2021-2022学年四川省遂宁市高二上学期期末考试数学（理）试题含答案

四川省遂宁市2021-2022学年高二上学期期末考试

数学（理  科）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知三维数组，，且，则实数k的值为

A．-2 B．2           C．          D．-9

2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是

A．至少有一个黑球与都是红球 

B．至少有一个红球与都是红球

C．至少有一个红球与至少有1个黑球 

D．恰有1个红球与恰有2个红球

3．已知直线和直线互相平行，则等于

A．            B． C．1          D．0

4．设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，且，，下列命题正确的是

A．如果，那么 B．如果，那么

C．如果，那么 D．如果，那么

5．过点可以向圆引两条切线，则的范围是

A．     B． C．      D．

6．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学．“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，若输入的，分别为91，39，则输出的

A．3        B．7            C．13         D．21

7．在直三棱柱中，已知，AB = BC=2， ，

则异面直线所成的角为

A．30°        B．60°         C．75°       D．90°

8．甲､乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所

示：下列说法错误的是

A．从平均数和方差相结合看，甲

   波动比较大，乙相对比较稳定

B．从折线统计图上两人射击命中环

数走势看，甲更有潜力

C．从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好

D．从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好

9．若直线与圆的两个交点关于直线

    对称，则，的值分别为

A．，              B．，  

C．，           D．，

10．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6个小时，假定它们在一昼夜的时间中随机到达，若两船有一艘在停泊位时，另一艘船就必须等待，则这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率为

A．         B．         C．         D．

11．已知三棱锥所有顶点都在球的球面上，且平面，若，则球的表面积为

A．       B．         C．        D．

12．已知是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若不等式的解集为区间，且，则　　

A．        B．        C．2          D．

第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）

注意事项：

1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为01，02，…，80的80个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为03，13，…则样本中的最后一个个体编号是  ▲  .

14．若实数、满足约束条件 ，则的最小值是

  ▲  ．

15．已知直线：，点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为  ▲  .

16．已知三棱锥中，为中点，平面，

，，则下列说法中正确的序号为  ▲  .

①若为的外心，则；

②若为等边三角形，则；

③当时，与平面所成角的范围为；

④当时，为平面内动点，若平面，则在内的轨迹长度为2.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题10分）

已知ABC的顶点．

（1）求高所在直线的方程；

（2）求ABC的面积．

18．（本小题12分）

某小型企业生产甲产品的投入成本x（单位：万元）与产品销售收入y（单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次该产品的相关数据.

（1）求y关于x的线性回归方程；

（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大，

相关公式：毛利率

，.

19．（本小题12分）

如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，点在线段上

且.

（1）证明直线平面;

（2）证明直线平面.

20．（本小题12分）

某中学举行了一次诗词竞赛.组委会在竞赛后，从中抽取了部分选手的成绩（百分制）作为样本进行统计，作出了茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：

（1）求样本容量、抽取样本成绩的中位数及分数在内的人数；

（2）若从分数在和内的学生中任选两人进行调研谈话，求至少有一人分数在内的概率．

21．（本题满分12分）

如图，直三棱柱中，，，，点P在线段上．

（1）若P为的中点．证明：平面；

（2）是否存在点P，使得平面与平面ABC所成的二面角为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.

22．（本题满分12分）

①圆心C在直线上，圆C过点B (1，5)；②圆C过直线和圆的交点；在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．已知圆C经过点A(6，0)，且  ▲  .

（1）求圆C的标准方程；

（2）过点P (0，1)的直线与圆C交于M，N两点

①求弦M N中点Q的轨迹方程；

②求证为定值.

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

遂宁市高中2023届第三学期教学水平监测

数学（理科）试题参考答案及评分意见

一、选择题（5×12=60分）

二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）

13. 73           14. ４           15.            16. ①③④

三、解答题（本大题70分）

17.（本小题10分）

解：（1）依题意可得直线的斜率．…………………………………1分

由得：，，…………………………………………3分

故直线的方程为：，即：．…………………………5分

（2）依题意直线的方程为，， ………7分

点到直线的距离…………………………………………9分

所以 ……………………………………………10分

18．（本小题12分）

解:（1）由题意，.………………………………………………………………2分

，……………………………………………3分

，  ………………4分

，…………………………………………………………5分

故y关于x的线性回归方程为.  或………………………6分

（2）当时，，对应的毛利率为，……………………………………………………………8分

当时，，对应的毛利率为，…………………10分

故投入成本12万元的毛利率更大. …………………………………………………12分

19．（本小题12分）

解：（1）证明：连接AC交BD于点O，连OE

,

得,   ………………………………………………2分

又因为 …………………………………4分

又、

  …………………………………………6分

（2）因为平面，平面，

所以，…………………………………………8分

又由，且是直角梯形，

可得，可得，

所以，…………………………………………10分

又因为，且平面，

所以平面. …………………………………………………………………12分

20．（本小题12分）

解析：（1）分数在内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在内同样有人．

由， ，……………………………………………………………2分

茎叶图可知抽测成绩的中位数为．…………………………………………………4分

分数在之间的人数为

样本容量，中位数为73，分数在内的人数为人……………………6分

（2）设“若从分数在和内的学生中任选两人进行调研谈话，至少有一人分数在内”为事件。……………………………………………………………7分

将内的人编号为；内的人编号为

在和内的任取两人的基本事件为：共15个

其中，至少有一人分数在内的基本事件：:共9个，……………………………………………………………………………………10分

故所求的概率得……………………………………………………12分

21．（本小题12分）

（1）证明：在中，∵，，，

∴，                                

又直三梭柱中，，则为正方形， ………………1分

设交于点O，则O为的中点，且． 

连接PA，，PO，∵侧棱底面ABC，P为的中点，

则，，

故．∴，……………………………………………………………4分

∵，且PO，平面，

∴平面．……………………………………………………………………6分

（2）以点为坐标原点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，设，其中，，则，…7分

故，

设平面的法向量为，                                

则有，即，

令，则，，故，…………………………………………………………………9分

平面的一个法向量为，……………………………………………10分

因为平面与平面所成的二面角为，

所以，

解得…………………………………………………………………11分

故在线段上不存在点，使得平面与平面所成的二面角为 …12分

22．（本小题12分）

解：（1）选①条件：设所求圆的方程为，

由题意得解得，，，

所以所求圆的方程是.…………………………………………4分

选②条件：因为圆C过直线和圆的交点，所以设圆C的方程为，

因为圆C过点A（6，0），将点A的坐标代入方程，解得，

所以圆C的方程是，即…………………4分

（2）①设，圆心C（3，2）

    由题意可知：得………………………………………………………………7分

②当直线的斜率不存在时，直线：交圆C得， …………………………………………………………………………8分

当直线的斜率存在时，设直线：，设

则

消元得，其中

则,，………………………………………………………10分

∴，

综上所述：＝－3∴为定值. ………………………………………12分