2022届中考数学二轮复习专题 与圆有关的位置关系解析版

这是一份2022届中考数学二轮复习专题 与圆有关的位置关系解析版，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，作图题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。

中考数学二轮复习专题 与圆有关的位置关系
一、单选题
1．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，点D是优弧BC上一点，∠BDC＝70°， 则∠A的度数是（　　）

A．20° B．40° C．55° D．70°
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，点C，D是劣弧 上两点，CD∥AB，∠CAB＝45°，若AB＝6，CD＝2，则 所在圆的半径长为（　　）

A． B． C．2 D．
4．如图所示，⊙M与x轴相切于原点，平行于y轴的直线交圆于P，Q两点，P点在Q点的下方，若P点坐标是（2，1），则圆心M的坐标是（　　）

A．（0，3） B．（0，2） C．（0，） D．（0，）
5．如图， 是 的弦，点 在过点 的切线上， ， 交 于点 .若 ，则 的度数等于（　　）

A． B． C． D．
6．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（　　）

A．2 B． C． D．
7．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点P在经过点A（﹣3，0），B（0，4）的直线上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ的最小值为（　　）

A． B．2.4 C． D．3
8．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H。设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为(　　)

A． B． C． D．π
9．如图，一把直尺， 60°的直角三角板和光盘如图摆放， A为 60°角与直尺交点， AB=3 ,则光盘的直径是(　　)


A．3 B． C． D．
10．如图，抛物线y＝ x2﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（　　）

A． B． C．3 D．2
二、填空题
11．是的内接正六边形一边，点P是优弧上的一点（点P不与点A，B重合）且，与交于点C，则的度数为　 　．

12．在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4cm，BC=3cm，则以2.4cm为半径的⊙C与直线AB的关系是　 　.
13．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E在CD上，DE=1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是　 　。

14．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过圆心P，则k=　 　 ．

15．如图，半径为 2 的⊙O 与正六边形 ABCDEF 相切于点 C，F，则图中阴影部分的面积为　 　.

16．已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是　 　．
17．已知⊙O的半径为R，点O到直线m的距离为d，R、d是方程x2-4x+a=0的两根，当直线m与⊙O相切时，a=　 　.
18．如图，在 中， 的半径为1,点P是 边上的动点，过点P作 的一条切线 (其中点Q为切点)，则线段 长度的最小值为　 　．

三、作图题
19．如图，有一块三角形材料（△ABC），请你画出一个圆，使其与△ABC的各边都相切.
.
20．如图，已知△ABC，用尺规作出△ABC外心．（保留作图痕迹，不写作法）

四、解答题
21．如图，是以为斜边的等腰直角三角形，其内部的4段弧均等于以BC为直径的圆周，求图中阴影部分的面积．

22．如图，AB、CD为 O的直径，弦AE//CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使 PED= C.

（1）求证：PE是 O的切线；
（2）求证：ED平分 BEP；
（3）若 O的半径为5，CF=2EF，求PD的长.
五、综合题
23．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O．

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC=3，BC=4，求BE的长．
24．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，以O为圆心，OA为半径作，交y轴于点C，直线l：经过点C．

（1）设直线l与的另一个交点为如图，求弦CD的长；
（2）将直线l向上平移2个单位，得直线m，如图2，求证：直线m与相切；
（3）在的前提下，设直线m与切于点P，Q为上一动点，过点P作，交直线QA于点如图，则的最大面积为　 　．
25．如图，ΔDBE内接于⊙O，BD为直径，DE＝EB，点C在⊙O（不与D，B，E重合）上，∠A＝45°，点A在直线CD上，连接AB．

（1）如图1，若点C在DE上，求证：ΔABD～ΔCBE；
（2）在（1）的条件下，DC＝6，DB＝10，求线段CE的长；
（3）若直线BC与直线DE相交于点F，当 时，求 的值。

答案解析部分
【解析】【解答】连接OB、OC，如图所示：

∵AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，
∴，
∵∠BDC=70°，
∴∠BOC=2×70°=140°，
∴

，故B符合题意．
故答案为：B．

【分析】根据切线的性质可得，根据圆周角定理求出∠BOC，再根据四边形内角和定理求出 ∠A的度数 。
【解析】【解答】解：如图，

设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5
∵∠OPB＝90°，
∴OP∥AC
∵点O是AB的三等分点，
∴OB＝ ×5＝ ， ＝ ＝ ，
∴OP＝ ，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴ ＝ ＝ ，
∴OD＝1，
∴MN最小值为OP﹣OF＝ ﹣1＝ ，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值＝ +1＝ ，
∴MN长的最大值与最小值的和是6。
故答案为：B。
【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，首先在△ABC中，根据勾股定理算出AB，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出OP∥AC，根据平行线等分线段定理得出 ＝ ＝ ，根据比例式即可算出OP的长；根据切线的性质得出OD⊥AC，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出OD∥BC，根据平行线等分线段定理得出 ＝ ＝ ，根据比例式算出OD的长，即可算出MN最小值；如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，从而算出MN的最大值，综上所述即可得出答案。
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，连接BC，如图：

则
∵CD∥AB，
∴∠ECD=∠CEA=90°，
∴∠CEF=∠DCE=∠DFE=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∴EF=CD=2，
∴CD∥AB，
∴∠ABC=∠BCD，
∴ ，
∴AC=BD，
又∵CD∥AB，
∴四边形ABDC是等腰梯形，
∵AB=6，CD=2，
根据等腰梯形的对称性可知：

∴BE=BF+EF=2+2=4，
在


∴
在 ，
∴ ，
根据圆周角的性质可知 ，
在 ，
∴ ，
∵BO＞0，
∴BO= .
故答案为：D.
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，连接BC，由二直线平行，内错角相等可得∠ECD=∠CEA=90°，推出四边形CDFE是矩形，则EF=CD=2，根据弧、弦的关系可得AC=BD，推出四边形ABDC是等腰梯形，则AE=BF=2，BE=BF+EF=4，易得CE=AE=2，由勾股定理求出BC，根据圆周角定理可知 ∠COB=90°，然后在Rt△BOC中，由勾股定理就可求出BO.
【解析】【解答】连MP，过M作MA⊥PQ于A，则PB=MA=2，

设⊙M的半径为R，则MP2=MA2+PA2，
即R2=22+（R-1)2，
解得R=，
故选：C．
【分析】连接MP，过M作MA⊥PQ于A，设⊙M的半径为R，所以MP=R，PA=R-1，MA=PB=2，根据勾股定理则有：MP2=MA2+PA2，即可求得R=．
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠APO=70°，
∵ ，
∴∠AOP=90°，∴∠A=20°，
又∵OA=OB，
∴∠ABO=20°，
又∵点C在过点B的切线上，
∴∠OBC=90°，
∴∠ABC=∠OBC−∠ABO=90°−20°=70°，
故答案为：B.
【分析】根据题意可求出∠APO、∠A的度数，进一步可得∠ABO度数，从而推出答案.
【解析】【解答】解：连接OA

∵∠ABC=30°弧AC=弧AC
∴∠AOC=2∠ABC=60°
∵AP是圆O的切线，
∴OA⊥AP
∴∠OAP=90°
∴AP=OAtan60°=1× =
故答案为：B
【分析】连接OA，利用圆周角定理可求出∠AOC的度数，再根据切线的性质，可证△AOP是直角三角形，然后利用解直角三角形求出PA的长。
【解析】【解答】解：如图所示：连接OP、OQ，

PQ切⊙O于点Q，
， 为直角三角形，
由勾股定理可知： ，
故当OP有最小值时，PQ也有最小值，
根据点到直线距离，垂线段最短可知：当 ，OP有最小值，
如下图所示：过点O向AB作垂线，垂足为P，并在圆上找到对应切点Q，连接PQ与OQ.

点A（﹣3，0），B（0，4），
， ，
在 中，由勾股定理可得： ，
利用等面积法可得： 　解得：
故 .
故答案为：C.
【分析】连接OP、OQ，易得△OPQ为直角三角形，由勾股定理可得：当OP有最小值时，PQ也有最小值，根据垂线段最短可知：当PO⊥AB时，OP有最小值，过点O向AB作垂线，垂足为P，并在圆上找到对应切点Q，连接PQ与OQ，根据点A、B的坐标可得OA=3，OB=4，由勾股定理求出AB，然后根据等面积法求出OP，接下来根据勾股定理求解即可.
【解析】【解答】解：如图，连OI，PI，AI。

∵PH⊥OA
∴∠PHO=90°，
∴∠HOP+∠OPH=90°
又∵I为△OPH的内心
∴∠IOP=∠IOA=∠HOP，∠IPO=∠OPH
∴∠IOP+∠IPO=(∠HOP+∠OPH）=45°
∴∠PIO=180°-（∠IPO+∠IOP）=180°-45°=135°
又∵OP=OA，OI=OT，∠IOP=∠IOA
∴△OPI≌△OAI
∴∠AIO=∠PIO=135°
∴点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上
过A、I、O三点作⊙O′，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO。
∴∠APO=180°-∠AIO=180°-135°=45°
∴∠AO′O=90°
∴O′O=OA=×2=
∴弧OA的长=.

∴内心I所经过的路径长为。
故答案为：B.
【分析】连OI，PI，AI，先利用三角形的内心的定义求出∠PIO=135°，然后易证△OPI≌△OAI，利用相似三角形的对应角相等得到∠AIO=∠PIO=135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO，利用圆内接四边形的性质可得∠APO=45°，进而得∠AOO=90°，则可求出O′O，然后利用弧长公式计算即可。
【解析】【解答】解：设光盘切直角三角形斜边于点C，连接OC、OB、OA（如图）,

∵∠DAC=60°,
∴∠BAC=120°.
又∵AB、AC为圆O的切线，
∴AC=AB，∠BAO=∠CAO=60°,
在Rt△AOB中，
∵AB=3,
∴tan∠BAO= ,
∴OB=AB×tan∠60°=3 ，
∴光盘的直径为6 .
故答案为：D.
【分析】设光盘切直角三角形斜边于点C，连接OC、OB、OA（如图）,根据邻补角定义得∠BAC=120°，又由切线长定理AC=AB，∠BAO=∠CAO=60°；在Rt△AOB中，根据正切定义得tan∠BAO= ,代入数值即可得半径OB长，由直径是半径的2倍即可得出答案.
【解析】【解答】解：令y＝ x2﹣1＝0，则x＝±3，
故点B（3，0），
设圆的半径为r，则r＝1，
当B、D、C三点共线，且点D在BC之间时，BD最小，
而点E、O分别为AD、AB的中点，故OE是△ABD的中位线，
则OE＝ BD＝ （BC﹣r）＝ （ ﹣1）＝2，
故答案为：D.
【分析】当B、D、C三点共线，且点D在BC之间时，BD最小，而OE是△ABD的中位线，即可求解.
【解析】【解答】解：∵是的内接正六边形一边，
∴
∴
∵，
∴
∴
故答案为90°

【分析】根据平行线的性质得出，代入计算即可。
【解析】【解答】相切，理由是：
过C作CD⊥AB于D，
∵在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4cm，BC=3cm，
∴由勾股定理得：AB=5cm，
∵由三角形的面积公式得： AC×BC= AB×CD，
∴3×4=5CD，
∴CD=2.4cm，
∴以2.4cm为半径的⊙C与直线AB的关系是相切，
故答案为：相切．
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，最后根据直线和圆的位置关系得出即可．
【解析】【解答】解：以EF为斜边的直角三角形的直角顶点P是以EF为直径的圆与矩形边的交点，取EF的中点O，
（1）如图1，当圆O与AD相切于点G时，连结OG，此时点G与点P重合，只有一个点，此时AF=OG=DE=1；

（2）如图2，当圆O与BC相切于点G，连结OG，EG，FG，此时有三个点P可以构成Rt△EFP，

∵OG是圆O的切线，
∴OG⊥BC
∴OG//AB//CD
∵OE=OF，
∴BG=CG，
∴OG=（BF+CE），
设AF=x，则BF=4-x，OG=(4-x+4-1)=(7-x)，
则EF=2OG=7-x，EG2=EC2+CG2=9+1=10,FG2=BG2+BF2=1+(4-x)2
在Rt△EFG中，由勾股定理得EF2=EG2+FG2，得（7-x）2=10+1+（4-x）2,解得x=
所以当1＜AF＜时，以EF为直径的圆与矩形ABCD的交点（除了点E和F）只有两个；
（3）因为点F是边AB上一动点：
当点F与A点重合时，AF=0，此时Rt△EFP正好有两个符合题意；
当点F与B点重合时，AF=4，此时Rt△EFP正好有两个符合题意；
故答案为0或1＜AF＜或4
【分析】学习了圆周角的推论：直径所对的圆周角是直角，可提供解题思路，不妨以EF为直径作圆，以边界值去讨论该圆与矩形ABCD交点的个数
【解析】【解答】作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，∵⊙P与边AB，AO都相切，∴PD=PE=r，AD=AE，
在Rt△OAB中，∵OA=8，AB=10，∴OB==6，∵AC=2，∴OC=6，∴△OBC为等腰直角三角形，∴△PCD为等腰直角三角形，
∴PD=CD=r，∴AE=AD=2+r，∵∠CAH=∠BAO，∴△ACH∽△ABO，∴=，即=，解得CH=，∴AH===，
∴BH=10﹣=，∵PE∥CH，∴△BEP∽△BHC，∴=，即=，解得r=1，∴OD=OC﹣CD=6﹣1=5，∴P（5，﹣1），
∴k=5×（﹣1）=﹣5．故答案为：﹣5

【分析】作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r，AD=AE，再 利用勾股定理计算出OB=6，则可判断△OBC为等腰直角三角形，从而得到△PCD为等腰直角三角形，则PD=CD=r，AE=AD=2+r，通过证明 △ACH∽△ABO，利用相似比计算出CH=，接着利用勾股定理计算出AH=，所以BH=10﹣=，然后证明△BEH∽△BHC，利用相似比得到即=，解得r=1，从而易得P点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值．
【解析】【解答】解：连接OF，OC，CF，过点O作 于点H，交FC于点P，

在四边形OCDH中， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
同理∠FOH=60°，
∵OC=OF，
∴OP垂直平分FC，
在Rt△OPC中， ， ，OC=2，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
过点D作 ，过点E作 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
同理可得， ，
在Rt△DMC中， ，
∴ ，
在Rt△EFN中， ，
∴ ，
∴ ，
∵EF=DE=CD=NM，
∴ ，
，
∴ ，
则 ，
∴ ，
，
∴阴影部分的面积= ，
故答案为： .
【分析】连接OF，OC，CF，过点O作OH⊥ED于点H，交FC于点P，利用四边形内角和为360°可得∠COH=60°，∠FOH=60°，利用内角和定理可得∠OCP=30°，则OP= OC=1，由勾股定理可得PC，进而求出FC，过点D作DM⊥FC，过点E作EN⊥FC，则∠PCD=∠OCD-∠OCP=60°，同理可得∠PFE=60°，由内角和定理可得∠MDC=30°，∠FEN=30°，则MC= DC，NF= EF，则FC=FN+NM+MC=2ED，ED=CD=EF=NM，据此可得MC、DM，然后根据S阴影=S△OFC+SFEDC- 进行计算.
【解析】【解答】解：如图：连接BO，CO，
∵△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°．
若点A在劣弧BC上时，∠A=150°．
∴∠A=30°或150°．
故答案为：30°或150°．
​
【分析】利用等边三角形的判定与性质得出∠BOC=60°，再利用圆周角定理得出答案．
【解析】【解答】∵直线和圆相切，
∴d=r，
∴△=16-4a=0，
∴a=4，
故答案为：4
【分析】若直线和圆相切，则d=r．即方程有两个相等的实数根，得16-4a=0，a=4．
【解析】【解答】解：如图：连接OP、OQ，

∵ 是 的一条切线
∴PQ⊥OQ
∴
∴当OP⊥AB时，如图OP′，PQ最短
在Rt△ABC中，
∴AB=2OB= ,AO=cos∠A·AB=
∵S△AOB=
∴ ，即OP=3
在Rt△OPQ中，OP=3,OQ=1
∴PQ= ．
故答案为 ．
【分析】如图：连接OP、OQ，根据 ,可得当OP⊥AB时，PQ最短；在 中运用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求得AB、AQ的长，然后再运用等面积法求得OP的长，最后运用勾股定理解答即可．
【解析】【解答】正确画出两条角平分线，确定圆心；确定半径。
【分析】考查三角形的内切圆与内心。
【解析】【分析】根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点可知，作AC、AB的垂直平分线，则其交点就是所求.
【解析】【分析】根据题意得出阴影部分的面积=半圆的面积-正方形CEDF的面积的两倍，即可求出答案。
【解析】【分析】（1）连接OE．要证明PE是 ⊙ O的切线，则要证明∠OEP=∠CED=90°，则需要证明 ∠PED=∠2，而∠1=∠2．∠PED=∠1，可证得；
（2）根据同角的余角相等，可得∠3=∠4，又由∠PED=∠1，AE//CD，可得∠PED=∠1=∠3=∠4，即可证得；
（3）设EF=x，则CF=2x，根据勾股定理OE2=OF2+EF2，求出EF，BE，CF，DF；根据∠BEP=2∠4=2∠1=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，得到△AEB∽△EFP，从而根据相似三角形的性质求得PF，则PD=PF-DF.
【解析】【分析】（1）连接OD，由AE为直径、DE⊥AD可得出点D在⊙O上且∠DAO=∠ADO，根据AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO，由“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥DO，再结合∠C=90°即可得出∠ODB=90°，进而即可证出BC是⊙O的切线；（2）在Rt△ACB中，利用勾股定理可求出AB的长度，设OD=r，则BO=5﹣r，由OD∥AC可得出 = ，代入数据即可求出r值，再根据BE=AB﹣AE即可求出BE的长度．
【解析】【解答】解：（3）的最大面积为54．
理由：设与x轴的另一交点为G，连接PA、OP、PG，过点P作轴于H，如图

由∽，可得，
，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
当PQ取得最大值时，即时，取得最大值，
此时．
故答案为54．

【分析】（1）作L的垂线，利用面积法求出OE，再利用勾股定理求出CE，根据为等腰三角形可知CE=2CD就可以求出答案
（2）作m的垂线，垂足为F，设直线m与x轴交于点N，与y轴交于点M，只要证明OF=半径即可
（3）设与x轴的另一交点为G，连接PA、OP、PG，过点P作轴于H，由，推出面积相似比，求出的面积表达式，推出PQ取最大值时，面积最大
【解析】【分析】(1)根据圆内接四边形的性质得出∠ADB=∠BCE，根据圆周角定理得出∠BCD=90°，再证明△BED和△ACB为等腰直角三角形，然后根据角的和差关系求出∠CBE=∠ABD，则可证明△ADB∽△CEB；
(2)根据勾股定理求出BC长，根据等腰直角三角形性质求出AB和BE，再根据线段的和差关系求出AD，由(1)得△ADB∽△CEB，然后根据相似三角形的性质列比例式求CE长即可；
(3)根据C是动点，则要分类讨论，当点在圆内时，连结DG，作EH⊥BC于点H，根据 ，设DC=k，CB=3k，由△ABC等腰直角三角形，BD为 ⊙O 直径，得出∠DGB=∠DGA=90°，证明△DGB∽△EHB，列比例式求出EH=k，由DC∥EH，得到△DCF∽△EHF，再列比例式求出即可 的 值；当点在圆外时，连结DG，作EH⊥BC于点H，先证明△DGB∽△EHB，列比例式求出EH=2k，再证明△DCF∽△EHF，最后求出 的值即可.
本题需要注意若4在BC上方,方法结论都一样.