2023届高考一轮复习加练必刷题第87练　两个计数原理、排列与组合【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第87练　两个计数原理、排列与组合【解析版】，共4页。试卷主要包含了已知n∈N*，则·…·等于等内容，欢迎下载使用。

考点一 分类加法计数原理和分步乘法计数原理
1．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343,12 521等．两位数的回文数有11,22,33，…，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是( )
A．40 B．30 C．20 D．10
答案 A
解析 由题意，若三位数的回文数是偶数，则末(首)位可能为2,4,6,8.如果末(首)位为2，中间一位数有10种可能；同理可得，如果末(首)位为4或6或8，中间一位数均有10种可能，所以满足题意的三位数的回文数共有4×10＝40(个)．
2．从6名学生中选4人分别从事A，B，C，D四项不同的工作，若甲、乙两人不能从事A工作，则不同的选派方法共有( )
A．280种 B．240种
C．180种 D．160种
答案 B
解析 从6名学生中选4人分别从事A，B，C，D四项不同工作共有6×5×4×3＝360(种),
甲、乙两人有一个从事A工作有2×5×4×3＝120(种),
∴不同的选派方法共有360－120＝240(种)．
3．(多选)已知集合A＝{－1,2,3,4}，m，n∈A，则对于方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1的说法正确的是( )
A．可表示3个不同的圆
B．可表示6个不同的椭圆
C．可表示3个不同的双曲线
D．表示焦点位于x轴上的椭圆有3个
答案 ABD
解析 当m＝n>0时，方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示圆，故有3个，选项A正确；当m≠n且m，n>0时，方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示椭圆，焦点在x，y轴上的椭圆分别有3个，故有3×2＝6(个)，选项B正确；若椭圆的焦点在x轴上，则m>n>0，当m＝4时，n＝2,3；当m＝3时，n＝2，即所求的椭圆共有2＋1＝3(个)，选项D正确；当mn<0时，方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示双曲线，故有3×1＋1×3＝6(个)，选项C错误．
考点二 排列
4．已知n∈N*，则(20－n)(21－n)·…·(100－n)等于( )
A．Aeq \\al(81,100－n) B．Aeq \\al(20－n,100－n)
C．Aeq \\al(80,100－n) D．Aeq \\al(81,20－n)
答案 A
解析 (100－n)(99－n)·…·(20－n)＝(100－n)·(99－n)·…·(100－n－81＋1)
＝Aeq \\al(81,100－n).
5．同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D是双胞胎，必须相邻，则符合排队要求的方法种数为( )
A．288 B．144 C．96 D．72
答案 D
解析 分三步：先将除A，B，C三人的其余三人进行排序，有Aeq \\al(3,3)种方法，因为A和D必须相邻，所以A只能插入与D相邻的两个空位，有2种方法，最后将B，C插入剩余三个空位，有Aeq \\al(2,3)种方法．故共有Aeq \\al(3,3)×2×Aeq \\al(2,3)＝72(种)方法．
6．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲、乙两人中至少有一人站在两端的概率为( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
答案 A
解析 四人站成一排共有Aeq \\al(4,4)＝24(种)站法，甲、乙都不站在两端有Aeq \\al(2,2)×Aeq \\al(2,2)＝4(种)站法，所以甲、乙两人中至少有一人站在两端的概率为eq \f(24－4,24)＝eq \f(5,6).
7．将1,2,4,7,0这5个数组成不同的没有重复数字的五位偶数的个数为( )
A．24 B．54 C．60 D．72
答案 C
解析 个位数字为0时，个数为Aeq \\al(4,4)＝24，个位数字不为0时，个数为3×Aeq \\al(3,3)×2＝36，所以共有24＋36＝60(个)．
考点三 组合
8．(多选)关于排列组合数，下列结论正确的是( )
A．Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)
B．Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m－1,n)＋Ceq \\al(m,n)
C．Aeq \\al(m,n)＝mAeq \\al(m－1,n－1)
D．Aeq \\al(m,n)＋mAeq \\al(m－1,n)＝Aeq \\al(m,n＋1)
答案 ABD
9．已知集合M＝{1,2,3,4,5,6}，N＝{6,7,8,9}，从M中选3个元素，N中选2个元素，组成一个含有5个元素的集合T，则这样的集合T共有( )
A．126个 B．120个 C．90个 D．26个
答案 C
解析 集合T含有6的有Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,3)＝60(个)，
不含有6的有Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(2,3)＝30(个)，
因此集合T共有60＋30＝90(个)．
10．(多选)在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品．从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有( )
A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,98)种
B．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,99)种
C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,98)＋Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,98)种
D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有Ceq \\al(3,100)－Ceq \\al(3,98)种
答案 ACD
11．若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数为( )
A．Ceq \\al(3,9)Ceq \\al(3,6) B．Aeq \\al(3,9)Aeq \\al(3,6)
C.eq \f(C\\al(3,9)C\\al(3,6),A\\al(3,3)) D．Aeq \\al(3,9)Aeq \\al(3,6)Ceq \\al(3,3)
答案 C
12．从10名男生6名女生中任选3人参加竞赛，要求参赛的3人中既有男生又有女生，则不同的选法有( )
A．1 190种 B．560种
C．420种 D．3 360种
答案 C
解析 这3人中既有男生又有女生，包括2男1女和1男2女两种情况．
若3人中有2男1女，则不同的选法共有Ceq \\al(2,10)Ceq \\al(1,6)＝270(种)，
若3人中有1男2女，则不同的选法共有Ceq \\al(1,10)Ceq \\al(2,6)＝150(种)，
根据分类加法计数原理，不同的选法总共有270＋150＝420(种)．
13．北京大兴国际机场为4F级国际机场、大型国际枢纽机场、国家发展新动力源．目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示，若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西一跑道、西二跑道至少有一跑道被选取，则不同的安排方法种数为( )
A．8 B．10 C．12 D．14
答案 B
解析 不考虑西一跑道、西二跑道的特殊情况，共有Aeq \\al(2,4)＝12(种)安排方法，
排除西一跑道、西二跑道都没有被选取的有Aeq \\al(2,2)＝2(种)安排方法，则共有10种安排方法．
14．为迎接元旦的到来，某学校高中部决定举行歌唱比赛．已知高中三个年级各推选了2个班级，共6个班级进行比赛．现要求同一年级的2个班级的节目不连排，则节目编排的不同方法共有( )
A．240种 B．248种
C．432种 D．712种
答案 A
解析 不妨记高一、高二、高三每个年级推选的2个班级分别为A1，A2，B1，B2，C1，C2.可根据A1，A2之间的班级个数进行分类讨论．
当A1，A2之间有1个班级时，不同的排法有Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(1,2)·eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(A\\al(2,2)＋))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(C\\al(1,2)·A\\al(2,2)))＝96(种)；
当A1，A2之间有2个班级时，不同的排法有Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(2,2)·eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(A\\al(2,2)＋))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(C\\al(1,2)·A\\al(2,2)))＝96(种)；
当A1，A2之间有3个班级时，不同的排法有Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,4)·Aeq \\al(2,2)·Aeq \\al(2,2)＝32(种)；
当A1，A2之间有4个班级时，不同的排法有Aeq \\al(2,2)·Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,2)＝16(种)．
综上，不同的排法共有96＋96＋32＋16＝240(种)．