浙江省绍初教育集团2021-2022学年八年级下学期期中学业评价数学试题（有答案）

这是一份浙江省绍初教育集团2021-2022学年八年级下学期期中学业评价数学试题（有答案），共22页。试卷主要包含了下列计算中正确的是，方程x，将一副三角尺如图拼接等内容，欢迎下载使用。
绍初教育集团2021-2022学年第二学期期中学业评价试卷
八年级数学
一．选择题（，每题3分，共30分）
1．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中是中心对称图形的是（　　）

2．下列计算中正确的是（　　）
A．2﹣＝1 B．＝±13
C．＝﹣1 D．＝﹣＝5﹣4＝1
3．方程x（x+1）＝5（x+1）的根是（　　）
A．﹣1 B．5 C．1 或5 D．﹣1或5
4．已知数据1，2，3，3，4，5，则下列关于这组数据的说法错误的是（　　）
A．众数是3 B．平均数是3 C．方差是2 D．中位数是3
5．在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（　　）
A．a（1﹣x）2＝70%a B．a（1+x）2＝70%a
C．a（1﹣x）2＝30%a D．30%（1+x）2a＝a
6．在平面直角坐标系中，若直线y＝x+k不经过第四象限，则关于x的方程x2+x﹣k＝0的实数根的情况为（　　）
A．无解 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．无法确定
7．将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有（　　）
A．2种 B．4种 C．8种 D．无数种
8．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝60°，则一定有（　　）
A．∠ADE＝20° B．∠ADE＝30°
C．∠ADE＝∠EDC D．∠ADE＝∠EDC
9．将一组数据，，3，2，，…，3，按下面的方法进行排列：
，，3，2，；
3，，2，3，；
……
若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中的位置记为（　　）
A．（6，4） B．（5，3） C．（5，2） D．（6，5）
10．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝6，E，F分别是边AC，BC上的动点，当四边形DEBF为平行四边形时，该四边形的面积是（　　）

A．3 B．6 C． D．81
二．填空题（每题3分，共18分）
11．要使式子有意义，则x的取值范围是 　 　．
12．若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是　 　边形．
13．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则3a+6b的值为　 　．
14．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于210°，则∠BOD的度数为　 　．

15．甲、乙、丙三位同学进行立定跳远比赛，每人轮流跳一次称为一轮，每轮按名次从高到低分别得3分、2分、1分（没有并列名次）．他们一共进行了五轮比赛，结果甲共得14分；乙第一轮得3分，第二轮得1分，且总分最低．那么丙得到的分数是　 　．
16．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　 　（填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程．
三．解答题（共6大题，其中第17—21题每题6分，第22题10分，第23题12分）
17．（1） （2）．

18．解方程：
（1）x2﹣8x﹣1＝0 （2）（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+8＝0
19．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，求△DOE的周长．

20．2021年12月9日，神舟十三号乘组三位航天员首次在中国空间站进行太空授课，传播载人航天知识．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行科普知识竞赛（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：
A．80≤x＜85；B．85≤x＜90；C．90≤x＜95；D.95≤x≤100
其中，七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表

根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次比赛中 　 　年级成绩更稳定；
（2）直接写出上述a、b、c的值：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（3）该校八年级共1000人参加了此次科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数是多少？

21．北京冬奥会开幕日的前期近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
（2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年1月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．




22．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

（1）如图甲，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0）A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；
（2）如图乙，若C（1，2），那么在图中所有格点中是否能找到一点D，使以CA、CB为勾股边的四边形ACBD是勾股四边形．如果能找到，请写出D点的坐标（不需要证明）；
（3）如图丙，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，△ABD是等边三角形，∠DCB＝30°．求证：四边形ABCD是勾股四边形．



23．已知：如图，∠EOF＝60°，在射线OE上取一点A，使OA＝10cm，在射线OF上取一点B，使OB＝16cm．以OA、OB为邻边作平行四边形OACB．若点P在射线OF上，点Q在线段CA上，且CQ：OP＝1：2．设CQ＝a（a＞0）．
（1）连接PQ，当a＝2时，求线段PQ的长度．
（2）若以点P、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求a的值．
（3）连接PQ，以PQ所在的直线为对称轴，作点C关于直线PQ的对称点C'，当点C′恰好落在平行四边形OACB的边上或者边所在的直线上时，直接写出a的值．


绍初教育集团2021-2022学年第二学期期中学业评价试卷
八年级数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中是中心对称图形的是（　　）

【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：A．
2．下列计算中正确的是（　　）
A．2﹣＝1
B．＝±13
C．＝﹣1
D．＝﹣＝5﹣4＝1
【分析】根据合并同类二次根式的法则、二次根式的化简，分别进行各选项的判断即可．
【解答】解：A、2﹣＝，原式计算错误，故本选项错误；
B、＝13，原式计算错误，故本选项错误；
C、＝﹣1，原式计算正确，故本选项正确；
D、＝3，原式计算错误，故本选项错误；
故选：C．

3．方程x（x+1）＝5（x+1）的根是（　　）
A．﹣1 B．5 C．1 或5 D．﹣1或5
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：移项得：x（x+1）﹣5（x+1）＝0，
（x+1）（x﹣5）＝0，
x+1＝0，x﹣5＝0，
x1＝﹣1，x2＝5，
故选：D．
4．已知数据1，2，3，3，4，5，则下列关于这组数据的说法错误的是（　　）
A．众数是3 B．平均数是3 C．方差是2 D．中位数是3
【分析】分别求出这组数据的平均数、中位数和众数、方差即可求解．
【解答】解：六个数中3出现了两次，次数最多，即众数为3；
由平均数的公式得平均数＝（1+2+3+3+4+5）÷6＝3；
方差＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝；
将六个数按从小到大的顺序排列得到中间两个数均为，则中位数为＝3．
故选：C．
5．在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（　　）
A．a（1﹣x）2＝70%a B．a（1+x）2＝70%a
C．a（1﹣x）2＝30%a D．30%（1+x）2a＝a
【分析】设每半年平均每周作业时长的下降率为x，根据现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，列方程即可得到结论．
【解答】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x，可列方程为a（1﹣x）2＝30%a，
故选：C．
6．在平面直角坐标系中，若直线y＝x+k不经过第四象限，则关于x的方程x2+x﹣k＝0的实数根的情况为（　　）
A．无解 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．无法确定
【分析】由直线解析式求得k≥0，然后确定Δ的符号即可．
【解答】解：∵直线y＝x+k不经过第四象限，
∴k≥0，
当k＝0时，方程kx2+x﹣1＝0是一次方程，有一个根，
当k＞0时，
∵关于x的方程x2+x﹣k＝0，
∴Δ＝12+4k＞0，
∴关于x的方程kx2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
故选：B．
7．将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有（　　）
A．2种 B．4种 C．8种 D．无数种
【分析】根据平行四边形的中心对称性，可知这样的折纸方法有无数种．
【解答】解：因为平行四边形是中心对称图形，任意一条过平行四边形对角线交点的直线都平分四边形的面积，则这样的折纸方法共有无数种．
故选：D．
8．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝60°，则一定有（　　）
A．∠ADE＝20° B．∠ADE＝30°
C．∠ADE＝∠EDC D．∠ADE＝∠EDC
【分析】利用三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，分别表示出∠A，∠B，∠C，根据∠A＝∠B＝∠C，得到∠ADE＝∠EDC，因为∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠EDC＝∠EDC，所以∠ADE＝∠ADC，即可解答．
【解答】解：如图，
在△AED中，∠AED＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝120°﹣∠ADE，
在四边形DEBC中，∠DEB＝180°﹣∠AED＝180°﹣60°＝120°，
∴∠B＝∠C＝（360°﹣∠DEB﹣∠EDC）÷2＝120°﹣∠EDC，
∵∠A＝∠B＝∠C，
∴120°﹣∠ADE＝120°﹣∠EDC，
∴∠ADE＝∠EDC，
故选：C．

9．将一组数据，，3，2，，…，3，按下面的方法进行排列：
，，3，2，；
3，，2，3，；
……
若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中的位置记为（　　）
A．（6，4） B．（5，3） C．（5，2） D．（6，5）
【分析】由题意可知，每行5个数，数的被开方的规律是3n，由此可得是第29个数，进而判断是第6行的第4个数．
【解答】解：由题意可知，每行5个数，
∵87＝3×29，
∴是第29个数，
∵29÷5＝5…4，
∴是第6行的第4个数，
∴的位置记为（6，4），
故选：A．

10．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝6，E，F分别是边AC，BC上的动点，当四边形DEBF为平行四边形时，该四边形的面积是（　　）

A．3 B．6 C． D．81
【分析】由平行四边形的性质可得∠DEC＝∠ACB＝90°，由等腰直角三角形的性质可得AE＝CE＝DE，根据含30°的直角三角形的性质可求解AC的长，即可求得DE＝CD＝，利用四边形的面积公式可求解．
【解答】解：由题意得，当四边形DEBF为平行四边形时，BC∥DE，
∴∠DEC＝∠ACB＝90°，
∵AD＝CD，
∴AE＝CE＝DE，
∵∠BAC＝30°，AB＝6，
∴BC＝3，AC＝9，
∴DE＝CE＝，
∴四边形DEBF的面积为：DE•CD＝，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．要使式子有意义，则x的取值范围是 　x≥7　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得：2x﹣14≥0，
解得：x≥7，
故答案为：x≥7．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是　七　边形．
【分析】根据多边形的外角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝900°，
解得n＝7．
故答案为：七．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
13．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则3a+6b的值为
【分析】将x＝1代入原方程即可求出a+2b＝﹣1，然后整体代入所求的代数式进行求值即可．
【解答】解：将x＝1代入原方程可得：1+a+2b＝0，
∴a+2b＝﹣1，
∴3a+6b＝3（a+2b）＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于210°，则∠BOD的度数为　30°　．

【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，即可求得∠BOD．
【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为210°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+210°＝4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝510°，
∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，
∴∠BOD＝540°﹣510°＝30°．
故答案为：30°
15．甲、乙、丙三位同学进行立定跳远比赛，每人轮流跳一次称为一轮，每轮按名次从高到低分别得3分、2分、1分（没有并列名次）．他们一共进行了五轮比赛，结果甲共得14分；乙第一轮得3分，第二轮得1分，且总分最低．那么丙得到的分数是　9分　．
【分析】甲共得14分．那么甲应是4次都得最高分3分，一次得2分，乙第一轮得3分，第二轮得1分，那么剩下的分数只有4个2分，4个1分．丙的5场比赛最好成绩是得4个2分，一个1分，共9分，那么乙得分是3+4＝7分，符合总分最低．
【解答】解：由于共进行了5轮比赛，且甲共得14分．那么甲的5次得分应该是4次3分，一次2分；
已知乙第一轮得3分，第二轮得1分，那么可确定的甲、乙、丙的得分为：
甲：①2分，②3分，③3分，④3分，⑤3分；
乙：①3分，②1分；
丙：①1分，②2分；
因此乙、丙的后三轮比赛得分待定，由于乙的得分最低，因此丙的得分情况必为：
丙：①1分，②2分，③2分，④2分，⑤2分；即丙的总得分为1+2+2+2+2＝9分．
故答案为9．
【点评】本题主要考查整数问题的综合应用，解决本题的关键是判断出剩余场数及相应的分数．
16．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　②③　（填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程．
【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程，
②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合，
③当p，q满足pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程．
【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴x1＝﹣，x2＝﹣q，
∴x2＝﹣q＝﹣＝2x1，
因此是倍根方程，
故③正确，
故答案为：②③
【点评】考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．（1）；
（2）．
【分析】（1）由题意去先去绝对值，然后进行零指数幂和负指数幂的计算，最后再进行加减乘除运算；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算．
【解答】解：（1）（2）原式＝2+3×1﹣3+1
＝5﹣3+1
＝3．；
（2）原式＝2×（5+﹣4）
＝2×2
＝12．

18．解方程：
（1）x2﹣8x﹣1＝0
（2）（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+8＝0
【分析】（1）移项，把方程的常数项移到方程右边，然后方程左右两边加上一次项系数一半的平方，则左边的完全平方式，右边是常数，即可开方求解；
（2）把x﹣2看作整体，因而可以用因式分解法求解，也可以设x﹣2＝a，利用换元法解方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣8x＝1，
x2﹣8x+16＝17，
（x﹣4）2＝17，
，
∴，．
（2）解法一：将方程变形为：（x﹣2﹣2）（x﹣2﹣4）＝0，
∴x1＝6，x2＝4．
解法二：设x﹣2＝a，则原方程变为：a2﹣6a+8＝0，
（a﹣2）（a﹣4）＝0，
a1＝2，a2＝4，
∴x1＝4，x2＝6．
19．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，求△DOE的周长．

【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB＝OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE＝BC，所以易求△DOE的周长．
【解答】解：∵▱ABCD的周长为36，
∴2（BC+CD）＝36，则BC+CD＝18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝12，
∴OD＝OB＝BD＝6．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE＝CD，
∴OE＝BC，
∴△DOE的周长＝OD+OE+DE＝BD+（BC+CD）＝6+9＝15，
即△DOE的周长为15．
【点评】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．
20．2021年12月9日，神舟十三号乘组三位航天员首次在中国空间站进行太空授课，传播载人航天知识．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行科普知识竞赛（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：
A．80≤x＜85；B．85≤x＜90；C．90≤x＜95；D.95≤x≤100
其中，七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表

根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次比赛中 　八　年级成绩更稳定；
（2）直接写出上述a、b、c的值：a＝　40　，b＝　96　，c＝　93　；
（3）该校八年级共1000人参加了此次科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数是多少？

【分析】（1）根据方差的意义即可得出答案；
（2）用360°乘以D所占的百分比，求出a，再根据众数和中位数的定义即可得出答案；
（3）用该校八年级的人数乘以成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）∵七年级成绩的方差为52，八年级成绩的方差为50.4，
∴八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，
∴八年级成绩更平衡，更稳定；
故答案为：八；

（2）∵八年级学生成绩落在C组人数所占百分比为3÷10×100%＝30%，
∴a%＝1﹣（20%+10%+30%）＝40%，即a＝40；
将七年级成绩出现最多的是96，
所以其众数b＝96，
八年级A、B组人数共有10×（10%+20%）＝3（人），
∴八年级成绩的第5、6个数据分别为92、94，
所以八年级成绩的中位数c＝＝93，
故答案为：40、96、93；

（3）根据题意得：
1000×（1﹣20%﹣10%）＝700（人），
答：估计参加此次知识竞赛活动成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数是700人．
21．北京冬奥会开幕日的前期，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
（2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年1月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．

【分析】（1）设月平均增长率为x，利用2021年12月的销量＝2021年10月的销量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用2022年1月的销量＝2021年12月的销量×（1+月平均增长率），即可求出2022年1月“冰墩墩”的销量．
【解答】解：（1）设月平均增长率为x，
根据题意，得3（1+x）2＝3.63，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1 （不合题意，舍去）．
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%．

（2）假设保持相同的月平均增长率，那么2022年1月“冰墩墩”的销量为：3.63×（1+10%）＝3.63×1.1＝3.993（万件）．
答：2022年1月“冰墩墩”的销量为3.993万件．
22．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

（1）如图甲，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0）A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；
（2）如图乙，若C（1，2），那么在图中所有格点中是否能找到一点D，使以CA、CB为勾股边的四边形ACBD是勾股四边形．如果能找到，请写出D点的坐标（不需要证明）；
（3）如图丙，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，△ABD是等边三角形，∠DCB＝30°．求证：四边形ABCD是勾股四边形．
【分析】（1）根据勾股四边形的定义以及四边形是以OA、OB为勾股边且对角线相等的四边形，进而得出答案；
（2）利用勾股四边形的定义得出符合要求的点即可；
（3）首先过点C作EC⊥DC于点C，使EC＝BC，连接DE，BE，得出△BCE是等边三角形，进而得出△ABC≌△DBE（SAS），即AC＝ED，即可得出答案．
【解答】（1）解：如图甲所示：P，P′都是符合要求的点；

（2）解：如图乙所示：
D（3，5），D′（4，4），D″（4，0）都是符合要求的点；

（3）证明：
如图丙，过点C作EC⊥DC于点C，使EC＝BC，连接DE，BE，
∵∠DCB＝30°，
∴∠3＝60°，
∵BC＝EC，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE＝EC，∠2＝60°，
∴∠ABD+∠1＝∠2+∠1，
即∠DBE＝∠ABC，
∵在△ABC和△DBE中

∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴AC＝ED，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2，
即四边形ABCD是勾股四边形．


23．已知：如图，∠EOF＝60°，在射线OE上取一点A，使OA＝10cm，在射线OF上取一点B，使OB＝16cm．以OA、OB为邻边作平行四边形OACB．若点P在射线OF上，点Q在线段CA上，且CQ：OP＝1：2．设CQ＝a（a＞0）．
（1）连接PQ，当a＝2时，求线段PQ的长度．
（2）若以点P、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求a的值．
（3）连接PQ，以PQ所在的直线为对称轴，作点C关于直线PQ的对称点C'，当点C′恰好落在平行四边形OACB的边上或者边所在的直线上时，直接写出a的值．

【分析】（1）如图1，作辅助线，构建直角三角形，计算PM和MQ的长，利用勾股定理可得PQ的长；
（2）分两种情况：
①当P在边OB上时，如图2，四边形PBCQ是平行四边形，
②当P在OB的延长线上时，如图3，四边形BPCQ是平行四边形，
分别根据PB＝CQ列方程可得结论；
（3）存在三种情况：①如图4，当C'在边AC上时，PQ⊥AC，过B作BD⊥AC于D时，则BD∥PQ，
②如图5，当C'在边OB上时，连接PC、CC'、C'Q，过C作CR⊥OP于R，
③如图6，当C'在直线CB上时，连接PC、CC'、C'Q，
分别根据对称性和直角三角形的性质列方程可得结论．
【解答】解：（1）如图1，过A作AN⊥OB于N，过B作BD⊥AC于D，过Q作QM⊥OF于M，则AN∥BD∥MQ，
Rt△AON中，∠AOB＝∠EOF＝60°，OA＝10，
∴ON＝OA＝5，AN＝5，
同理得：CD＝5，BD＝5，
∵四边形OACB是平行四边形，
∴OB∥AC，
∴MQ＝BD＝5，
当a＝2时，CQ＝2，OP＝4，
∴BM＝DQ＝5﹣2＝3，
∴PM＝PB+BM＝16﹣4+3＝15，
Rt△PMQ中，由勾股定理得：PQ＝＝＝10（cm）；
（2）分两种情况：
①当P在边OB上时，如图2，四边形PBCQ是平行四边形，
∴PB＝CQ，
即16﹣2a＝a，
a＝；
②当P在OB的延长线上时，如图3，四边形BPCQ是平行四边形，

∴PB＝CQ
即2a﹣16＝a，
a＝16，此时Q与A重合，
综上，a的值为或16；
（3）分三种情况：
①如图4，当C'在边AC上时，PQ⊥AC，过B作BD⊥AC于D时，则BD∥PQ，

∴PB＝QD，
16﹣2a＝a﹣5，
3a＝21，
a＝7；
②如图5，当C'在边OB上时，连接PC、CC'、C'Q，过C作CR⊥OP于R，
∵C与C'关于PQ对称，
∴PQ是CC'的垂直平分线，
∴PC＝PC'，CQ＝C'Q，
∴∠PCC'＝∠PC'C，
∵AC∥OP，
∴∠PC'C＝∠QCC'，
∴∠QCC'＝∠PCC'，
∵CC'⊥PQ，
∴PC＝CQ＝a，
∵OP＝2a，
∴BP＝2a﹣16，
Rt△BCR中，∠CBR＝60°，
∴∠BCR＝30°，
∵BC＝10，
∴BR＝5，CR＝5，
∴PR＝5﹣（2a﹣16）＝21﹣2a，
由勾股定理得：，
a＝14+2（舍）或14﹣2；
③如图6，当C'在直线CB上时，连接PC、CC'、C'Q，
Rt△PBR中，∠PBR＝60°，
∴∠BPR＝30°，
∵PB＝2a﹣16，
∴BR＝BP＝a﹣8，
同理得：CR＝CQ＝a，
∵BC＝BR+CR，
∴a﹣8+a＝10，a＝12，
综上，a的值为7或14﹣2或12．