2023届高考一轮复习加练必刷题第41练　高考大题突破练—解三角形【解析版】

第41练　高考大题突破练—解三角形

考点一　角边问题

1．(2020·徐州模拟)在①bcos A－c＝0，②acos B＝bcos A，③acos C＋b＝0这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝，c＝4，满足________．

(1)请写出你的选择，并求出角A的值；

(2)在(1)的结论下，已知点D在线段BC上，且∠ADB＝，求CD的值．

解　(1)若选择条件①，得cos A＝＝2>1，不符合题意；

若选择条件②，由余弦定理知a·＝b·，化简得a＝b，

所以a＋b＝2<4，不符合题意；

若选择条件③，由余弦定理得a·＋b＝0，

所以a2＋3b2－c2＝0，所以a2＝c2－3b2＝16－6＝10，

所以cos A＝＝＝，

因为A∈(0，π)，所以A＝.

(2)由(1)知cos C＝＝＝－，

因为C∈(0，π)，所以sin C＝＝.

所以sin∠CAD＝sin

＝sin cos C－cossin C＝.

在△ACD中，因为＝，

所以CD＝＝＝.

考点二　面积问题

2．已知△ABC满足________，且b＝，A＝，求sin C的值及△ABC的面积．(从①B＝，②a＝，③a＝3sin B这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答)

注：如果选择多个条件进行解答，则按第一个解答计分．

解　选择①时，B＝，A＝，

故sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.

根据正弦定理＝，故a＝3，

故△ABC的面积S＝absin C＝；

选择②时，a＝，b＝，故B>A，A为钝角，故无解；

选择③时，a＝3sin B，

根据正弦定理＝，得＝，解得sin B＝，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.

根据正弦定理＝，

得a＝3，故△ABC的面积S＝absin C＝.

考点三　最值与范围问题

3．(2022·遵义模拟)△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知csin C－bsin B＝

a(sin A－sin B)．

(1)求角C；

(2)若D为AB的中点，且c＝2，求CD的最大值．

解　(1)因为csin C－bsin B＝a(sin A－sin B)，

所以c2－b2＝a2－ab，

所以c2＝a2＋b2－ab且c2＝a2＋b2－2abcos C，

所以cos C＝，又C∈(0，π)，所以C＝.

(2)因为＝，

所以||2＝2＝a2＋b2＋，

又因为c2＝a2＋b2－ab＝4，所以a2＋b2＝4＋ab≥2ab，所以ab≤4(当且仅当a＝b＝2时取“＝”)，

所以CD2＝a2＋b2＋＝≤＝3，

所以CD≤(当且仅当a＝b＝2时取“＝”)，

所以CD的最大值为.

4．(2022·青岛模拟)在①＝，②S△AMN＝4，③AC＝AM这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．问题：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝60°，c＝8，点M，N是BC边上的两个三等分点，＝3，________，求AM的长和△ABC外接圆半径．

(注：如果选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答计分)

解　若选择条件①，

因为＝，所以＝2，

设BM＝t，所以AN＝2t，又B＝60°，c＝8，

所以在△ABN中，AN2＝AB2＋BN2－2AB·BNcos B，

即(2t)2＝82＋4t2－2×8×2tcos 60°，

即t2＋2t－8＝0，

所以t＝2或t＝－4(舍去)．

在△ABM中，AM2＝AB2＋BM2－2AB·BMcos B＝82＋4－2×8×2cos 60°＝52，

所以AM＝2，

同理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝82＋62－2×8×6cos 60°＝52，

所以AC＝2，

由正弦定理可得2R＝＝＝＝，

所以△ABC外接圆半径为R＝.

若选择条件②，

因为点M，N是BC边上的三等分点，且S△AMN＝4，

所以S△ABC＝12，

因为B＝60°，所以S△ABC＝12＝AB·BCsin 60°＝×8×BC×，

所以BC＝6，所以BM＝2.

在△ABM中，AM2＝AB2＋BM2－2AB·BMcos B＝82＋4－2×8×2cos 60°＝52，

所以AM＝2，

同理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝82＋62－2×8×6cos 60°＝52，

所以AC＝2，

由正弦定理可得2R＝＝＝＝，

所以△ABC外接圆半径为R＝.

若选择条件③，

设BM＝t，则BC＝3t，

在△ABM中，

AM2＝AB2＋BM2－2AB·BMcos B＝82＋t2－2×8tcos 60°＝64＋t2－8t，

在△ABC中，

AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝82＋9t2－2×8×3tcos 60°＝64＋9t2－24t，

因为AC＝AM，所以64＋t2－8t＝64＋9t2－24t，

所以t＝2，

所以AM2＝52，

所以AC＝AM＝2，

由正弦定理可得2R＝＝＝＝，

所以△ABC外接圆半径为R＝.