2023届高考一轮复习加练必刷题第70练　圆的方程【解析版】

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考点一 圆的标准方程
1．圆(x－2)2＋(y＋1)2＝5的圆心坐标和半径长分别是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－1))，eq \r(5) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－1))，5
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，1))，eq \r(5) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，1))，5
答案 A
2．设A(2，－1)，B(4,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋y2＝2 B．(x－3)2＋y2＝8
C．(x＋3)2＋y2＝2 D．(x＋3)2＋y2＝8
答案 A
解析 直径|AB|＝eq \r(4－22＋1＋12)＝2eq \r(2)，所以半径为eq \r(2)，又中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，0))，所以圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.
3．(2022·苏州模拟)若圆C的半径为1，点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为( )
A．x2＋y2＝1
B．(x－3)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋y2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
答案 A
解析 设点C(x，y)，由于点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，利用中点坐标公式得1＝eq \f(x＋2,2)，0＝eq \f(y＋0,2)，解得x＝0，y＝0，所以圆C的标准方程为x2＋y2＝1.
4．点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，－2))与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝1
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
答案 A
解析 设圆上任一点为Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(s，t))，P，Q的中点为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4＋s,2)，,y＝\f(－2＋t,2)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(s＝2x－4，,t＝2y＋2，))
代入圆的方程，得(2x－4)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2y＋2))2＝4，
整理，得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
考点二 圆的一般方程
5．若方程x2＋y2＋4kx－2y＋5k＝0表示圆，则k的取值范围是( )
A.eq \f(1,4)1
C．k＝eq \f(1,4)或k＝1 D．k∈R
答案 B
解析 由题意知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k))2＋(－2)2－20k>0，即4k2－5k＋1>0，解得k>1或k6．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2，2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为( )
A．－2,4，－4 B．－2,4,4
C．2，－4,4 D．2，－4，－4
答案 B
解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＝2，,\f(b,2)＝2，,\f(2a2＋b2－4c,4)＝4，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝4，,c＝4.))
7．(2022·大连模拟)若圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，则eq \f(1,a)＋eq \f(3,b)的最小值是( )
A．2eq \r(3) B.eq \f(20,3) C．4 D.eq \f(16,3)
答案 D
解析 由圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，知其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，
因为圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，
所以该直线经过圆心(－1,3)，
即－a－3b＋3＝0，
所以a＋3b＝3(a>0，b>0)．
所以eq \f(1,a)＋eq \f(3,b)＝eq \f(1,3)(a＋3b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(3,b)))
＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3a,b)＋\f(3b,a)＋9))≥eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋2\r(\f(3a,b)·\f(3b,a))))＝eq \f(16,3)，当且仅当eq \f(3b,a)＝eq \f(3a,b)，即a＝b时取等号．
8．已知△ABC顶点的坐标分别为A(4,3)，B(5,2)，C(1,0)，则其外接圆的一般方程为__________________．
答案 x2＋y2－6x－2y＋5＝0
解析 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将三个点代入得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4D＋3E＋F＋25＝0，,5D＋2E＋F＋29＝0，,D＋F＋1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－6，,E＝－2，,F＝5，))所以圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋5＝0.
考点三 点与圆的位置关系
9．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(1,2)( )
A．是圆心 B．在圆上
C．在圆内 D．在圆外
答案 C
解析 将点P(1,2)代入圆的方程的左边，得(1－2)2＋(2－3)2＝2<4，故点P在圆内．
10．已知点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不包括边界)，则a的取值范围是( )
A．a>1 B．0C．a答案 D
解析 点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部且不包括边界，则把点(a＋1，a－1)代入方程左边代数式，该代数式的值小于0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋1))2＋(a－1)2－2a(a－1)－4<0，解得a<1.
11．(2022·济南模拟)若平面内一动点P到两点A，B的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆．若已知A(－2,0)，B(2,0)，λ＝eq \f(1,2)，则此阿波罗尼斯圆的方程为( )
A．x2＋y2－12x＋4＝0
B．x2＋y2＋12x＋4＝0
C．x2＋y2－eq \f(20,3)x＋4＝0
D．x2＋y2＋eq \f(20,3)x＋4＝0
答案 D
解析 由题意，设P(x，y)，则eq \f(\r(x＋22＋y2),\r(x－22＋y2))＝eq \f(1,2)，化简可得x2＋y2＋eq \f(20,3)x＋4＝0.
12．已知圆C关于x轴对称，经过点(0,1)，且被y轴分成两段，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( )
A．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3) B．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq \f(1,3)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x±\f(\r(3),3)))2＋y2＝eq \f(4,3) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x±\f(\r(3),3)))2＋y2＝eq \f(1,3)
答案 C
解析 方法一 (排除法)由圆心在x轴上，则排除A，B，再由圆过(0,1)点，故圆的半径大于1，排除D，选C.
方法二 (待定系数法)如图，设圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，圆C与y轴交于A(0,1)，B(0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA＝eq \f(1,2)∠ACB＝eq \f(1,2)×120°＝60°，则tan 60°＝eq \f(|OA|,|OC|)＝eq \f(1,|OC|)，所以|a|＝|OC|＝eq \f(\r(3),3)，
即圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(\r(3),3)，0))，r2＝|AC|2＝12＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3).
所以圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x±\f(\r(3),3)))2＋y2＝eq \f(4,3).故选C.
13．若a∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，0，1，\f(3,4)))，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0，即方程eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,2)))2＋(y＋a)2＝1－a－eq \f(3,4)a2，
可以表示圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，－a))，半径为eq \r(1－a－\f(3,4)a2)的圆．
当a＝－2时，1－a－eq \f(3,4)a2为0，不表示圆．
当a＝0时，半径为1，表示一个圆．
当a＝1时，1－a－eq \f(3,4)a2<0，不表示圆．
当a＝eq \f(3,4)时，1－a－eq \f(3,4)a2<0，不表示圆．
综上可得，所给的方程表示的圆的个数为1，所以B选项是正确的．
14．已知圆O：x2＋y2＝4，点A的坐标为(1,0)，若点B满足对于圆O上任意非坐标轴上的一点P，均有|PA|∶|PB|＝1∶2，则点B的坐标为( )
A．(6,0) B．(4,0) C．(－1,0) D．(－8,0)
答案 B
解析 设B(a，b)，P(x0，y0)(x0y0≠0)，
则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝4，因为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PA)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PB)))＝eq \f(1,2)，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PB))2＝4eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PA))2，又A(1,0)，
所以(x0－a)2＋(y0－b)2＝4[(x0－1)2＋(y0－0)2]，化简整理，得(2a－8)x0＋2by0＋[16－(a2＋b2)]＝0对任意的P(x0，y0)(x0y0≠0)恒成立，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－8＝0，,2b＝0，,a2＋b2＝16，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝0，))所以点B的坐标为(4,0)．