2023届高考一轮复习加练必刷题第95练　高考大题突破练——概率与统计问题【解析版】

第95练　高考大题突破练——概率与统计问题

考点一　离散型随机变量及其分布列

1．某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所辖企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果：

已知从这560家企业中随机抽取1家，抽到支持技术改造的企业的概率为.

(1)依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关系；

(2)从上述支持节能降耗的中小型企业中按分层随机抽样的方法抽出12家企业，然后从这12家企业选出9家进行奖励，分别奖励中型企业50万元，小型企业10万元．设ξ为所发奖励的金额，求ξ的分布列和均值．

附：χ2＝，

n＝a＋b＋c＋d.

解　(1)因为从这560家企业中随机抽取1家，抽到支持技术改造的企业的概率为.所以支持技术改造的企业共有560×＝320(家)，故2×2列联表为

所以χ2＝≈5.657>3.841.

故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，可以认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关系．

(2)由(1)可知支持节能降耗技术改造的企业中，中型企业与小型企业的比为1∶3.所以按分层随机抽样的方法抽出的12家企业中有3家中型企业，9家小型企业．选出的9家企业的样本点是(0,9)，(1,8)，(2,7)，(3,6)．(前者为中型企业家数，后者为小型企业家数)

ξ的所有可能取值为90(万元)，130(万元)，170(万元)，210(万元)．

P(ξ＝90)＝＝，

P(ξ＝130)＝＝，

P(ξ＝170)＝＝，

P(ξ＝210)＝＝，

故ξ的分布列为

所以E(ξ)＝90×＋130×＋170×＋210×＝180(万元)．

考点二　用样本估计总体

2．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2 000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间(满分150分)，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65,75)，第二组[75,85)，…，第八组[135,145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.

(1)求第七组的频率，并完成频率分布直方图；

(2)用样本数据估计该校的2 000名学生这次考试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值)；

(3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．

解　(1)由频率分布直方图得第七组的频率为

1－(0.004＋0.012＋0.016＋0.030＋0.020＋0.006＋0.004)×10＝0.080.

完成频率分布直方图如图所示．

(2)用样本数据估计该校的2 000名学生这次考试成绩的平均分为

70×0.004×10＋80×0.012×10＋90×0.016×10＋100×0.030×10＋110×0.020×10＋120×0.006×10＋130×0.008×10＋140×0.004×10＝102.

(3)样本成绩属于第六组的有0.006×10×50＝3(人)，样本成绩属于第八组的有0.004×10×50＝2(人)，

从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，样本点总数n＝10，

他们的分差的绝对值小于10分包含的样本点个数m＝4，所以他们的分差的绝对值小于10分的概率p＝＝＝.

考点三　成对数据的统计分析

3．(2020·全国Ⅱ)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得i＝60，i＝1 200，(xi－)2＝80，(yi－)2＝9 000，(xi－)(yi－)＝800.

(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；

(2)求样本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；

(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．

附：样本相关系数r＝，≈1.414.

解　(1)由已知得样本平均数为＝i＝60，

从而该地区这种野生动物数量的估计值为

60×200＝12 000.

(2)样本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相关系数为

r＝

＝＝≈0.94.

(3)分层随机抽样，根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层随机抽样．

理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关关系．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层随机抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．

4．为了解中学生课余观看某档热门综艺节目是否与性别有关，某中学一研究性学习小组从该校学生中随机抽取了n人进行问卷调查．调查结果表明：女生中喜欢观看该节目的人数占女生总人数的，男生中喜欢看该节目的人数占男生总人数的.随后，该小组采用分层随机抽样的方法从这n份问卷中继续抽取了5份进行重点分析，知道其中喜欢看该节目的有3人，

(1)现从重点分析的5人中随机抽取了2人进行现场调查，求这两人都喜欢看该节目的概率；

(2)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为“爱看该节目与性别有关”，则参与调查的总人数n至少为多少？

参考数据：

χ2＝，

其中n＝a＋b＋c＋d.

解　(1)记重点分析的5人中喜爱看该节目的为a，b，c，

不爱看的为d，e，从5人中随机抽取2人，

样本空间为{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)}，

则这两人都喜欢看该节目有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3个样本点，

∴P＝，即这两人都喜欢看该节目的概率为.

(2)∵ 进行重点分析的5人中，喜欢看该节目的有3人，故喜爱看该节目的总人数为n，不喜爱看该节目的总人数为n；

设这次调查问卷中女生总人数为a，男生总人数为b，a，b∈N*，

则由题意可得2×2列联表如下：

易得 a＝n，b＝n，

∴正整数n是25的倍数，设n＝25k，k∈N*，

则a＝12k，a＝4k，b＝3k，b＝6k，

则χ2＝＝k.

由题意得k≥6.635⇒k≥1.59，

∵k∈N*，∴kmin＝2，故nmin＝50.

故参与调查的总人数n至少为50.