2023届高考一轮复习加练必刷题第7练　函数的定义域与值域【解析版】

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考点一 函数的定义域
1．函数f(x)＝eq \r(x－1)·lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋2,2－x)))的定义域为( )
A．[1,2] B．[2，＋∞)
C．[1,2) D．(1,2]
答案 C
解析 令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≥0，,\f(x＋2,2－x)>0，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1，,－2∴函数的定义域为[1,2)．
2．已知函数f(x)＝eq \f(1,ax2＋ax－3)的定义域是R，则实数a的取值范围是( )
A．a>eq \f(1,3) B．－12C．－12答案 B
解析 由题意，要使函数f(x)＝eq \f(1,ax2＋ax－3)的定义域是R，
则ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立，
当a＝0时显然成立；
当a≠0时，需Δ＝a2＋12a<0，
解得－12综上，a的取值范围为－123．若函数y＝f(x)的定义域是[－2,2]，则函数y＝f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为________．
答案 [－1,1]
解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2≤x＋1≤2，,－2≤x－1≤2，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3≤x≤1，,－1≤x≤3，))
解得－1≤x≤1，
所以函数y＝f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[－1,1]．
考点二 函数的值域
4．已知函数f(x)＝2x－eq \r(x－1)，x∈[1,5]，则f(x)的值域是( )
A．[1,8] B．[2,8]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(15,8)，8)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,8)，＋∞))
答案 C
解析 因为函数f(x)＝2x－eq \r(x－1)，x∈[1,5]，
设t＝eq \r(x－1)∈[0,2]，
则x＝t2＋1，
所以g(t)＝2t2－t＋2，t∈[0,2]，
因为g(t)的图象开口向上，对称轴为t＝eq \f(1,4)，
所以f(x)min＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2－eq \f(1,4)＋2＝eq \f(15,8)，
f(x)max＝g(2)＝2×22－2＋2＝8，
所以函数f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(15,8)，8)).
5．若函数f(x)满足f(x)＝eq \f(x＋3,x＋2)，则f(x)在[1，＋∞)上的值域为( )
A．(－∞，1] B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(4,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4,3))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(4,3)))
答案 D
解析 ∵f(x)＝eq \f(x＋3,x＋2)＝1＋eq \f(1,x＋2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减，
∴f(x)max＝f(1)＝eq \f(4,3)，又eq \f(1,x＋2)>0，
∴f(x)>1，
∴值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(4,3))).
6．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)，1≤x≤4，,\r(12－4x－x2)，－3≤x<1，)) 则f(x)的值域为( )
A．[0，eq \r(15)] B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(15,4)))
C．[0,4] D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(7)，\f(15,4)))
答案 C
解析 函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)，1≤x≤4，,\r(12－4x－x2)，－3≤x<1，))
当1≤x≤4时，f(x)＝x－eq \f(1,x)单调递增，
可得f(x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(15,4)))；
当－3≤x<1时，f(x)＝eq \r(12－4x－x2)＝eq \r(16－x＋22)，
当x＝－2时，f(x)max＝4，当x＝1时，f(x)min＝eq \r(7)，
即有f(x)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(7)，4))，
可得f(x)的值域为[0,4]．
7．下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( )
A．y＝eq \r(x－1) B．y＝ln x
C．y＝eq \f(1,3x－1) D．y＝eq \f(x＋1,x－1)
答案 D
解析 对于A，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；
对于B，定义域为(0，＋∞)，值域为R，不满足题意；
对于C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又3x>0，且3x≠1，
故3x－1>－1，且3x－1≠0，
故y<－1或y>0.
故值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；
对于D，y＝eq \f(x＋1,x－1)＝1＋eq \f(2,x－1)，
定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．
考点三 定义域与值域的应用
8．若满足函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2ax＋3a，x<1，,ln x，x≥1))的值域为R，则a的最小值为( )
A．－1 B．2
C．－3 D．4
答案 A
解析 当x≥1时，f(x)＝ln x，值域为[0，＋∞)．因为f(x)的值域为R，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋a≥0，,1－2a>0，))解得－1≤a则a的最小值为－1.
9．(多选)若函数f(x)＝eq \r(mx2＋m－3x＋1)的值域是[0，＋∞)，则实数m的取值可以是( )
A．0 B．1 C．4 D．10
答案 ABD
解析 函数f(x)＝eq \r(mx2＋m－3x＋1)，
当m＝0时，可化为f(x)＝eq \r(－3x＋1)，值域为[0，＋∞)，满足题意；
当m>0时，二次根式下为二次函数，
所以需满足Δ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－3))2－4m≥0，
化简可得(m－1)(m－9)≥0，解得m≤1或m≥9，
所以0当m<0时，二次函数开口向下，函数值无法到正无穷大，因而不合题意．
综上可知，0≤m≤1或m≥9，
即m的取值范围为[0,1]∪[9，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，若对任意的x1∈[－1,2]，存在x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))
C．[3，＋∞) D．(0,3]
答案 A
解析 函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，
因为x∈[－1,2]，
所以f(x)在[－1,2]上的值域为[－1,3]，
函数g(x)＝ax＋2(a>0)在[－1,2]上的值域为[2－a,2＋2a]，
因为对任意的x1∈[－1,2]，存在x0∈[－1,2]，
使g(x1)＝f(x0)，
所以[2－a,2＋2a]⊆[－1,3]，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a≥－1，,2＋2a≤3，,a>0，)) 解得011．(多选)已知函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，值域为R，则( )
A．函数f(x2＋1)的定义域为R
B．函数f(x2＋1)－1的值域为R
C．函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ex＋1,ex)))的定义域和值域都是R
D．函数f(f(x))的定义域和值域都是R
答案 BC
解析 对于选项A，令x2＋1>1，可得x≠0，
所以函数f(x2＋1)的定义域为{x|x≠0}，故选项A不正确；
对于选项B，因为f(x)的值域为R，x2＋1>1，
所以f(x2＋1)的值域为R，
可得函数f(x2＋1)－1的值域为R，故选项B正确；
对于选项C，令eq \f(ex＋1,ex)>1，
因为ex>0在x∈R时恒成立，
所以函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ex＋1,ex)))的定义域为R.
因为eq \f(ex＋1,ex)>1，
所以函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ex＋1,ex)))的值域为R，故选项C正确；
对于选项D，若函数f(f(x))的值域是R，
则f(x)>1，
此时无法判断其定义域是不是R，故选项D不正确．
12．若函数f(x)满足a≤f(x)≤b(aA．f(x)＝cs 2x＋1
B．f(x)＝eq \r(2x＋1－x2)
C．f(x)＝|x|－|x－1|
D．f(x)＝eq \f(3x－2x,3x＋2x)
答案 B
解析 ∵－1≤cs 2x≤1，∴0≤cs 2x＋1≤2，
即函数f(x)＝cs 2x＋1的值域为[0,2]，值域跨度为2，A不符合题意；
∵－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2≤2，
∴f(x)＝eq \r(2x＋1－x2)的值域为[0，eq \r(2)]，值域跨度为eq \r(2)，B符合题意；
∵f(x)＝|x|－|x－1|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1，x≤0，,2x－1，0∴函数f(x)＝|x|－|x－1|的值域为[－1,1]，值域跨度为2，C不符合题意；
∵f(x)＝eq \f(3x－2x,3x＋2x)＝eq \f(3x＋2x－2·2x,3x＋2x)＝1－eq \f(2·2x,3x＋2x)＝1－eq \f(2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x)∈(－1,1)，值域跨度为2，D不符合题意．
13．如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”．试写出y＝eq \r(x－1)－eq \r(2－x)的一个“同域函数”的解析式________________．
答案 y＝2x－3，x∈[1,2](答案不唯一)
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≥0，,2－x≥0，))得1≤x≤2，
∴y＝eq \r(x－1)－eq \r(2－x)的定义域为[1,2]，
又y＝eq \r(x－1)－eq \r(2－x)为定义域内的增函数，
∴值域为[－1,1]，
∴y＝eq \r(x－1)－eq \r(2－x)的一个“同域函数”为y＝2x－3，x∈[1,2]．
14．设函数h(x)的定义域为D，若满足条件：存在[a，b]⊆D，使h(x)在[a，b]上的值域为[2a,2b]，则称h(x)为“倍胀函数”．若函数f(x)＝ln x＋t为“倍胀函数”，则实数t的取值范围是________________．
答案 (1＋ln 2，＋∞)
解析 因为函数f(x)＝ln x＋t为“倍胀函数”，且定义域为(0，＋∞)，
所以存在[a，b]⊆(0，＋∞)，
使f(x)在[a，b]上的值域为[2a,2b]．
因为f(x)为增函数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ln a＋t＝2a，,ln b＋t＝2b，))
所以方程ln x－2x＋t＝0有两个不等的实数根．
令g(x)＝ln x－2x＋t(x>0)，
则g′(x)＝eq \f(1,x)－2，令g′(x)＝eq \f(1,x)－2＝0，
解得x＝eq \f(1,2).
易知g(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上单调递增，
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减，
所以g(x)max＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝ln eq \f(1,2)－1＋t＝t－1－ln 2.
易知当x→0时，g(x)→－∞，
当x→＋∞时，g(x)→－∞，
所以要使方程ln x－2x＋t＝0有两个不等的实数根，只需t－1－ln 2>0，得t>1＋ln 2，
所以t的取值范围为(1＋ln 2，＋∞)．