中根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即得结果.
【详解】解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD＋∠DCM＝180°，
∴F，C，M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF＋∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
∵DF=DF
∴△DEF≌△DMF(SAS)，
∴EF＝MF，设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝1，且BC＝3，
∴EB＝AB－AE＝3－1＝2，BM＝BC＋CM＝3＋1＝4，
∴BF＝BM－MF＝4－x，
在Rt△EBF中，由勾股定理得：EB2＋BF2＝EF2，
即22＋(4－x)2＝x2，
解得x＝，
即EF＝．
故答案为：
【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，解题时注意旋转前后的对应关系和方程思想的应用.
18．在平面坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（0，4），延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2；作第3个正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第5个正方形的边长为_____．

【答案】5×
【分析】分别求出第1个正方形的面积，再求出第2个正方形的面积，以此类推，求出5个正方形的面积，然后寻找规律即可．
【详解】∵点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（0，4），
∴OA＝3，OD＝4，BC＝AB＝AD＝5，
∵正方形ABCD，正方形A1B1C1C，
∴∠OAD+∠A1AB＝90°，∠ADO+∠OAD＝90°，
∴∠A1AB＝∠ADO，
∵∠AOD＝∠A1BA＝90°，
∴△AOD∽△A1BA，
∴，
∴，
∴，
∴
同理可得，A2B2＝5×，
同理可得，A3B3＝5×，…
按这样的规律进行下去，第5个正方形的边长为A4B4＝5×．
故答案为5×．
【点评】本题属于开放性题目，寻找正方形面积的规律．
19．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转，在旋转过程中，当CF＝DE时，∠DOF的大小是_____．

【答案】165°或15°．
【解析】
【分析】如图1，连结CF、DE，根据正方形与等边三角形的性质得OC=OD，∠COD=90°，OE=OF，∠EOF=60°，根据“SSS”可判断△ODE≌△OCF，则∠DOE=∠COF，于是可求∠DOF；如图2，同理可证得△ODE≌△OCF，所以∠DOE=∠COF，于是可求∠DOF．
【详解】解：如图1，连结CF、DE，

∵四边形ABCD为正方形，
∴OC＝OD，∠COD＝90°，
∵△OEF为等边三角形，
∴OE＝OF，∠EOF＝60°，
在△ODE和△OCF中
，
∴△ODE≌△OCF（SSS），
∴∠DOE＝∠COF＝×（360°﹣90°﹣60°）＝105°，
∴∠DOF＝∠DOE+60°＝165°；
如图2，

在△ODE和△OCF中，
，
∴△ODE≌△OCF（SSS），
∴∠DOE＝∠COF，
∴∠DOF＝∠COE，
∴∠DOF＝×（90°﹣60°）＝15°．
∴∠DOF的大小是165°或15°．
故答案为165°或15°．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形与等边三角形的性质．
20．如图，点P为线段AB外一动点，PA=2，AB=3，以P为直角顶点作等腰Rt△MPB，（△MPB的三个顶点按顺时针顺序排列为P、M、B），则线段AM长的最大值为_________

【答案】
【详解】如图，以P为圆心，2为半径作圆交AM于Q，
当∠APQ=90°时AM最大．
此时∠MPB=∠APQ=90°，
∴∠MPQ=∠BPA，
∵PM=PB，PQ=PA，
∴△MPQ≌△BPA，
∴MQ=BA=3，
∵PQ=PA=2，∠APQ=90°，
∴AQ=，
∴AM=AQ+MQ=．
故答案为．

【点评】解答本题的关键是找出点P的位置，然后利用全等三角形的性质和勾股定理解答．

三、解答题
21．如图，在每个小正方形边长为1个单位长的网格中，建立直角坐标系xOy，点A，B，C均在格点上，
(1)画出将△ABC绕点O．逆时针旋转90°后得到的图形△ABC；
(2)写出点A，B，C的坐标；

【答案】（1）图见解析；（2）A（-3,0），B（-4,3），C（-2, 2）
【分析】（1）将△ABC的另A、B、C绕O点按逆时针方向旋转90°后得到对应点，顺次连接得△AB′C′；
（2）根据图形，读出点的坐标即可；
【详解】（1）如图：

（2）A（-3,0），B（-4,3），C（-2, 2）
【点评】此题考查的是画旋转图形，掌握旋转图形的画法是解决此题的关键．
22．在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，

（1）B点关于原点的对称点坐标为 ；
（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；
（3）以原点O为旋转中心，画出把△AOB顺时针旋转90°的图形△A2OB2．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析
【分析】（1）根据原点对称的性质，横纵坐标都变为相反数即可求解；
（2）根据平移的性质得到对应点，然后连线即可；
（3）根据旋转的性质得到对应点，然后连线即可．
【详解】（1）由题意得，B点坐标为，
∴根据原点对称的性质，对称点坐标为；
（2）如下图所示；

（3）如上图所示．
【点评】本题考查了平面直角坐标系内点关于对称轴对称或原点对称，平移、旋转变换，本题的关键是找到平移后和旋转后的对应点．
23．（2019•永春校级月考）判定一个三角形是不是等腰三角形，我们经常利用以下的判定方法：“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”，请你利用以上判定方法解决下列问题：
如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为β（0°＜β＜180°），得到△A′B′C．

（1）当旋转角为β＝20°，∠A′B′C＝　　°；
（2）当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D，求证：D是A′B′的中点；
（3）如图2，E是AC边上的点，且AEAC，P是A′B′边上的点，且∠A′PC＝60°，连接EP，已知AC＝α，当β＝　　°时，EP长度最大，最大值为　　．
【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）120，a
【分析】（1）根据旋转的性质，旋转前后两个图形全等，则，据此求解；
（2）根据平行的性质证明，然后证明，根据等角对等边即可证得；
（3）时易证是等边三角形，当、、在一条直线上时，的长度最大，据此即可求解．
【详解】解：（1）；
（2）∵
∴
∵
∴，
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴，即是的中点；
（3）∵，
∴是等边三角形．
∴，
∴如图：

当、、在一条直线上时的长度最大，即当时，长度最大，最大值为．
【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质、三角形外角的性质、等角对等边、利用三角形三边关系求最值、线段的和差、角的和差等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键．
24．在中，是边上一点，将绕着点逆时针旋转至，连接．

（1）如图1，连接，当时，，若，，，求线段的长．
（2）如图2，连接交于点，若，点为中点，求证：．
【答案】（1）6；（2）证明见解析
【分析】（1）由勾股定理可求DF=，由旋转的性质可得DF=CD=AB=，由勾股定理可求BE的长；
（2）过点A作AH∥DE，交FD的延长线于点H，由平行四边形的性质和平行线的性质可得∠H=∠C，∠HAD=∠DEC，由平行线分线段成比例定理可得HD=DF，由中位线可得AH=2DG，由“AAS”可证△AHD≌△ECD，可得AH=EC，即可得结论．
【详解】（1）∵∠ADF=90°，，
∴DF=
∵将CD绕着点D逆时针旋转至DF，
∴DF=CD=
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=
∵AE=2BE，且AB2=AE2+BE2，
∴180=5BE2，
∴BE=6
故答案为：6
（2）如图2，过点A作AH∥DE，交FD的延长线于点H，

∴∠HAD=∠ADE，∠H=∠EDF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD
∴∠B+∠C=180°，∠ADE=∠DEC，
∴∠HAD=∠DEC，
∵∠EDF+∠B=180°，
∴∠H=∠EDF=∠C，
∵DG∥AH，
∴，且AG=GF
∴HD=DF
∴HD=DF=CD，且AG=GF，
∴AH=2DG，
∵DH=DC，∠H=∠C，∠HAD=∠DEC，
∴△AHD≌△ECD（AAS），
∴AH=EC，
∴EC=2DG，
∴BE=BC-EC=AD-2DG．
【点评】本题考查了旋转的性质和用勾股定理求线段长，平行四边形、平行线和中位线的性质，全等三角形的判定和性质．
25．如图（1），的顶点、、分别与正方形的顶点、、重合.

（1）若正方形的边长为，用含的代数式表示：正方形的周长等于_______，的面积等于_______.
（2）如图2，将绕点顺时针旋转，边和正方形的边交于点.连结，设旋转角.

①试说明；
②若有一个内角等于，求的值.
【答案】（1），；（2）①见解析；②β=15°.
【分析】（1）根据正方形的周长和等腰直角三角形的计算公式计算即可；
（2）①根据∠ECF和∠ACD都是45°即可说明；②首先判定△CAE是等腰三角形，明确∠β=∠ACE，再对的内角展开讨论，即可求得结果.
【详解】解：（1）正方形的周长等于，的面积等于.
故答案为，；
（2）①如图，∵的顶点、、分别与正方形的顶点、、重合，
∴是等腰直角三角形，∴∠ECF=45°，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=45°，
即∠ACF+∠1=45°，∠DCP+∠1=45°，
∴.

②∵CA=CE，∴∠CAE=∠CEA，且∠CAE＜90°，
若∠PAE=60°，则∠CAE=45°+60°=105°>90°，不符合题意；
若∠APE=60°，则∠APC=120°，∴∠1=180°―120°―45°=15°，∴∠BCF=∠1=15°，即旋转角β=15°；
若∠AEP=60°，则∠CAE=60°，所以∠1=60°>45°，此时点P在AD的延长线上，与题意中“边和正方形的边交于点”相矛盾，不符合题意；
综上，旋转角β=15°.
【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、旋转的性质和三角形的内角和，并考查了分类的数学思想，弄清题意，正确分类，熟练运用相关知识是解题的关键.
26．如图1，在直角三角形ABC中，∠ABC=90∘，将三角形ABC绕着点B逆时针旋转一定角度得到三角形BEF，EF交BC于点G．

（1）若，当∠ABE等于多少度时，；
（2）若，，，当时，
①求BG的长；
②连接AF交BE于点O，连接AE（如图2），设三角形EOF的面积为m，求三角形AEO的面积（用含m的代数式表示）
【答案】（1）；（2）①；②三角形AOE的面积为.
【解析】
【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可．
（2）①首先证明BG⊥EF，利用勾股定理求出EF，再利用面积法求出BG即可．
②证明△AEF和△BEF的面积相等，即可解决问题．
【详解】解：（1）（已知），
∴（两直线平行内错角相等）.
又（旋转的性质），
（等量代换）；
（2）①（已知），
（两直线平行同旁内角互补）.
又∵（已知），
∴，
∵三角形BEF是由三角形ABC旋转得到的，
∴，，，，
三角形BEF的面积，
即，
求得.
②（已知），
（同底等高的两个三角形面积相等），
∴当三角形OEF的面积为m时，三角形AOE的面积为.
【点评】本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．