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    2023届高考一轮复习加练必刷题第49练 等差数列【解析版】

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    2023届高考一轮复习加练必刷题第49练 等差数列【解析版】

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    这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第49练 等差数列【解析版】,共5页。
    考点一 等差数列基本量的运算
    1.在等差数列{an}中,已知3a1-2a2=a3-8,则公差d等于( )
    A.1 B.2 C.-2 D.-1
    答案 B
    解析 设等差数列{an}的公差为d,因为3a1-2a2=a3-8,所以3a1-2(a1+d)=a1+2d-8,解得d=2.
    2.数列{an}满足am+n=am+an(m,n∈N*),a1=1,a20+a22+a24+…+a40等于( )
    A.300 B.330 C.630 D.600
    答案 B
    解析 数列{an}满足am+n=am+an(m,n∈N*),则当m=1时,则an+1-an=1,
    于是得数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,an=a1+(n-1)d=1+n-1=n,
    从而有a20+a22+a24+…+a40=20+22+24+…+40=eq \f(20+40×11,2)=330,
    所以a20+a22+a24+…+a40=330.
    3.已知{an}为递增的等差数列,a3·a4=15,a2+a5=8,若an=21,则n等于( )
    A.9 B.10 C.11 D.12
    答案 D
    解析 因为{an}为等差数列,a2+a5=8,
    所以a3+a4=8,
    由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3·a4=15,,a3+a4=8,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3=3,,a4=5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3=5,,a4=3))(舍),
    所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1=-1,,d=2,))
    所以an=2n-3.
    令2n-3=21,得n=12.
    考点二 等差数列的判定与证明
    4.(2022·宁夏大学附中模拟)程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次弟,孝和休惹外人传.”意为996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第一个开始,以后每人依次多17斤,直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明,使子女孝顺的美德外传,则第八个孩子分得斤数为( )
    A.65 B.176 C.183 D.184
    答案 D
    解析 根据题意可知每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an},其中d=17,n=8,S8=996.
    由等差数列前n项和公式可得8a1+eq \f(8×7,2)×17=996,
    解得a1=65.
    由等差数列通项公式得a8=65+(8-1)×17=184.
    则第八个孩子分得斤数为184.
    5.(多选)(2022·石家庄二中模拟)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则( )
    A.an=-eq \f(1,2n-1)
    B.an=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-1,n=1,,\f(1,n-1)-\f(1,n),n≥2,n∈N*))
    C.数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))为等差数列
    D.eq \f(1,S1)+eq \f(1,S2)+…+eq \f(1,S100)=-5 050
    答案 BCD
    解析 Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,
    则Sn+1-Sn=SnSn+1,
    整理得eq \f(1,Sn+1)-eq \f(1,Sn)=-1(常数),
    所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))是以eq \f(1,S1)=-1为首项,-1为公差的等差数列,故C正确;
    所以eq \f(1,Sn)=-1-(n-1)=-n,
    故Sn=-eq \f(1,n),
    所以当n≥2时,
    an=Sn-Sn-1=eq \f(1,n-1)-eq \f(1,n)(首项不符合通项),
    故an=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-1,n=1,,\f(1,n-1)-\f(1,n),n≥2,n∈N*,))故B正确,A错误;
    所以eq \f(1,S1)+eq \f(1,S2)+…+eq \f(1,S100)=-(1+2+3+…+100)=-5 050,故D正确.
    6.(2022·河北衡水中学模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=an2+bn(a,b为常数),且a9=eq \f(π,2),则a1+a17=________;设函数f(x)=2+sin 2x-2sin 2eq \f(x,2),yn=f(an),则数列{yn}的前17项和为________.
    答案 π 17
    解析 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an2+bn-eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(an-12+bn-1))=2na-a+b.
    又当n=1时,a1=S1=a+b,满足an=2na-a+b,所以an=2na-a+b,
    所以数列{an}为等差数列,故a1+a17=2a9=π.
    由题意得f(x)=sin 2x+cs x+1,
    所以y1+y17=f(a1)+f(a17)
    =sin 2a1+cs a1+1+sin 2a17+cs a17+1
    =sin 2a1+cs a1+1+sin (2π-2a1)+cs(π-a1)+1=2,
    同理,y2+y16=2,…,y8+y10=2.
    又易得y9=f(a9)=1,
    所以数列{yn}的前17项和为2×8+1=17.
    考点三 等差数列的性质
    7.(2022·黑龙江实验中学模拟)等差数列{an}的前15项和S15=30,则a7+a8+a9等于( )
    A.-2 B.6 C.10 D.14
    答案 B
    解析 等差数列{an}的前15项和S15=30,
    ∴S15=eq \f(15,2)(a1+a15)=15a8=30,解得a8=2,
    ∴a7+a8+a9=3a8=6.
    8.(2022·曲靖模拟)在等差数列{an}中,若a5+a6+a8+a9=400,则数列{an}的前13项和S13等于( )
    A.5 200 B.2 600
    C.1 500 D.1 300
    答案 D
    解析 根据等差数列性质可得a5+a6+a8+a9=2(a6+a8)=400,所以a6+a8=200,
    所以前13项和S13=eq \f(13a1+a13,2)=eq \f(13a6+a8,2)=eq \f(13×200,2)=1 300.
    9.(2022·黑龙江铁人中学模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,其中S2=3,S4=15,则S6等于( )
    A.9 B.18 C.27 D.36
    答案 D
    解析 根据等差数列的性质,S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,所以3,12,S6-15成等差数列,进而得到3+S6-15=24,所以S6=36.
    10.(2022·合肥第八中学模拟)设数列{an},{bn}都是正项等比数列,Sn,Tn分别为数列{lg an}与{lg bn}的前n项和,且eq \f(Sn,Tn)=eq \f(n+1,2n),则lga3b3等于( )
    A.eq \f(3,5) B.eq \f(9,5) C.eq \f(5,9) D.eq \f(5,3)
    答案 D
    解析 设正项等比数列{an}的公比为q,正项等比数列{bn}的公比为p,
    则数列{lg an}为等差数列,公差为lg q,{lg bn}为等差数列,公差为lg p,
    所以Sn=nlg a1+eq \f(nn-1,2)lg q,Tn=nlg b1+eq \f(nn-1,2)lg p,
    又eq \f(Sn,Tn)=eq \f(n+1,2n)=eq \f(lg a1+\f(n-1,2)lg q,lg b1+\f(n-1,2)lg p),所以lgb3a3=eq \f(lg a3,lg b3)=eq \f(lg a1+2lg q,lg b1+2lg p)=eq \f(S5,T5)=eq \f(6,10)=eq \f(3,5),
    所以lga3b3=eq \f(5,3).
    11.(多选)设d,Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和,若S10=S20,则下列论断中正确的有( )
    A.当n=15时,Sn取最大值
    B.当n=30时,Sn=0
    C.当d>0时,a10+a22>0
    D.当d|a22|
    答案 BC
    解析 因为S10=S20,所以10a1+eq \f(10×9,2)d=20a1+eq \f(20×19,2)d,解得a1=-eq \f(29,2)d.因为无法确定a1和d的正负性,所以无法确定Sn是否有最大值,故A错误;S30=30a1+eq \f(30×29,2)d=30×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(29,2)d))+15×29d=0,故B正确;d>0时,a10+a22=2a16=2(a1+15d)=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(29,2)d+15d))=d>0,故C正确;a10=a1+9d=-eq \f(29,2)d+eq \f(18,2)d=-eq \f(11,2)d,a22=a1+21d=-eq \f(29,2)d+eq \f(42,2)d=eq \f(13,2)d,因为d

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