专题07：实际问题与二次函数（解析版）-2021-2022学年九年级数学上册期中考试好题汇编（人教版）

这是一份专题07：实际问题与二次函数（解析版）-2021-2022学年九年级数学上册期中考试好题汇编（人教版），共37页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题07：实际问题与二次函数


一、单选题
1．如图，在中，，，，边长为的等边的顶点与点重合，另一个顶点（在点的左侧）在射线上．将沿方向进行平移，直到、、在同一条直线上时停止，设在平移过程中与的重叠面积为，的长为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ）．

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分0≤x≤2、2＜x≤3、3＜x≤4三种情况，分别求出函数表达式即可求解．
【详解】解：①当0≤x≤2时，如图1，

设AC交ED于点H，则EC=x，
∵∠ACB=60°，∠DEF=30°，
∴∠EHC=90°，

该函数为开口向上的抛物线，当x=2时，
②当2＜x≤3时，如图2，

设AC交DE于点H，AB交DE于点G，
同理△AHG为以∠AHG为直角的直角三角形，
EC=x，EB=x-2=BG，则AG=2-BG=2-（x-2）=4-x，
边长为2的等边三角形的面积为：
同理

函数为开口向下的抛物线，当x=3时，
③当3＜x≤4时，如图3，

同理可得：
函数为开口向下的抛物线，当x=4时，
故选：A．
【点评】本题考查的是动点问题的二次函数图象，此类题目通常需要分不同时间段确定函数的表达式，进而求解．
2．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（　　）

A．小球的飞行高度不能达到15m
B．小球的飞行高度可以达到25m
C．小球从飞出到落地要用时4s
D．小球飞出1s时的飞行高度为10m
【答案】C
【分析】直接利用h＝15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案．
【详解】A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2，
解得：t1＝1，t2＝3，
故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；
B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，
故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；
C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2，
解得：t1＝0，t2＝4，
∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；
D、当t＝1时，h＝15，
故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；
故选C．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键．
3．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设抛物线解析式为y=ax2，由已知可得点B坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可.
【详解】∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，
∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，
∴-78=452a，
解得：a=，
∴此抛物线钢拱的函数表达式为，
故选B.
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
4．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是( )

A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
【答案】D
【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：，
把代入得，解得，
∴函数解析式为，
把代入解析式得，，
解得：或，
∴小球的高度时，或，故④错误；
故选D．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意
5．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（　）秒，四边形APQC的面积最小．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积-三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值．
【详解】解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S=S△ABC-S△PBQ
= ×12×6- （6-t）×2t
=t2-6t+36
=（t-3）2+27．
∴当t=3s时，S取得最小值．
故选C．
【点评】本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值．
6．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x2+2x+，则下列结论：
(1)柱子OA的高度为m；
(2)喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；
(3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m；
(4)水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外.
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题．
【详解】解：当x=0时，y=，故柱子OA的高度为m；(1)正确；
∵y=﹣x2+2x+=﹣（x﹣1）2+2.25，
∴顶点是（1，2.25），
故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是2.25米；故(2)正确，(3)错误；
解方程﹣x2+2x+=0，
得x1=﹣，x2=，
故水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，(4)正确．
故选C．
【点评】考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x轴交点，y轴交点的实际意义是解决问题的关键．
7．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度增加（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】如图所示：

建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（-2，0），
到抛物线解析式得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y=-1代入抛物线解析式得出：
-1=-0.5x2+2，
解得：x=±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2-4．
故选C．
【点评】考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
8．为了响应“足球进校国”的目标，兴义市某学校开展了多场足球比赛在某场比赛中，一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h＝﹣5t2+v0t表示，其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间，v0（m/s）是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大高度达到20m，那么足球被踢出时的速度应该达到（　　）
A．5m/s B．10m/s C．20m/s D．40m/s
【答案】C
【解析】
【分析】因为-5＜0，抛物线开口向下，有最大值，根据顶点坐标公式表示函数的最大值，根据题目对最大值的要求，求待定系数v0．
【详解】解：h=-5t2+v0•t，其对称轴为t=，
当t=时，h最大=-5×（）2+v0•=20，
解得：v0=20，v0=-20（不合题意舍去），
故选C．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，关键是利用当对称轴为t=-时h将取到最大值．
9．将抛物线y＝﹣x2﹣x+2（x≤0）沿y轴对折，得到如图所示的“双峰”图象．若直线y＝x+b与该“双峰”图象有三个交点时，b的值为（　　）

A．2， B．2 C． D．0
【答案】A
【分析】根据折叠的性质，得到折叠后y轴右侧抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2（x＞0），将二y＝﹣x2+x+2（x＞0）和y＝x+b联立，得到﹣x2+x+2＝x+b，根据新方程的判别式=0时，直线和右侧抛物线有一个交点，和左侧有两个交点即可判断求解．
【详解】将抛物线y＝﹣x2﹣x+2（x≤0）沿y轴对折，得到抛物线为y＝﹣x2+x+2（x＞0），
由抛物线y＝﹣x2﹣x+2（x≤0）可知抛物线与y轴的交点为（0，2），
把点（0，2）代入y＝x+b求得b＝2，
由﹣x2+x+2＝x+b整理得x2+2x+3b﹣6＝0，
当△＝4﹣4（3b﹣6）＝0，即b＝时，直线y＝x+b与该“双峰”图象有三个交点，
由图象可知若直线y＝x+b与该“双峰”图象有三个交点时，b的值是2和，
故选：A．

【点评】本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，是中考的常考点，本题找到b＝2这种情况比较容易，但是容易漏掉b＝，将直线上下平移，考虑多种情况是本题的关键．
10．如图，已知在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝3，连接 AC，动点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 A→B→C 向点 C 匀速运动，同时点 P 以每秒 2 个单位的速度沿 A→C→D 向点 D 匀速运动，连接 PQ，当点 P 到达终点 D 时，停止运 动，设△APQ 的面积为 S，运动时间为 t 秒，则 S 与 t 函数关系的图象大致为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由矩形的性质和勾股定理，得到AC=5，则得到点P的运动时间为秒，则对运动过程进行分类讨论：①当点P从点A运动到点C的过程，即；②点P经过点C之后，点Q到达点B时，即；③点Q经过点B后，点P到达点D停止，即；分别求出S与t的关系，即可得到答案.
【详解】解：由矩形的性质，得∠B=90°，AB=DC=4，AD=BC=3，
由勾股定理，得：，
∴点P运动到点C的时间为：秒；
点P运动到点D的时间为：秒；
点Q运动到点B的时间为：秒；
根据运动的情况，可分成以下三种情况：
①当点P从点A运动到点C的过程，即，
如图，作PE⊥AB于E，

∴，，
∵PE⊥AB，BC⊥AB，
∴△APE∽△ACB，
∴，
∴，
∴△APQ 的面积为：（）；
②点P经过点C之后，点Q到达点B时，即；
如图，

∴△APQ 的面积为：（）；
③点Q经过点B后，点P到达点D停止，即；如图，

此时，，，
∴，
∴△APQ 的面积为：，
∴


（）；
∴S 与 t函数关系的图象大致为A选项中的图像；
故选：A.
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，勾股定理，以及二次函数的性质，解题的关键是根据x的取值范围表示出S与x之间的函数关系式．


二、填空题
11．如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边的OA的距离分别为0.5m，1.5m．若该墙的长度为12m，则最多可以连续绘制_______个这样的抛物线型图案．

【答案】6．
【分析】根据B和C到OA的距离，求出BC中点到OA的距离，然后求出一个抛物线的宽度，最后根据墙的长度即可求解．
【详解】∵抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边的OA的距离分别为0.5m，1.5m
∴BC中点到OA的距离为m
∴每个抛物线宽m
∵
∴可以连续绘制6个这样的图案
故答案为6．
【点评】本题考查了根据对称点求抛物线对称轴，属于二次函数部分的基础应用，题目较为简单，熟练掌握抛物线对称轴的不同求解方法是本题的关键．
12．如图（1），菱形ABCD中，∠B＝60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止，若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，且S与t之间的函数关系的图象如图（2）所示，则图象中a的值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．
【详解】解：当0≤t＜2时，；
当2≤t＜4时，；
当t＝3时，，
故答案为．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键．
13．某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB之间经过时，将触发报警．现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图）已知点A，B的坐标分别为（0，4），（5，4），小车沿抛物线y=ax2-2ax-3a运动．若小车在运动过程中只触发一次报警，则a的取值范围是______

【答案】a＜-或a＞
【解析】
【分析】先把抛物线解析式分解因式，得其与x轴的交点坐标及对称轴，再分别代入临界点的坐标（0，4）和（5，4），结合二次项系数大小与开口大小及与x轴的交点为定点等即可解答．
【详解】解：抛物线y=ax2-2ax-3a=a（x+1）（x-3），
∴其对称轴为：x=1，且图象与x轴交于（-1，0），（3，0）．
当抛物线过点（0，4）时，代入解析式得4=-3a，
∴a=，由对称轴为x=1及图象与x轴交于（-1，0），（3，0）可知，当a＜时，抛物线与线段AB只有一个交点；
当抛物线过点（5，4）时，代入解析式得25a-10a-3a=4，
∴a=，同理可知当a＞时，抛物线与线段AB只有一个交点．
故答案为a＜或a＞．
【点评】本题实质是二次函数图象与线段交点个数的问题，需要综合分析二次函数开口方向，对称轴，与x轴交点情况等，难度较大．
14．某民房发生火灾．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A，E，F在同一直线上．跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水流正好经过E，F．若点B和点E、点C和点F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移5m，再向左后退_____m，恰好把水喷到F处进行灭火．

【答案】5
【解析】
【分析】设AE的直线解析式为y＝kx+b，将点A与E代入求解析式，能求出F点坐标；设过D，E，F三点的抛物线为y＝ax2+bx+c，求出抛物线；水流抛物线向上平移5m，设向左退了m米，设平移后的抛物线为y＝﹣（x+m）2+（x+m）+1.2+5，将F代入求出m即可；
【详解】由图可知：A(0，21.2)，B(0，9.2)，C(0，6.2)，D(0，1.2)，
∵点B和点E、点C和点F的离地高度分别相同，
∴E(20，9.2)，
设AE的直线解析式为y＝kx+b，
，
∴，
∴y＝﹣x+21.2，
∵A，E，F在同一直线上．
∴F(25，6.2)，
设过D，E，F三点的抛物线为y＝ax2+bx+c，
∴，
∴，
水流抛物线向上平移5m，设向左退了m米，
∴D(0，6.2)，
设平移后的抛物线为，经过点F，
∴m＝5或m＝﹣25(舍)，
∴向后退了5米．
故答案为5．
【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，用到的知识点有待定系数法求二次函数与一次函数的表达式，二次函数的平移变换，设出平移后的函数表达式是解题的关键．
15．某网店销售某种商品，成本为30元/件，当销售价格为60元件/时，每天可售出100件，经市场调查发现，销售单价每降1元，每天销量增加10件.当销售单价为__________元时，每天获取的利润最大.
【答案】50
【解析】
【分析】直接利用每件利润×销量=总利润，进而得出关系式进，再根据函数最值的方法求出而答案．
【详解】解：设当销售单价为x元时，每天获取的利润为y元，
则y=（x-30）[100+10（60-x）]
=-10x2+1000x-21000
=-10（x-50）2+4000，
∴当x=50时，y有最大值，且为4000，
故答案为50．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键，难度不大．
16．飞行中的炮弹经秒后的高度为米，且高度与时间的关系为，若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则炮弹在最高处的时间是第________秒．
【答案】10
【分析】本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值．
【详解】∵此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是：x==10，
∴炮弹所在高度最高时：时间是第10秒．
故答案为10．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键．
17．体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下如图如果曲线APB表示的是落点B离点O最远的一条水流如图，水流喷出的高度米与水平距离米之间的关系式是，那么圆形水池的半径至少为______米时，才能使喷出的水流不至于落在池外．


【答案】
【分析】求出函数解析式中y=0时x的值，结合x＞0可得最终的x的值，从而得出OB的长．
【详解】解：在 中，当y=0时， ，
解得 ， ，
，
，即 ，
圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不至于落在池外，
故答案为．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确函数解析式中两个变量的实际意义．
18．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_______米．
【答案】10
【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．
【详解】解：当时，，
解得，（舍去），．
故答案为10．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．
19．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点， 点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，若△,△，△，…，都为等边三角形，则的边长＝ .
【答案】2011
【解析】
【分析】分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A0A1＝a，A1A2＝b，A2A3＝c，则AB1a，BB2b，CB3c，再根据所求正三角形的边长，分别表示B1，B2，B3的纵坐标，逐步代入抛物线yx2中，求a、b、c的值得出规律．
【详解】分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A0A1＝a，A1A2＝b，A2A3＝c，则AB1a，BB2b，CB3c，在正△A0B1A1中，B1（a，），代入yx2中，得：•（a）2，解得：a＝1，即A0A1＝1，在正△A1B2A2中，B2（b，1），代入yx2中，得1•（b）2，解得：b＝2，即A1A2＝2，在正△A2B3A3中，B3（c，3），代入yx2中，得：3•（c）2，解得：c＝3，即A2A3＝3，由此可得△A2010B2011A2011的边长＝2011．
故答案为2011．

【点评】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据正三角形的性质表示点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．
20．某游乐园有一圆形喷水池（如图），中心立柱AM上有一喷水头A，其喷出的水柱距池中心3米处达到最高，最远落点到中心M的距离为9米，距立柱4米处地面上有一射灯C，现将喷水头A向上移动1.5米至点B（其余条件均不变），若此时水柱最高处D与A，C在同一直线上，则水柱最远落点到中心M的距离增加了_____米．

【答案】
【分析】以地面为x轴，中心立柱为y轴建立平面直角坐标系．由题意可知抛物线的对称轴，即可设该抛物线解析式为，由该抛物线经过点(9，0)，即可求出该抛物线解析式为，即能求出平移后的解析式为，即可知D点坐标．由点A和点C坐标利用待定系数法可求出经过点A、C的直线的解析式，又由于点D也在直线上，即可求出a的值．即求出了平移后的抛物线解析式，最后令y=0，解出x的值，即能求出移动后水柱最远落点到中心M的距离增加的量．
【详解】解：如图，以地面为x轴，中心立柱为y轴建立平面直角坐标系．
根据题意可知水柱可以看成抛物线（只考虑第一象限）．
由题意可知C点坐标为(-4，0)．
∵喷水头A喷出的水柱距池中心3米处达到最高，
故该抛物线的对称轴为．
∴设该抛物线解析式为，
又∵水柱最远落点到中心M的距离为9米，
∴该抛物线又经过点(9，0)．
∴，即，
∴该抛物线解析式为．
当x=0时，
故点A坐标为(0，-27a)．
由题意可知将喷水头A向上移动1.5米至点B，即将抛物线向上平移1.5．
∴平移后的抛物线为．
∴点D坐标为(3，)．
设经过点A、C的直线解析式为，
∴，解得．
即经过点A、C的直线解析式为．
又∵该直线经过点D．
∴．
解得：．
故平移后的抛物线解析式为，
整理得：．
当时，即，
解得：（舍）．
∴移动后最远落点到中心M的距离为米，
∴移动后水柱最远落点到中心M的距离增加了（米）．

故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质，利用待定系数法求解析式以及一次函数的应用是解答本题的关键．数据处理较大，较难．

三、解答题
21．饮料厂生产某品牌的饮料成本是每瓶5元，根据市场调查，以单价8元批发给经销商，经销商每天愿意进货5000瓶，并且表示单价每降价0.1元，经销商每天愿意多进货500瓶．
（1）直接写出饮料厂每天的进货量（瓶）与批发单价（元）之间的函数关系式；
（2）求饮料厂每天的利润（元）与批发单价（元）之间的函数关系式，并求出最大利润；
（3）如果每天的生产量不超过9000瓶，那么饮料厂每天的利润最大是________元．
【答案】（1）；（2），当x=7时，最大利润为20000元；（3）18000
【分析】（1）根据原单价8和现单价的差值除以0.1，然后乘以500，最后加原有的5000瓶即可列出关系式；
（2）根据成本和单价求出单件的利润，然后乘以（1）问中的y即可列出关系式；
（3）根据（1）问，列出不等式求出x的取值范围，结合（2）问即可求解．
【详解】（1）由题意得：
整理得：；
（2），整理得：
，转化为顶点式得：

∴当x=7时，有最大利润，为20000元；
（3）由题意得：，解得
∴x的取值范围为
对于，当x>7时，w最x的增大而减小
∴当x=7.2时，，即最大利润为18000元．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，属于销售问题和求最大利润问题，关键是将原式变为顶点式，然后进行判断求解．
22．空地上有一段长为am的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为120m．
（1）已知a＝30，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了120m木栏，且围成的矩形菜园而积为1000m2．如图1，求所利用旧墙AD的长；
（2）已知0＜a＜60，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．

【答案】（1）旧墙AD的长为20米；（2）当0＜a＜40时，围成长和宽均为米的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米；当40≤a＜60时，围成长为a米，宽为米的矩形菜园面积最大，最大面积为（60﹣）平方米．
【分析】(1)按题意设出AD=x米，用x表示AB，再根据面积列出方程解答；
(2)根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论S与菜园边长之间的数量关系．
【详解】解：(1)设AD＝x米，则AB＝，
依题意得，＝1000，
解得x1＝100，x2＝20，
∵a＝30，且x≤a，
∴x＝100舍去，
∴利用旧墙AD的长为20米，
故答案为20米；
(2)设AD＝x米，矩形ABCD的面积为S平方米，
①如果按图1方案围成矩形菜园，依题意得，
S＝，
∵0＜a＜60，
∴x＜a＜60时，S随x的增大而增大，
当x＝a时，S最大为；
②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得，
S＝，
当a＜时，即0＜a＜40时，
则x＝时，S最大为，
当，即40≤a＜60时，S随x的增大而减小，
∴x＝a时，S最大＝，
综合①②，当0＜a＜40时，
，
此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为平方米，
当40≤a＜60时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等．
∴当0＜a＜40时，围成长和宽均为米的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米；
当40≤a＜60时，围成长为a米，宽为米的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米．
【点评】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系．
23．某校九年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．
小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出100千克．
小强：如果以12元/千克的价格销售，那么每天可售出80千克．
小红：通过调查验证，我发现每天的销售量（千克）与销售单价（元）之间存在一次函数关系．
小强：我发现每天的销售量在70千克至100千克之间．
那么当销售单价为何值时，该超市销售这种水果每天获取的利润为320元？
【答案】销售单价为12元/千克时，该超市销售这种水果每天获取的利润为320元
【分析】由小红可知每天的销售量（千克）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，可设，分析小丽、小强的话可得两式与，联立计算可得出一次函数，再根据总利润=销量每千克利润可得，解得答案，进行合理性验证.
【详解】由题意，设，当时，；当时，，所以

解得，，
所以
所以
解得，，
当销售单价时，销售量，
当销售单价时，销售量，不符合题意，
所以销售单价为12元/千克时，该超市销售这种水果每天获取的利润为320元．
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数，二次函数的实际应用，在这里需要注意的是最后一步验证合理性，极容易被忽略这一步.
24．如图，在四边形OABC中，OA∥BC，∠OAB=90°，O为原点，点C的坐标为（2，8），点A的坐标为（26，0），点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC向点C运动，点E同时从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线OAB运动，当点E达到点B时，点D也停止运动，从运动开始，设D（E）点运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形ABDE是矩形；
（2）当t为何值时，DE=CO？
（3）连接AD，记△ADE的面积为S，求S与t的函数关系式．

【答案】（1）t=；（2）t=6s或7s；（3）当点E在OA上时， ,当点E在OAAB上时， .
【分析】（1）根据矩形的判定定理列出关系式，计算即可；
（2）根据平行四边形的判定定理和性质定理解答；
（3）分点E在OA上和点E在AB上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）∵点C的坐标为（2，8），点A的坐标为（26，0），
∴OA=26，BC=24，AB=8，
∵D（E）点运动的时间为t秒，
∴BD=t，OE=3t，
当BD=AE时，四边形ABDE是矩形，
即t=26-3t，
解得，t=；
（2）当CD=OE时，四边形OEDC为平行四边形，DE=OC，此时CD=26-2-t=24-t，
即24-t=3t，
解得，t=6
当四边形OCDE为等腰梯形时，DE=OC，
即CD=26-2-t=24-t，OE=3t，
∵OE=CD+4，
∴3t=24-t+4，
解得，t=7，
则t为6s或7s时，DE=CO；
（3）如图1，当点E在OA上时，

AE=26-3t，
则S=×AE×AB=×（26-3t）×8=-12t+104（），
当点E在AB上时，AE=3t-26，BD=t，

则S=×AE×DB=×（3t-26）×t=t2-13t()．
【点评】本题考查的是矩形的判定、平行四边形的判定和性质以及函数解析式的确定，掌握相关的性质定理和判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
25．如图，已知抛物线经过点A（-1,0），B（4,0）C（0,2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）m=﹣1或m=3时，四边形DMQF是平行四边形．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=x﹣2，则Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF，据此列出关于m的方程，解之可得．
【详解】解：（1）由抛物线过点A（﹣1，0）、B（4，0）可设解析式为y=a（x+1）（x﹣4），将点C（0，2）代入，得：﹣4a=2，解得：a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2；
（2）由题意知点D坐标为（0，﹣2），设直线BD解析式为y=kx+b，将B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：，解得：，∴直线BD解析式为y=x﹣2．
∵QM⊥x轴，P（m，0），∴Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），则QM=﹣m2+m+2﹣（m﹣2）=﹣m2+m+4．
∵F（0，）、D（0，﹣2），∴DF=．
∵QM∥DF，∴当﹣m2+m+4=时，四边形DMQF是平行四边形，解得：m=﹣1或m=3，即m=﹣1或m=3时，四边形DMQF是平行四边形．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题．解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质．
26． 如图，已知抛物线分别交轴、轴于点、，点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点．
（1）若．
①求抛物线的解析式；
②当线段的长度最大时，求点的坐标；
（2）当点的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) ①y=－2x2+2x+4；②P的坐标是(1，2)； (2)见解析.
【分析】（1）①把A、B的坐标代入抛物线解析式，由a+b=0，解方程组即可得出结论；
②设直线AB的解析式为，把A的坐标代入即可求出k的值，从而得到直线AB的解析式．设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，－2m2+2m+4），可表示出PD的长，利用二次函数的性质即可得出结论；
（2）如图2，利用勾股定理计算出AB的长，再求出P的坐标，则可计算出PB的长，接着表示出抛物线解析式为y＝ax2﹣2（a+1）x+4，则可用a表示出点D坐标为（1，2﹣a），所以PD＝﹣a，由于∠DPB＝∠OBA，根据相似三角形的判定方法，当时，△PDB∽△BOA，即；当时，△PDB∽△BAO，即，然后解方程分别求出a的值，从而得到对应的抛物线的解析式．
【详解】（1）①把A（2，0）、B（0，4）代入得：．
∵a+b=0，∴
∴，∴抛物线的解析式为y=－2x2+2x+4；
②设直线AB的解析式为，则，∴，∴直线AB的解析式为．
设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，－2m2+2m+4），∴PD=﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）=﹣2m2+4m，∴当时，线段PD的长度最大，此时点P的坐标是（1，2）．
（2）存在．
如图2，OB=4，OA=2，则AB==2．
当x=1时，y=﹣2x+4=2，则P（1，2），∴PB==．
把A（2，0）代入y=ax2+bx+4得4a+2b+4=0，解得：b=－2a－2，∴抛物线的解析式为y=ax2－2（a+1）x+4．
当x=1时，y=ax2－2（a+1）x+4=a－2a－2+4=2－a，则D（1，2－a），∴PD=2－a－2=﹣a．
∵DC∥OB，∴∠DPB=∠OBA．
当时，△PDB∽△BOA，即，解得：a=－2，此时抛物线解析式为y=－2x2+2x+4；
当时，△PDB∽△BAO，即，解得：a=－，此时抛物线解析式为y=－x2+3x+4．
综上所述：满足条件的抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4或y=－x2+3x+4．

【点评】本题考查了二次函数的综合题．熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
27．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．
（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形,求点P的坐标．
（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3（2）（2）（，-）（3）P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相垂直平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）分类讨论：①当∠PCB＝90°，根据互相垂直的两条直线的一次项系数互为负倒数，可得BP的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；根据勾股定理，可得BC，CP的长，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；
②当∠BPC＝90°时，根据相似三角形的性质，可得P点的坐标，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案．
【详解】（1）将B、C点代入函数解析式，得：，解得：，这个二次函数y＝x2+bx+c的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵四边形POP′C为菱形，∴OC与PP′互相垂直平分，∴yP，即x2﹣2x﹣3，解得：x1，x2（舍），P（）；
（3）∵∠PBC＜90°，∴分两种情况讨论：
①如图1，当∠PCB＝90°时，过P作PH⊥y轴于点H，BC的解析式为y＝x﹣3，CP的解析式为y＝﹣x﹣3，设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），将点P代入代入y═x2﹣2x﹣3中，解得：m1＝0（舍），m2＝1，即P（1，﹣4）；
AO＝1，OC＝3，CB，CP，此时3，△AOC∽△PCB；
②如图2，当∠BPC＝90°时，作PH⊥y轴于H，作BD⊥PH于D．
∵PC⊥PB，∴△PHC∽△BDP，∴．设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则PH=m，HC=－（m2﹣2m﹣3）－（－3）=－m2+2m，BD=－（m2﹣2m﹣3），PD=3－m，∴，∴，解得：m或（舍去）．当m时，m2﹣2m﹣3=．
∵△PHC∽△BDP，∴== 3，以P、C、B为顶点的三角形与△AOC不相似．
综上所述：P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）．

【点评】本题是二次函数综合题．考查了利用待定系数法求函数解析式；利用菱形的性质得出P点的坐标是解题的关键；利用相似三角形的判定与性质得出关于m的方程是解题的关键．
28．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为（3，0），经过A点的直线交抛物线于点D（2，3）．

（1）求抛物线的解析式和直线AD的解析式：
（2）点E为x轴上一点，点F为抛物线上一点，是否存在点E，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由
（3）点M为直线AD上方抛物线上一点，求当的面积最大时M点的坐标及最大的面积．
【答案】（1）y＝−x2＋2x＋3，y＝x＋1；（2）E（-3，0），（4±，0），（1，0）；（3）M（，），
【分析】（1）把点B和D的坐标代入抛物线得出方程组，解方程组即可；由抛物线解析式求出点A的坐标，设直线AD的解析式为y＝kx＋a，把A和D的坐标代入得出方程组，解方程组即可；
（2）分两种情况：①当AD为平行四边形的边时，当a＜−1时，DF∥AE且DF＝AE，得出F（0，3），由AE＝−1−a＝2，求出a的值；当a＞−1时，显然F应在x轴下方，EF∥AD且EF＝AD，设F （a−3，−3），代入抛物线解析式，即可得出结果．②当AD为平行四边形的对角线时，则F （0， 3），则此时E（1，0）；
（3）设M（x，−x2＋2x＋3），过点M作MN⊥x轴，交AD于点N，则N（x，x＋1），可得的面积=−x2＋x+3，进而即可求解．
【详解】解：（1）把点B和D的坐标代入抛物线得：，
解得：b＝2，c＝3，
∴抛物线的解析式为y＝−x2＋2x＋3；
当y＝0时，−x2＋2x＋3＝0，
解得：x＝3或x＝−1，
∵B（3，0），
∴A（−1，0）；
设直线AD的解析式为y＝kx＋a，
把A和D的坐标代入得：，
解得：k＝1，a＝1，
∴直线AD的解析式为y＝x＋1；
（2）分两种情况：如图所示，设点E（a，0），

①当AD为平行四边形的边时，a＜−1时，则DF∥AE且DF＝AE，
则F点即为（0，3），
∵AE＝−1−a＝2，
∴a＝−3，即E（-3，0）；
当AD为平行四边形的边时，a＞−1时，显然F应在x轴下方，EF∥AD且EF＝AD，
则F （a-1-2，0+0−3），即：F （a-3，−3），
由−（a−3）2＋2（a−3）＋3＝−3，
解得：a＝4±，即E（4±，0），
②当AD为平行四边形的对角线时，则F （0， 3），则此时E（1，0），
综上所述，满足条件的点E的坐标为：E（-3，0），（4±，0），（1，0）；
（3）设M（x，−x2＋2x＋3），过点M作MN⊥x轴，交AD于点N，则N（x，x＋1），
∴MN=−x2＋2x＋3-（ x＋1）=−x2＋x+2，
∴的面积===，
∴的面积=−x2＋x+3，
当x=时，的最大面积=−×＋× +3=，
此时，M（，）．

【点评】本题考查了待定系数法求抛物线和直线的解析式、平行四边形的判定、抛物线与x轴的交点等知识；熟练掌握待定系数法求抛物线和直线的解析式，分两种情况讨论是解决问题（2）的关键．
29．已知抛物线y=ax2+c过点A（0，1），B (-1，)，直线BP与抛物线的另一个交点为P，交y轴正半轴于点 E，且△ABP面积为．
（1）求此抛物线解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）过点E的任意一条直线与抛物线交于M，N 两点，过点N作NC⊥x轴于点C，求证：M，A，C三点共线．
【答案】（1）；（2）点P的坐标为；（3）见解析
【分析】（1）将点A（0，1），B (-1，)代入抛物线y=ax2+c中，求解即可；
（2）设直线BP的解析式为，代入B (-1，)求得的关系，联立直线与抛物线，求得点坐标，再根据△ABP面积为，列方程求出即可求解；
（3）设、，则，设过点E的直线为，联立直线与抛物线，根据韦达定理得到，M，A，C三点共线说明，求出、作差验证即可．
【详解】解：（1）将点A（0，1），B (-1，)代入抛物线y=ax2+c中，得
，即抛物线方程为
（2）设直线BP的解析式为，代入B (-1，)得，即
直线BP的解析式为，则，
由题意得，即
联立直线BP与抛物线得：
化简得：，即
解得：
则点的横坐标为

令，，化简得，解得（舍），
∴，解得（舍）或
直线BP的解析式为，
点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标
（3）当过点E的直线斜率不存在时，此时直线为轴，与抛物线只有一个交点，不符合题意，
当过点E的直线斜率存在时，设直线为，设、，则
则

联立直线与抛物线得到，化简得
由韦达定理得：
，

∴，即M，A，C三点共线
【点评】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了一元二次方程的求解，韦达定理等知识，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
30．定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣（x﹣1）2+2．
（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标 ；
（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．
（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接BC、、、．
①当四边形为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．

【答案】（1）(1，﹣2)，(1，2)；（2）y＝2（x﹣1）2﹣5；（3）①a＝；②≤a≤1或﹣≤a＜﹣
【分析】（1）根据顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）；
（2）先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；
（3）①写出点B的坐标，再由对称轴求出点B'，然后结合正方形的性质列出方程求 a；
②先由对称性分析得到封闭区域内在x轴上整点的个数，然后针对抛物线L开口的不同进行分类讨论．
【详解】解：（1）由y1＝（x﹣1）2﹣2知顶点坐标为（1，﹣2），
由y2＝﹣（x﹣1）2+2知顶点坐标为（1，2），
故答案为：（1，﹣2），（1，2）．
（2）∵y＝﹣2x2+4x+3y＝﹣2（x﹣1）2+5，
∴“同轴对称抛物线”的解析式为：y＝2（x﹣1）2﹣5．
（3）①当x＝1时，y＝1﹣3a，
∴B（1，1﹣3a），
∴C（1，3a﹣1），
∴BC＝|1﹣3a﹣（3a﹣1）|＝|2﹣6a|，
∵抛物线L的对称轴为直线x＝＝2，
∴点B'（3，1﹣3a），
∴BB'＝3﹣1＝2，
∵四边形BB'C'C是正方形，
∴BC＝BB'，即|2﹣6a|＝2，
解得：a＝0（舍）或a＝．
②抛物线L的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1﹣4a），
∵L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称，
∴整点数也是关于x轴对称出现的，
∴封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个，L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个，
（i）当a＞0时，
∵L开口向上，与y轴交于点（0，1），
∴封闭区域内在x轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，
∴当x＝1时，﹣2≤1﹣3a＜﹣1，当x＝2时，﹣3≤1﹣4a＜﹣2，
解得：≤a≤1；
（ii）当a＜0时，
∵L开口向下，与y轴交于点（0，1），
∴封闭区域内在x轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，
∴当x＝2时，1＜1﹣4a≤2，当x＝﹣1时，5a+1＜0，
解得：，
综上所述：≤a≤1或﹣≤a＜﹣．
【点评】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”．