苏科版七下数学 课题学习 分类 想象 找规律 教案

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一、熟悉数字规律，规律题随意变：

通常给定一些数字，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比找出各部分的特征，改写成要求的格式.数字规律常见的类型有以下几种：

1.等差型例1  有一组数：1，5，9，13，17，21，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第n个数为　　　　.

2．等比型例2  有一组数：3,9，27，81，243，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第n个数为　　　　　．

3．周期型：例3  有一组数：请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第2011个数为　　　　　．

4.差值呈连续奇数增长型：

例4 有一组数：2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为　　　　　．

5.差值呈偶数增长型：例5  有一组数：2，6，12，20，30，42，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第n个数为　　　　．

6.斐波那契数列型

例6 有一组数：１、２、３、５、８、13、21、……请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第10个数为　　　　　　　．

【评析】借助于分数，分子为等差型，分母为差值呈连续奇数增长型，第n个数是

变化2 有一数值转换器，原理如图所示，若开始

输入x的值是5,可发现第一次输出的结果是8,第二次输出的结果

是4,……，请你探索第2011次输出的结果是        。

【评析】借助于运算，运算结果分别为，从第

三个数开始，按周期循环，第2011次输出的结果为1.

变化3 观察一列单项式：，，，，…  根据你发现的规律，第个单项式为         ．

【评析】 借助于单项式，系数为等比型，字母的指数为为等差型，答案为.

变化4（2011江苏徐州）如图，每个图案都由若干个棋子摆成．依照此规律，第n个图案中棋子的总个数可用含n的代数式表示为__________．

二、借助图形规律，规律题随意改：

图形规律题是指由给出几个具体的、特殊的图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论。图形规律题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键；抓住了变量,就可以可以轻松的将数字规律题转化为图形规律题.

例7 如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．

例8（2010云南曲靖）把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法……一直到第n次挖去后剩下的三角形有         个。

例9  观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……从第1个球起到第2011个球止，共有实心球        个。

【评析】这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是●○○●●○○○○○。每个循环节里有3个实心球.我们只要知道2011包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数。因为2011÷10=201（余1）.所以，2011个球里有201个循环节，还余1个球.201个循环节里有201×3=603个实心球，剩下的1个球是1个实心球.所以，一共有604个实心球.

例10  古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，

例如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数

能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的

1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形

数又是正方形数的是（   ）

（A）15        （B）25         （C）55       （D）1225

例11 （2011内蒙古乌兰察布）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第n个图形有         个小圆．

【评析】借助于小圆的摆放，外围的四个小圆个数是不变的，里面的小圆个数依次为1×2,2×3,3×4，…，所以第n个图形的小圆共有. 

例12  如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第15行的

实心圆点的个数等于        ．

【评析】 借助于树形图的生长过程，第1行有0个实心圆点，第2行

有1个实心圆点，第3行有2个实心圆点，第4行有3个实心圆点，

第4行有5个实心圆点，实心圆点数为斐波那契数列型，第15行的

实心圆点的个数等于377。

例13 如图，用火柴摆出一列正方形图案，若按这种方式摆下去，摆出第n个图案用     根火柴棍（用含n的代数式表示）

                      ①          ②               ③

【评析】借助于火柴的摆放，水平的火柴棒分别为2，6，12，20，30，42，……，规律为差值呈偶数增长型，竖直的火柴棒分别为2，6，12，20，30，42，……，第n个图案用     2n(n＋1)根火柴棍。

三、借助等式规律，规律题随意编

通常给定一些等式，猜想其中蕴含的规律，一般解法是先写出代数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同位置的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系），找出部分的特征，写出符合条件的格式.借助于数的求和，可以把数字规律转化为等式规律。

例13 阅读下列材料：

1×2＝（1×2×3－0×1×2），

2×3＝（2×3×4－1×2×3），

3×4＝（3×4×5－2×3×4），

由以上三个等式相加，可得

1×2＋2×3＋3×4＝×3×4×5＝20．

读完以上材料，请你计算下各题：

⑴1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11（写出过程）；

⑵1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×（n＋1）＝     ；

⑶1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9＝     ．

【评析】 通过阅读理解，充分展现数学规律形成与发展的过程，以及规律的应用过程，引导学生去抽象、概括规律，积极探索、发现和运用规律，从中培养和考查学生的数学抽象概括能力。

⑴1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11＝×（1×2×3－0×1×2＋2×3×4－1×2×3…＋10×11×12－9×10×11）＝×10×11×12＝440

⑵1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×（n＋1）＝×[1×2×3－0×1×2＋2×3×4－1×2×3＋…

＋]＝

⑶1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9＝×[1×2×3×4－0×1×2×3×4＋2×3×4×5－1×2×3×4＋…＋7×8×9×10－6×7×8×9]

＝×7×8×9×10＝1260

四、数形巧结合，规律题更有新意

著名的数学家华罗庚先生指出：“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.就是说，数缺形时少知觉，形少数时难刻画。因此，数学规律题我们应重视数与形的结合与转化。以形辅数，把复杂的数学问题转化到几何图形中去解决，从而使问题直观而形象化。以数辅形，把复杂的几何问题转化成数量关系，再通过计算，获得简捷的解法.

例13  观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：

（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；

（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式.

【评析】点阵图和相应的等式的巧妙结合，答案：（1）④1+3+5+7=42；⑤1+3+5+7+9=52.  

 （2）1+3+5+…+(2n-1)=n2         

例14  在数学活动中，小明为了求＋＋＋＋……+的值（结果用n表示），设计出如下面左边的几何图形.

（1）用这个几何图形求＋＋＋＋…… ＋的值为               

（2）请你利用上面右图重新设计一个能求＋＋＋＋……＋                           的值的几何图形.

【评析】 数列的求和与图形的面积结合，力求用图形说话，＋＋＋＋…… ＋为所有小正方形的面积和，＋＋＋＋…… ＋和为大正方形的面积减去最后一个小正方形的面积，答案为1-。图形略.

例15 如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出＋＋＋…＋＝________．