2022届四川省成都市第七中学高三下学期入学考试数学（理）试题含解析

2022届四川省成都市第七中学高三下学期入学考试

数学（理）试题

一、单选题

1．集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得结果.

【详解】由得，解得，则，

由可得，解得，则，

因此，.

故选：A.

2．已知复数，，则（       ）

A． B． C．0 D．1

【答案】B

【分析】由复数除法法则求得复数z即可求得的值.

【详解】由，可得

又，则，则

故选：B

3．已知，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用二倍角公式以及弦化切可求得所求代数式的值.

【详解】.

故选：B.

4．在成都市“高三第一次诊断性”考试后，各班级都有外出学习艺体的同学回归校园学习文化课.假设某位回归校园的同学的“一诊”数学成绩刚好是班级平均分，则对该班级的数学成绩，下列说法正确的是（       ）

A．平均分变大，方差不变 B．平均分变小，方差不变

C．平均分不变，方差变大 D．平均分不变，方差变小

【答案】D

【分析】依据平均数和方差的定义去判断即可解决.

【详解】设该班原有n位同学，数学成绩记为

原平均分，

原方差

该同学回归校园后新平均分，即平均分不变.

该同学回归校园后新方差

，即方差变小.

故选：D

5．已知向量，满足，则（       ）

A． B． C．3 D．7

【答案】A

【分析】依据向量模的运算公式及向量的数量积的运算法则去计算即可解决.

【详解】由

得，解之得

则

故选：A

6．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题是真命题的个数为（       ）

命题①：若，，则             命题②：若，，则

命题③：若，，则             命题④：若，，则

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D

【分析】由线面平行的性质定理及面面垂直、线面垂直的性质定理入手，依据线面平行、面面平行、线面垂直的判定定理去判定推理即可解决.

【详解】命题①：若，，则或与相交.判断错误；

命题②：若，，则由线面垂直的性质可得.判断正确；

命题③：若，，则与相交或或.判断错误；

命题④：若，，则与相交或平行或.判断错误.

故选：D

7．已知是奇函数，则下列等式成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】依据奇函数定义去判断与之间的关系，以及与之间的关系、与之间的关系，即可解决.

【详解】是奇函数，

则有，即，

故选项A判断正确；选项B判断错误；

把函数的图像向左平移1个单位长度再向下平移1个单位长度，可以得到函数的图像，

则由函数有对称中心，可知函数有对称中心.

选项C：由，可得函数的周期为2.判断错误；

选项D：由，可得函数有对称轴.判断错误.

故选：A

8．已知数列与数列，其中.它们的公共项由小到大组成新的数列，则的前项的和为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分析可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得结果.

【详解】数列的各项为：、、、、、、、、、、，

数列的各项为：、、、、、、、、、、，

由题意可知，数列的各项为：、、、，

所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，

因此，数列的前项的和为.

故选：D.

9．某医院分配3名医生6名护士紧急前往三个小区协助社区做核酸检测.要求每个小区至少一名医生和至少一名护士.问共有多少种分配方案？（       ）

A．3180 B．3240 C．3600 D．3660

【答案】B

【分析】分三种情况进行分类讨论，依据先分组再分配原则解决“至少”问题.

【详解】每个小区至少一名护士，则把护士分为3组，共有3种情况：1,1,4；1,2,3；2,2,2

把护士分为3组，3组人数分别为1,1,4，共有种分法，再分配给3个小区，有

种分法.每个小区1名医生有种分法，则分配方案数为；

把护士分为3组，3组人数分别为1,2,3，共有种分法，再分配给3个小区，有

种分法.每个小区1名医生有种分法，则分配方案数为；

把护士分为3组，3组人数分别为2,2,2，共有种分法，再分配给3个小区，有

种分法.每个小区1名医生有种分法，则分配方案数为

综上，分配方案总数为

故选：B

10．在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面.若，，则这个四棱锥的外接球表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求得四棱锥的外接球的半径，再去求外接球表面积即可解决.

【详解】取BC中点E，连接EA、ED，取PC中点H，连接EH、BH，

等腰梯形中，，，

则有，则四边形为平行四边形，

则，又，则为等边三角形，

则，则△为等边三角形

则，故点E为等腰梯形的外接圆圆心，

△中，，则

又底面，则底面，

又，

即，

故点H为四棱锥的外接球球心，

球半径

则四棱锥外接球表面积为

故选：C

11．已知椭圆的左右焦点分别为，，椭圆上有两点，（点A在x轴上方），满足，若，则直线的斜率为（       ）

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】因为，所以设，根据比例关系和椭圆的定义分别求出，的长，由勾股定理可知，在中，求的值即为直线的斜率，计算正切值即可求出结果.

【详解】解：因为，所以设，则有，根据椭圆定义：，可知：，，因为，所以，即，解得：

所以，，在中，即为直线的斜率，又，所以直线的斜率为2.

故选：C.

12．已知函数有两个零点，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】显然需要参数分离，将原题改造成为，求与有两个交点。

【详解】由得到：；

令，由题意可以看做是与有两个交点；

则，其中，，

是单调递减的，并且时，=0；

因此函数存在唯一零点，；

当时，；时，；；

得如下函数图像：

显然当时，与有两个交点；

故答案为：B.

二、填空题

13．在的二项展开式中，第______项为常数项.

【答案】7

【分析】直接利用二项式的通项公式，令的指数为0，求出即可．

【详解】解：的二项展开式的通项为，令，解得，即时，二项展开式为常数项，即第7项是常数项．

故答案为：7．

14．数列的前项和为，若，，，则的通项公式为______.

【答案】

【分析】由数列通项与前项和的相互关系解之即可.

【详解】由，得，两式相减得

又由，，可得，即

故数列从第二项起为公比为4的等比数列，

则的通项公式为

故答案为：

15．双曲线上有一点.过点作渐近线的平行线交另一渐近线于点，若的面积为（点为坐标原点），则双曲线的离心率为______.

【答案】2

【分析】设为双曲线上任一点，过且平行于的直线为方程为，与渐近线的交点为，可求解，点到的距离，由，即可得解

【详解】由双曲线方程可得渐近线方程为：

设为双曲线上任一点，设过且平行于的直线为

则的方程为：，

与渐近线的交点为

则

点到的距离为：

故

故答案为：2

16．已知实数，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为______.

【答案】

【分析】由已知条件得出，，进而可知与是关于的方程的两根，构造函数，分析该函数的单调性，可得出，化简整理可求得的值.

【详解】解：因为实数、满足，，

所以，，，即，

所以，与是关于的方程的两根，

构造函数，该函数的定义域为，且该函数为增函数，

由于，所以，，

，即，即，解得.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用指数与对数的互化求代数式的值，解题的关键在于由已知等式化简得出与是关于的方程的两根，转化利用函数的单调性来得出，同时也要注意将根代入方程，得出关系式进而求解.

三、解答题

17．在非直角中，角，，对应的边分别，，，满足.

(1)判断的形状；

(2)若边上的中线长为2，求周长的最大值.

【答案】(1)等腰三角形

(2)

【分析】（1）由正弦定理结合条件可得或，又为非直角，从而判断三角形为等腰三角形；

（2）在△ABD和△ABC中，由余弦定理可得，设，，将周长的最大值转化为三角函数的最大值问题，可求得结果．

【详解】(1)，

，

可得．

即

根据正弦定理，得．代入式，化简得．

即，为外接圆的半径）

化简得，

或，即或，又非直角，

因此是等腰三角形．

(2)在△ABD和△ABC中，

由余弦定理可得，又，

所以，所以，

设，，，

所以△ABC的周长2a+ c=，

所以当时，2a+ c有最大值为,

即△ABC周长的最大值为.

18．在三棱锥中，，，，且.

(1)证明：平面平面；

(2)求钝二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，连接，过作于，交于，连接，则由已知数据可求出，则可得，再由∽，可求出，然后在中利用余弦定理可求出，从而可得，然后利用线面垂直定理和面面垂直定理可证得结论，

（2）过作于，过作于，交于，连接，则即为二面角的平面角，然后根据已知条件在中求解即可

【详解】(1)证明：取的中点，连接，过作于，交于，连接，

因为，为的中点，所以，

因为，， ，

所以，所以，

所以，

在中，，

因为,

所以∽，

所以，

因为， ，，

所以，

所以，

因为，

所以，解得，

所以，

所以，

因为，所以平面，

因为平面，

所以平面平面；

(2)过作于，过作于，交于，连接，则即为二面角的平面角，

在中，于，，

所以，所以，

因为 ，所以，

所以，

在中，，

在中，，

所以,

所以,

在中，，则,

在中，,

所以,

所以钝二面角的余弦值为

19．目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏着”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.

（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；

（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关：

（3）研究发现，有5种药物对新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这2种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是600元，设所需要的试验费用为X，求X的分布列与数学期望.

附表及公式:

【答案】(1) 这500名患者潜伏期的平均数为6，这500名患者中“长潜伏者”的人数为250；(2)列联表见解析，有的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关；(3)分布列见解析，.

【分析】(1)利用各区间的中点值乘该区间的面积相加可得这500名患者潜伏期的平均数，由频率分布表确定样本中“长潜伏者”的频率，由此计算这500名患者中“长潜伏者”的人数；(2)补充列联表，并根据列联表数据计算的值，查表确定临界值，半径两者大小，确定是否接受假设，(3)由条件确定随机变量X的所有可能取值，并求取各值的概率，由此可得X的分布列，再根据期望的定义求的值.

【详解】(1) 这500名患者潜伏期的平均数可表示为：，

∴   这500名患者潜伏期的平均数为6，

“长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的人，由频率分布直方图可得这500名患者中“长潜伏者”的频率为(0.18+0.03+0.03+0.01)×2，即0.5，

∴   这500名患者中“长潜伏者”的人数为250，

(2)∵   500名患者中“长潜伏者”的人数为250，

由分层抽样性质可得，抽取300人中“长潜伏者”有人，即150人，所以“短潜伏者”有150人，又300人中60岁以上的人有160人，故60岁以下的人有140人，

∴   列联表为：

∴   ，

又查表可得，5.357>5.024

∴   有的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关；

(3)由已知可得随机变量X的可能取值有1200，1800，2400，

，，，

∴X的分布列为：

∴   .

20．把抛物线沿轴向下平移得到抛物线.

(1)当时，过抛物线上一点作切线，交抛物线于，两点，求证：；

(2)抛物线上任意一点向抛物线作两条切线，从左至右切点分别为，.直线交从左至右分别为，两点.试判断与的大小关系，并证明.

【答案】(1)证明见解析；

(2)，理由见解析.

【分析】(1)根据给定条件求出抛物线在点处切线方程，再将此切线与抛物线的方程联立，计算线段AB中点坐标即可得解.

(2)设出过点M的抛物线的切线方程，与抛物线的方程联立，借助韦达定理求出点C，D坐标，进而

求出直线CD方程，把直线CD与抛物线的方程联立，计算线段CD与EF的中点坐标推理作答.

【详解】(1)当时，，显然抛物线在点处切线斜率存在，设切线AB方程为，

由消去y并整理得：，则，解得，

于是得切线AB的方程为：，抛物线，，

由消去y并整理得：，显然，

设，则，线段的中点坐标为与切点P重合，即点P是线段AB中点，

所以.

(2)显然过点M的抛物线的切线斜率存在，设此切线方程为：，且，

由消去y并整理得：，

，关于的方程，

于是得切线的斜率是方程的两个不等实根，分别令为，有，

切点C的横坐标是方程的等根，则点，

同理可得切点，则直线斜率为，

直线：，由消去y并整理得：

，即，

，

设直线CD与抛物线的交点，则，即线段中点横坐标为，

又线段的中点横坐标为，因此，线段与有相同中点，

由题意知，即，因此的底边与的底边相等，高都是点M到直线CD的距离，

所以与的面积相等，即.

【点睛】结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；抛物线在点处的切线斜率.

21．已知函数.

(1)若在上为增函数，求实数的取值范围；

(2)当时，方程有实根，求实数的取值范围.

【答案】(1).

(2).

【分析】（1）求导函数，将问题等价于在上恒成立，分，讨论，令，由二次函数的性质得，求解即可；

（2）问题等价于在上有解，即求函数的值域，令，求导函数，分析导函数的符号，得出函数的单调性和最值，由此可求得b的取值范围.

【详解】(1)解：因为，所以，

又在上为增函数，所以在上恒成立，

若，则，又因为，所以，此时函数在上是增函数，所以符合题意；

若，由对恒成立得，所以对恒成立，

令，其对称轴为，

因为，所以，从而在上是增函数，

所以只需要即可，即成立，解得，又因，所以，

综上得实数的取值范围为；

(2)解：若时，方程，得，

即在上有解，

即求函数的值域，

，令，

则时，，所以在上单调递增，时，，所以在上单调递减，

又，故，而，

故存在，使得，

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减；

当时，，又，

所以，所以b的取值范围为.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

22．以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为，倾斜角为的直线过点，点的极坐标为.

(1)求曲线的普通方程和直线的参数方程；

(2)若与交于，两点，且点为的中点，求点的极坐标.

【答案】(1)曲线的普通方程；直线的参数方程 为参数；

(2)或.

【分析】（1）根据，即可求得的普通方程；求得的直角坐标，即可直接写出直线的参数方程；

（2）联立直线的参数方程 以及曲线的普通方程，利用参数的几何意义，即可求得点的坐标.

【详解】(1)曲线：，故可得，即；

设点的直角坐标为，则，

则倾斜角为且过点的参数方程为： 为参数

(2)因为与交于，两点，故联立与，

可得，其，设对应参数，

则，由点为的中点，可得，

故可得，，满足，

或，

故点的直角坐标为或，故点的极坐标为或.

23．已知，，.

(1)求的范围；

(2)证明：.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）利用基本不等式可求得的取值范围；

（2）由已知可得出，令，将所证不等式等价转化为，通分、因式分解后判断符号，即可证得结论成立.

【详解】(1)解：因为，，则，由基本不等式可得，可得，

当且仅当时，等号成立，故.

(2)证明：因为，所以，，

要证，即证，

即证，

令，即证，

因为

，

故原不等式得证.