2020年浙江省杭州市拱墅区等区县中考数学一模试卷

这是一份2020年浙江省杭州市拱墅区等区县中考数学一模试卷，共26页。

2020年浙江省杭州市拱墅区等区县中考数学一模试卷
一．选择题：本大题有10个小题，毎小题3分，共30分.在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）计算下列各式，结果为负数的是（　　）
A．（﹣7）÷（﹣8） B．（﹣7）×（﹣8） C．（﹣7）﹣（﹣8） D．（﹣7）+（﹣8）
2．（3分）世界上最深的海沟是太平洋的马里亚纳海沟，海拔为﹣11034米，数据﹣11034用科学记数法表示为（　　）
A．1.1034×104 B．﹣1.10344
C．﹣1.1034×104 D．﹣1.1034×105
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．＝±7 B．＝﹣7 C．＝1 D．＝
4．（3分）如图，测得一商场自动扶梯的长为l，自动扶梯与地面所成的角为θ，则该自动扶梯到达的高度h为（　　）

A．l•sinθ B． C．l•cosθ D．
5．（3分）某汽车队运送一批救灾物资，若每辆车装4吨，还剩下8吨未装；若每辆车装4.5吨，恰好装完．设这个车队有x辆车，则（　　）
A．4（x+8）＝4.5x B．4x+8＝4.5x
C．4.5（x﹣8）＝4x D．4x+4.5x＝8
6．（3分）一次中学生田径运动会上，21名参加男子跳高项目的运动员成绩统计如下：
成绩（m）
1.50
1.55
1.60
1.65
1.70
人数
■
8
6
■
1
其中有两个数据被雨水淋湿模糊不清了，则在这组数据中能确定的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7．（3分）如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E．则下列说法正确的是（　　）

A． B． C． D．
8．（3分）如图，AB∥CD，点E是直线AB上的点，过点E的直线l交直线CD于点F，EG平分∠BEF交CD于点G．在直线l绕点E旋转的过程中，图中∠1，∠2的度数可以分别是（　　）

A．30°，110° B．56°，70° C．70°，40° D．100°，40°
9．（3分）如图所示，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于G，交CD于F，若BG＝2BE，则DF：CF的长为（　　）


A． B． C． D．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+2ax+3a﹣2（a是常数，且a≠0）的图象过点M（x1，﹣1），N（x2，﹣1），若MN的长不小于2，则a的取值范围是（　　）
A．a≥ B．0＜a≤ C．﹣≤a＜0 D．a≤﹣
二．填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分
11．（4分）因式分解：x2﹣4＝　 　．
12．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，若∠DCB＝40°，则∠A的度数为　 　°．

13．（4分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是　 　．
14．（4分）如图，圆弧形弯道两边的直道在连接点处与弯道相切，测得∠AEB＝120°，圆弧的半径是2千米，则该段圆弧形弯道的长为　 　千米（结果保留π）．

15．（4分）某函数满足当自变量x＝﹣1时，函数的值y＝2，且函数y的值始终随自变量x的增大而减小，写出一个满足条件的函数表达式　 　．
16．（4分）如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O．若BO＝6，PO＝2，则AP的长为　 　，AO的长为　 　．

三．解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：
（1）（a﹣3）（a+1）﹣（a﹣3）2；
（2）．
18．（8分）根据《N家学生体质健康标准》规定：九年级男生坐位体前屈达到17.8厘米及以上为优秀；达到13.8厘米至17.7厘米为良好；达到﹣0.2厘米至13.7厘米为及格；达到﹣0.3厘米及以下为不及格，某校为了了解九年级男生的身体柔韧性情况，从该校九年级男生中随机抽取了20%的学生进行坐位体前屈测试，并把测试结果绘制成如图所示的统计表和扇形统计图（部分信息不完整），请根据所给信息解答下列问题．
某校九年级若干男生坐位体前屈成绩统计
成绩（厘米）
等级
人数
≥17.8
优秀
a
13.8～17.7
良好
b
﹣0.2～13.7
及格
15
≤﹣0.3
不及格
c
（1）求参加本次坐位体前屈测试的人数；
（2）求a，b，c的值；
（3）试估计该年级男生中坐位体前屈成绩不低于13.8厘米的人数．

19．（8分）如图，在△ABC中，AB＜AC＜BC，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点D，连接AD过点D作DE⊥AD，交AC于点E．
（1）若∠B＝50°，∠C＝28°，求∠AED度数；
（2）若点F是BD的中点，连接AF，求证：∠BAF＝∠EDC．

20．（10分）某游泳池每次换水前后水的体积基本保持不变，当该游泳池以每小时300立方米的速度放水时，经3小时能将池内的水放完．设放水的速度为x立方米/时，将池内的水放完需y小时．已知该游泳池每小时的最大放水速度为350立方米．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）若该游泳池将放水速度控制在每小时200立方米至250立方米（含200立方米和250立方米），求放水时间y的范围．
（3）该游泳池能否在2.5小时内将池内的水放完？请说明理由．
21．（10分）已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB＝CD．
（1）如图1，连接AD．求证：AM＝DM．
（2）如图2，若AB⊥CD，在弧BD上取一点E，使弧BE＝弧BC，AE交CD于点F，连接AD、DE．
①判断∠E与∠DFE是否相等，并说明理由．
②若DE＝7，AM+MF＝17，求△ADF的面积．

22．（12分）设二次函数y＝（ax﹣1）（x﹣a），其中a是常数，且a≠0．
（1）当a＝2时，试判断点（﹣，﹣5）是否在该函数图象上．
（2）若函数的图象经过点（1，﹣4），求该函数的表达式．
（3）当﹣1≤x≤+1时，y随x的增大而减小，求a的取值范围．
23．（12分）如图1，折叠矩形纸片ABCD，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合），把△ABE沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，折痕EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H点．
（1）求证：△ABE∽△DEG．
（2）若AB＝3，BC＝5，
①点E在移动的过程中，求DG的最大值；
②如图2，若点C恰在直线EF上，连接DH，求线段DH的长．


2020年浙江省杭州市拱墅区等区县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题有10个小题，毎小题3分，共30分.在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）计算下列各式，结果为负数的是（　　）
A．（﹣7）÷（﹣8） B．（﹣7）×（﹣8） C．（﹣7）﹣（﹣8） D．（﹣7）+（﹣8）
【分析】根据有理数的加减乘除法运算法则进行计算即可求解．
【解答】解：A、（﹣7）÷（﹣8）＝，不符合题意；
B、（﹣7）×（﹣8）＝56，不符合题意；
C、（﹣7）﹣（﹣8）＝1，不符合题意；
D、（﹣7）+（﹣8）＝﹣15，符合题意．
故选：D．
【点评】考查了有理数的混合运算，关键是熟练掌握有理数的加减乘除法运算的计算法则．
2．（3分）世界上最深的海沟是太平洋的马里亚纳海沟，海拔为﹣11034米，数据﹣11034用科学记数法表示为（　　）
A．1.1034×104 B．﹣1.10344
C．﹣1.1034×104 D．﹣1.1034×105
【分析】直接利用科学记数法的定义结合科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数，进而得出答案．
【解答】解：将﹣11034用科学记数法表示为：﹣1.1034×104．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．＝±7 B．＝﹣7 C．＝1 D．＝
【分析】根据二次根根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝|﹣7|＝7，故A错误．
（B）原式＝|﹣7|＝7，故B错误．
（C）原式＝＝，故C错误．
（D）原式＝＝，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
4．（3分）如图，测得一商场自动扶梯的长为l，自动扶梯与地面所成的角为θ，则该自动扶梯到达的高度h为（　　）

A．l•sinθ B． C．l•cosθ D．
【分析】利用三角函数的定义即可求解．
【解答】解：∵sinθ＝，
∴h＝l•sinθ，
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数，正确理解三角函数的定义是关键．
5．（3分）某汽车队运送一批救灾物资，若每辆车装4吨，还剩下8吨未装；若每辆车装4.5吨，恰好装完．设这个车队有x辆车，则（　　）
A．4（x+8）＝4.5x B．4x+8＝4.5x
C．4.5（x﹣8）＝4x D．4x+4.5x＝8
【分析】根据题意可得救灾物资总量有（4x+8）吨，或4.5x吨，进而可得方程．
【解答】解：设这个车队有x辆车，由题意得：
4x+8＝4.5x，
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，然后列出方程．
6．（3分）一次中学生田径运动会上，21名参加男子跳高项目的运动员成绩统计如下：
成绩（m）
1.50
1.55
1.60
1.65
1.70
人数
■
8
6
■
1
其中有两个数据被雨水淋湿模糊不清了，则在这组数据中能确定的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】先根据数据的总个数，结合表格求出1.50m和1.65m的人数和，再利用众数的概念可得答案．
【解答】解：∵一共有21个数据，
∴1.50m和1.65m的人数和为21﹣（8+6+1）＝6＜8，
∴这组数据的众数为1.55m，
故选：C．
【点评】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握众数的概念．
7．（3分）如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E．则下列说法正确的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．
【解答】解：A、∵AB∥CD∥MN，
∴＝，本选项结论不正确；
B、∵AB∥CD∥MN，
∴＝，本选项结论不正确；
C、∵AB∥CD∥MN，
∴＝，＝，
∴≠，本选项结论不正确；
D、∵AB∥CD∥MN，
∴＝，本选项结论正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
8．（3分）如图，AB∥CD，点E是直线AB上的点，过点E的直线l交直线CD于点F，EG平分∠BEF交CD于点G．在直线l绕点E旋转的过程中，图中∠1，∠2的度数可以分别是（　　）

A．30°，110° B．56°，70° C．70°，40° D．100°，40°
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠BEG，根据角平分线的定义得到∠BEF，根据邻补角互补求出∠2即可求解．
【解答】解：A、∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠1＝30°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEF＝2∠BEG＝60°．
∴∠2＝180°﹣∠BEF＝120°，不符合题意；
B、∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠1＝56°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEF＝2∠BEG＝112°．
∴∠2＝180°﹣∠BEF＝68°，不符合题意；
C、∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠1＝70°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEF＝2∠BEG＝140°．
∴∠2＝180°﹣∠BEF＝40°，符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠1＝100°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEF＝2∠BEG＝200°．
∴∠2＝360°﹣∠BEF＝160°，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及邻补角的性质，熟练掌握性质并准确识图是解题的关键．
9．（3分）如图所示，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于G，交CD于F，若BG＝2BE，则DF：CF的长为（　　）


A． B． C． D．
【分析】根据题意，先设BE＝a，则BG＝2a，然后根据线段垂直平分线的性质，可以得到AG＝GE，利用勾股定理可以得到GE的长，然后根据题意可以证明△ABE≌△GMF，从而可以得到BE＝ME，然后即可用含a的代数式表示出DF和CF的长，从而可以得到DF：CF的长．
【解答】解：作GM⊥CD交CD于点M，连接GE，
设BE＝a，则BG＝2a，则GE＝a，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠B＝∠C＝90°，
∵GM⊥CD，
∴∠CMG＝90°，
∴四边形BCMG是矩形，
∴BG＝CM＝2a，GM＝BC，
∵FG垂直AE，并且平分AE，
∴AG＝GE＝，
∴AB＝2a+，
∵∠FGM+∠AGF＝90°，∠AGF+∠GAE＝90°，
∴∠FAM＝∠EAB，
在△ABE和△GMF中
，
∴△ABE≌△GMF（ASA），
∴BE＝MF，
∴MF＝a，
∵DF＝CD﹣CM﹣MF，AB＝CD＝2a+，CF＝CM+MF＝2a+a＝3a，
∴DF＝2a+﹣2a﹣a＝﹣a，
∴DF：CF＝（﹣a）：（3a）＝，
故选：A．

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+2ax+3a﹣2（a是常数，且a≠0）的图象过点M（x1，﹣1），N（x2，﹣1），若MN的长不小于2，则a的取值范围是（　　）
A．a≥ B．0＜a≤ C．﹣≤a＜0 D．a≤﹣
【分析】由于抛物线所经过的M、N两点的纵坐标为﹣1，说明抛物线与直线y＝﹣1有两个交点，则x1，x2是方程ax2+2ax+3a﹣2＝﹣1有两个不相等的根，由根与系数的关系求得|x1﹣x2|便为MN的长度，再根据MN的长不小于2，列出a的不等式求得a的取值范围，再结合方程根的判别式与解的情况的关系求得a的取值范围，便可得出最后结果．
【解答】解：令y＝﹣1，得y＝ax2+2ax+3a﹣2＝﹣1，
化简得，ax2+2ax+3a﹣1＝0，
∵二次函数y＝ax2+2ax+3a﹣2（a是常数，且a≠0）的图象过点M（x1，﹣1），N（x2，﹣1），
∴△＝4a2﹣12a2+4a＝﹣8a2+4a＞0，
∴0＜a＜，
∵ax2+2ax+3a﹣1＝0，
∴x1+x2＝﹣2，，
∴，
即MN＝，
∵MN的长不小于2，
∴≥2，
∴a≤，
∵0＜a＜，
∴0＜a≤，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，关键是用根与系数的关系求出|x1﹣x2|的值．
二．填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分
11．（4分）因式分解：x2﹣4＝　（x+2）（x﹣2）　．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
12．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，若∠DCB＝40°，则∠A的度数为　50　°．

【分析】根据直角三角形和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
∵BD＝CD＝AB，
∴∠B＝∠DCB＝40°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质的应用，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．
13．（4分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是　　．
【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：

共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，
所以两枚硬币全部正面向上的概率＝．
故答案为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
14．（4分）如图，圆弧形弯道两边的直道在连接点处与弯道相切，测得∠AEB＝120°，圆弧的半径是2千米，则该段圆弧形弯道的长为　　千米（结果保留π）．

【分析】如图，设圆心为O，连接OA，OB，根据切线的性质和弧长的计算公式即可得到结论．
【解答】解：如图，设圆心为O，连接OA，OB，
∵EA，EB是切线，
∴∠EAO＝∠EBO＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
由题意：＝π，
答：弯道圆弧的半径为π千米．

【点评】本题考查了切线的性质，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．（4分）某函数满足当自变量x＝﹣1时，函数的值y＝2，且函数y的值始终随自变量x的增大而减小，写出一个满足条件的函数表达式　y＝﹣2x　．
【分析】根据题意，可以写出一个满足条件的函数解析式，本题得以解决．
【解答】解：y＝﹣2x，当x＝﹣1时，y＝2且函数y的值始终随自变量x的增大而减小，
故答案为：y＝﹣2x．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出一个符合题意的函数解析式，注意答案不唯一．
16．（4分）如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O．若BO＝6，PO＝2，则AP的长为　4　，AO的长为　1+　．

【分析】证明△ABP≌△ACQ （SAS），得出∠ABP＝∠CAQ，∠BAQ+∠CAQ＝60°，证明△APO∽△BPA，得出，则AP2＝OP•BP，可求出AP，设OA＝x，则AB＝2x，在Rt△ABE中，由AE2+BE2＝AB2，得出x的值即可得解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形
∴∠BAP＝∠ACQ＝∠ABQ，AB＝AC＝BC
∵在△ABP和△ACQ中
，
∴△ABP≌△ACQ （SAS），
∴∠ABP＝∠CAQ，∠BAQ+∠CAQ＝60°，
∵∠APO＝∠BPA，
∴△APO∽△BPA，
∴，
∴AP2＝OP•BP，
∵BO＝6，PO＝2，
∴AP2＝2×8＝16，
∴AP＝4，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAQ+∠CAQ＝60°，
∴∠BAQ+∠ABP＝60°，
∵∠BOQ＝∠BAQ+ABP，
∴∠BOQ＝60°，
过点B作BE⊥OQ于点E，

∴∠OBE＝30°，
∵OB＝6，
∴OE＝3，BE＝3，
设OA＝x，
∵，
∴AB＝2x，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
∴，
解得：x＝1+（x＝1﹣舍去），
∴AO＝1+．
故答案为：4，1+．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
三．解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：
（1）（a﹣3）（a+1）﹣（a﹣3）2；
（2）．
【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．
（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣2a﹣3﹣a2+6a﹣9＝4a﹣12．
（2）原式＝＝．
【点评】本题考查学生的运算，解题的关键是熟练运用整式与分式的运算法则，本题属于基础题型．
18．（8分）根据《N家学生体质健康标准》规定：九年级男生坐位体前屈达到17.8厘米及以上为优秀；达到13.8厘米至17.7厘米为良好；达到﹣0.2厘米至13.7厘米为及格；达到﹣0.3厘米及以下为不及格，某校为了了解九年级男生的身体柔韧性情况，从该校九年级男生中随机抽取了20%的学生进行坐位体前屈测试，并把测试结果绘制成如图所示的统计表和扇形统计图（部分信息不完整），请根据所给信息解答下列问题．
某校九年级若干男生坐位体前屈成绩统计
成绩（厘米）
等级
人数
≥17.8
优秀
a
13.8～17.7
良好
b
﹣0.2～13.7
及格
15
≤﹣0.3
不及格
c
（1）求参加本次坐位体前屈测试的人数；
（2）求a，b，c的值；
（3）试估计该年级男生中坐位体前屈成绩不低于13.8厘米的人数．

【分析】（1）由及格人数及其所占百分比可得总人数；
（2）先根据各等级人数＝总人数×对应等级百分比求出b、c的值，再利用各等级人数之和等于总人数求出a的值；
（3）用优秀和良好的人数除以20%即可得．
【解答】解：（1）参加本次坐位体前屈测试的人数：15÷25%＝60（人）
即参加本次坐位体前屈测试的人数是 60 人．

（2）b＝60×45%＝27，c＝60×10%＝6，a＝60﹣27﹣15﹣6＝12；

（3）（12+27）÷20%＝195，
估计该年级男生中坐位体前屈成绩不低于13.8厘米的人数约为195人．
【点评】本题主要考查扇形统计图，解题的关键是掌握扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＜AC＜BC，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点D，连接AD过点D作DE⊥AD，交AC于点E．
（1）若∠B＝50°，∠C＝28°，求∠AED度数；
（2）若点F是BD的中点，连接AF，求证：∠BAF＝∠EDC．

【分析】（1）由题意可得AB＝AD，求得∠ADB＝∠B＝50°，根据平角的定义得到∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣50°﹣90°＝40°，根据三角形外角的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到AF⊥BD，∠BAF＝∠DAF，由三角形的内角和得到∠DAF+∠ADB＝90°，由平角的定义得到∠ADF+∠EDC＝90°，于是得到结论．
【解答】解：（1）由题意可得AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝50°，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣50°﹣90°＝40°，
∵∠C＝28°，
∴∠AED＝∠EDC+∠C＝40°+28°＝68°；
（2）∵AB＝AD，点F是BD的中点，
∴AF⊥BD，∠BAF＝∠DAF，
∴∠DAF+∠ADB＝90°
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ADF+∠EDC＝90°，
∴∠DAF＝∠EDC，
∴∠BAF＝∠EDC．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
20．（10分）某游泳池每次换水前后水的体积基本保持不变，当该游泳池以每小时300立方米的速度放水时，经3小时能将池内的水放完．设放水的速度为x立方米/时，将池内的水放完需y小时．已知该游泳池每小时的最大放水速度为350立方米．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）若该游泳池将放水速度控制在每小时200立方米至250立方米（含200立方米和250立方米），求放水时间y的范围．
（3）该游泳池能否在2.5小时内将池内的水放完？请说明理由．
【分析】（1）根据放水速度×放水时间＝水的体积（定值）即可列出函数关系式，由函数解析式可得反比例函数；
（2）根据200≤x≤250得到≤y≤即可；
（3）根据y＜2.5确定x的取值，与350比较即可．
【解答】解：（1）由题意得 xy＝300×3＝900，
∴y＝（0＜x≤350）；

（2）由题意可知 200≤x≤250，
∴≤y≤，
∴3.6≤y≤4.5；

（3）该游泳池不能在 2.5 小时内将池内的水放完，
∵y＜2.5，
∴＜2.5，
∴x＞＞350，
∴该游泳池不能在 2.5 小时内将池内的水放完．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解决本题的关键是结合实际问题确定两个变量之间的关系．
21．（10分）已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB＝CD．
（1）如图1，连接AD．求证：AM＝DM．
（2）如图2，若AB⊥CD，在弧BD上取一点E，使弧BE＝弧BC，AE交CD于点F，连接AD、DE．
①判断∠E与∠DFE是否相等，并说明理由．
②若DE＝7，AM+MF＝17，求△ADF的面积．

【分析】（1）如图1，利用AB＝CD得到＝，则＝，根据圆周角定理得到∠A＝∠D，然后根据等腰三角形的判定得到结论；
（2）①连接AC，如图，由弧BE＝弧BC得到∠CAB＝∠EAB，再根据等腰三角形的判定方法得到AC＝AF，则∠ACF＝∠AFC，然后圆周角定理、对顶角和等量代换得到∠DFE＝∠E；
②由∠DFE＝∠E得DF＝DE＝7，再利用AM＝DM得到AM＝MF+7，加上AM+MF＝17，于是可求出AM，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】（1）证明：如图1，
∵AB＝CD，
∴＝，
即+＝+，
∴＝，
∴∠A＝∠D，
∴AM＝DM；
（2）①∠E与∠DFE相等．
理由如下：
连接AC，如图，
∵弧BE＝弧BC，
∴∠CAB＝∠EAB，
∵AB⊥CD，
∴AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC，
∵∠ACF＝∠E，∠AFC＝∠DFE，
∴∠DFE＝∠E；
②∵∠DFE＝∠E，
∴DF＝DE＝7，
∵AM＝DM，
∴AM＝MF+7，
∵AM+MF＝17，
∴MF+7+MF＝17，解得MF＝5，
∴AM＝12，
∴S△ADF＝×7×12＝42．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．
22．（12分）设二次函数y＝（ax﹣1）（x﹣a），其中a是常数，且a≠0．
（1）当a＝2时，试判断点（﹣，﹣5）是否在该函数图象上．
（2）若函数的图象经过点（1，﹣4），求该函数的表达式．
（3）当﹣1≤x≤+1时，y随x的增大而减小，求a的取值范围．
【分析】（1）把a的值和已知点的坐标代入解析式中进行验证便可；
（2）代入已知点坐标求得a便可得解析式；
（3）分a＞0和a＜0两种情况，根据二次函数的增减性和已知条件列出a的不等式便可求得结果．
【解答】解：（1）∵a＝2，
∴y＝（ax﹣1）（x﹣a）＝（2x﹣1）（x﹣2），
当x＝﹣0.5时，y＝5≠﹣5，
∴点（﹣，﹣5）不在该函数图象上；

（2）∵函数的图象经过点（1，﹣4），
∴（a﹣1）（1﹣a）＝﹣4，
解得，a＝﹣1或3，
∴该函数的表达式为：y＝（3x﹣1）（x﹣3）或y＝（﹣x﹣1）（x+1）；

（3）∵二次函数y＝（ax﹣1）（x﹣a）的图象与x轴交于点（，0），（a，0），
∴函数图象的对称轴为直线x＝，
当a＞0时，函数图象开口向上，
∵当﹣1≤x≤+1时，y随x的增大而减小，
∴≥+1，
∴a≤，
∴0＜a≤；
当a＜0时，函数图象开口向下，
∵当﹣1≤x≤+1时，y随x的增大而减小，
∴≤﹣1，
∴a≥﹣，
∴﹣≤a＜0；
综上，﹣≤a＜0或0＜a≤．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征，待定系数法，关键是根据题意正确列出a的不等式．
23．（12分）如图1，折叠矩形纸片ABCD，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合），把△ABE沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，折痕EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H点．
（1）求证：△ABE∽△DEG．
（2）若AB＝3，BC＝5，
①点E在移动的过程中，求DG的最大值；
②如图2，若点C恰在直线EF上，连接DH，求线段DH的长．

【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可．
（2）①设 AE＝x，证明△ABE∽△DEG，推出＝，可得DG＝＝﹣（x﹣）2+，利用二次函数的性质求解即可．
②如图2中，连接DH．解直角三角形求出AE，DE，DG，EG，由翻折的性质可知EG垂直平分线段DH，利用面积法可得DH＝2×．
【解答】解：（1）如图1中，

由折叠可知∠AEB＝∠FEB，∠DEG＝∠HEG，
∵∠AEB+∠FEB+∠DEG+∠HEG＝180°，
∴∠AEB+∠DEG＝90°，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠DEG，
∴△ABE∽△DEG．

（2）①设 AE＝x，
∵△ABE∽△DEG，
∴＝，
∴＝，
∴DG＝＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，（0＜x＜5），
∴x＝时，DG有最大值，最大值为．

②如图2中，连接DH．

由折叠可知∠AEB＝∠FEB，AE＝EF，AB＝BF＝3，∠BFE＝∠A＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠FEB＝∠EBC，
∴CE＝CB＝5，
∵点C在直线EF上，
∴∠BFC＝90°，CF＝5﹣EF＝5﹣AE，
∴CF＝＝＝4，
∴AE＝EF＝5﹣4＝1，
∴DG＝＝，
∴EG＝＝＝，
由折叠可知EG垂直平分线段DH，
∴DH＝2×＝2×＝．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．
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日期：2021/3/18 9:40:37；用户：初中数学；邮箱：hzjf111@xyh.com；学号：24117471