2022届中考数学二轮专题复习-圆的性质及有关计算解析版

这是一份2022届中考数学二轮专题复习-圆的性质及有关计算解析版，共43页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 中考数学二轮专题复习-圆的性质及有关计算
一、单选题
1．如图，点A、B、C在⊙O上，∠CAB＝70°，则∠BOC等于（ ）

A．100° B．110° C．130° D．140°
2．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可以是（　　）

A．3.1 B．4.2 C．5.3 D．6.4
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=34°，则∠ABD等于（　　）

A．66° B．34° C．56° D．68°
4．如图，点A，B，C在上，是等边三角形，则的大小为（　　）

A．60° B．40° C．30° D．20°
5．已知 为圆 的直径， 为圆周上一点， ， ．则 的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
6．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB=10，BE=2，则OF的长度是（　　）

A． B．3 C． D．
7．如图，是⊙O的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则圆心到弦的距离等于（　　）

A． B． C． D．
8．如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（　　）

A．A，B，C都不在 B．只有B
C．只有A，C D．A，B，C
9．如图，四边形ABCD内接于，若，则的度数为（　　）

A．50° B．100° C．130° D．150°
10．如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且⊙O1经过⊙O2的圆心，则∠O1AB的度数为（　　）

A．45° B．30° C．20° D．15°
11．如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D＝120°，则∠CAB的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
12．如图，四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为2，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
13．如图，点C，D是劣弧 上两点，CD∥AB，∠CAB＝45°，若AB＝6，CD＝2，则 所在圆的半径长为（　　）

A． B． C．2 D．
14．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：
①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，②AP＝FP，③AE＝ AO，④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，⑤CE•EF＝EQ•DE．其中正确的结论有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
15．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（　　）

A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形
B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30°
D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
16．如图所示，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，AC，BD交于点E，F为 上一点，连结AF，BF，AB，AD，有下列结论：①AE＝BE；②若AC⊥BD，则AD＝ R；③若AC⊥BD， ＝ ，AB＝ ，则BF+CE＝1.其中正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
17．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作AD OC，若CO＝ ，AC＝2，则AD＝（　　）

A．3 B． C． D．
18．如图，在△ABC中，

（1）作AB和BC的垂直平分线交于点O；（2）以点O为圆心，OA长为半径作圆；（3）⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M，N；（4）连接AM，AN，CM，其中AN与CM交于点P.根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论：
① ＝2 ；②AB＝2AM；③点P是△ABC的内心；④∠MON＋2∠MPN＝360°.
其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（　　）

A．2 －2 B．2 C．3 －1 D．2
20．如图，AB是⊙o直径，M，N是 上两点，C是 上任一点，∠ACB角平分线交⊙o于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从M运动到N时，C、E两点的运动路径长之比为(　　)

A． B． C． D．
二、填空题
21．如图，在⊙O中，点A在上，∠BOC=100°，则∠BAC=　 　.

22．如图，在⊙O中，A，B，C是⊙O上三点，如果∠AOB=70º，那么∠C的度数为　 　．

23．如图，四边形是的内接四边形，对角线是的直径，，，则的半径长为　 　．

24．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于点E，若OA=5，AB=8，则AD的长为　 　．

25．如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是　 　

26．如图所示，草坪边上有互相垂直的小路m,n，垂足为E，草坪内有一个圆形花坛，花坛边缘有A,B,C三棵小树。在不踩踏草坪的前提下测圆形花坛的半径，某同学设计如下方案：若在小路上P,Q,K三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，从E点沿着小路n往右走，测得∠1=∠2=∠3，EO=16米，OK=24米；从E点沿着小路m往上走，测得EP=15米，BP⊥m，则该圆的半径长为　 　米.

27．已知AC、BD为⊙O的直径，连结AB，BC，AB＝BC，若点F是OC上一点，且CF＝2OF．点E是AB上一点（且不与点A、B重合），连结EF，设OB与EF交于点P．
①如图2，当点E为AB中点时，则 的值　 　；
②连结DF，当EF⊥DF时， ＝　 　.

28．如图，半径为3的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝60°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是　 　.

29．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点.若⊙O的半径为5，则GE+FH的最大值是　 　；此时 的长度是　 　.

30．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：①AP＝PF；②DE+BF＝EF；③PB﹣PD＝ BF；④S△AEF为定值；⑤S四边形PEFG＝S△APG，以上结论正确的有　 　（填入正确的序号）.

三、解答题
31．已知：如图，⊙O中弦 .求证：AD=BC.

32．如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2．求半径OB的长．

33．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：OE＝OF．

34．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．

（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
35．如图1，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在BC，BD上，且BE=1，过三点C，E，F作⊙O交CD于点G。

（1）证明∠EFG=90°．
（2）如图2，连结AF，当点F运动至点A，F，G三点共线时，求△ADF的面积。
（3）在点F整个运动过程中，
①当EF，FG，CG中满足某两条线段相等，求所有满足条件的BF的长。
②连接EG，若 时，求⊙O的半径(请直接写出答案)。
36．如图1，在△ABC的外接圆⊙O中，AB=5是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D，且CD=2，E为 的中点．连接CE交AB于点P，其中AD>BD．

图1 图2
（1）连接OE，求证：OE⊥AB；
（2）若线段AD与BD的长分别是关于x的方程x2－(m+2)x+n－1=0的两个根，求m，n的值；
（3）如图2，过P点作直线l分别交射线CA，CB(点C除外)于点M，N，则 的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
37．已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F.

（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；
（2）如图2，连接OC，若OC平分∠ACB，求证：AC=BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若tan∠ADB= ，AB=3 ，求DN的长.
38．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．
（Ⅰ）求证：直线DM是⊙O的切线；
（Ⅱ）求证：DE2=DF•DA．


答案解析部分
【解析】【解答】解：∵∠CAB=70°，
∴∠BOC=2∠CAB=140°，
故答案为：D．

【分析】根据圆周角定理可得。
【解析】【解答】如图，取AB的中点O，分别连接OC、OB，则OC⊥AB，且

在Rt△OBC中，OB=5，由勾股定理得：
点P线段BC上，则，即
由对称性，当点P在线段AC上时，
∴当点P在弦AB上时，
∵
∴选项B符合题意
故答案为：B

【分析】先作辅助线，取AB的中点O，分别连接OC、OB，取AB的中点O，根据垂径定理得OC⊥AB，且，然后在Rt△OBC中由勾股定理得OC=4,再由垂线段最短可得答案。
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∵∠DAB=∠BCD=34°，
∴∠ABD=90°-34°=56°.
故答案为：C．

【分析】先利用圆周角的性质可得∠DAB=∠BCD=34°，再利用三角形的内角和求出∠ABD即可。
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴=∠AOB =×60°=30°．
故答案为：C．

【分析】根据圆周角定理即可得出的大小。
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵AB为直径，
∴ ，
在 中，
.
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得∠DOC=2∠DBC=70°，根据平行线的性质可得∠DOC=∠ACO=70°，根据等腰三角形的性质可得∠OCA=∠CAO=70°，然后根据内角和定理进行计算.
【解析】【解答】解：如图，过点O作OH⊥AB交AD于点H，

∵AB=10，
∴AO=BO=CO=5，
∵BE=2，
∴OE=3，
∵CD⊥AB，
∴CE=DE，
在Rt△OEC中，CE= =4，
∴CD=2CE=8，
∵OH∥CD，
∴，即，
∴解得OF=.
故答案为：C.
【分析】过点O作OH⊥AB交AD于点H，利用AB=10及BE=2求得OE=3；再根据垂径定理得CE=DE，在Rt△OEC中，利用勾股定理求得CE=4，进而求得CD；再由平行线分线段成比例得 ，代入数据即可求得OF的长度.
【解析】【解答】解：连接OA、OC，OC交AB于E，

∵，
∴∠AOC=2，
∵点是弧中点，
∴OC⊥AB，
∴∠AEO=90°，，
∴∠OAE=30°，
∴AO=2EO，
∵，
∴，
∴，即圆心到弦的距离等于，
故答案为：B．

【分析】连接OA、OC，OC交AB于E，根据垂径定理可得OC⊥AB，，再由圆周角定理推出∠AOC=2∠ADC=60°，从而根据直角三角形的性质进行求解即可。
【解析】【解答】解：如图所示：连接BD，

∵，，，
∴，
∴为直角三角形，
∵D为AC中点，
∴，
∵覆盖半径为300 ，
∴A、B、C三个点都被覆盖，
故答案为：D．

【分析】连接BD，先证出为直角三角形，根据D为AC中点，得出，即可得出答案。
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠DCB=180°，
∵∠DCB=130°，
∴∠A=50°，
由圆周角定理得，=2∠A=100°，
故答案为：B．
【分析】根据四边形的内角和可得∠A+∠DCB=180°，从而求出∠A=50°，由圆周角定理得=2∠A，据此即得结论.
【解析】【解答】解：连接O1O2，AO2，O1B，

∵O1B= O1A
∴
∵⊙O1和⊙O2是等圆，
∴AO1=O1O2=AO2，
∴△AO2O1是等边三角形，
∴∠AO2O1=60°，
∴∠O1AB=∠AO2O1 =30°．
故答案为：B．
【分析】连接O1O2，AO2，O1B，可求出△AO2O1是等边三角形，可得∠AO2O1=60°，根据圆周角定理可得∠O1AB=∠AO2O1=30°.
【解析】【解答】解：∵∠D+∠B＝180°，∠D＝120°，
∴∠B＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝30°，
故答案为：A．
【分析】先求出∠B＝60°，再求出∠ACB＝90°，最后计算求解即可。
【解析】【解答】解：

故答案为：B

【分析】根据圆周角的性质可得求解即可。
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，连接BC，如图：

则
∵CD∥AB，
∴∠ECD=∠CEA=90°，
∴∠CEF=∠DCE=∠DFE=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∴EF=CD=2，
∴CD∥AB，
∴∠ABC=∠BCD，
∴ ，
∴AC=BD，
又∵CD∥AB，
∴四边形ABDC是等腰梯形，
∵AB=6，CD=2，
根据等腰梯形的对称性可知：

∴BE=BF+EF=2+2=4，
在


∴
在 ，
∴ ，
根据圆周角的性质可知 ，
在 ，
∴ ，
∵BO＞0，
∴BO= .
故答案为：D.
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，连接BC，由二直线平行，内错角相等可得∠ECD=∠CEA=90°，推出四边形CDFE是矩形，则EF=CD=2，根据弧、弦的关系可得AC=BD，推出四边形ABDC是等腰梯形，则AE=BF=2，BE=BF+EF=4，易得CE=AE=2，由勾股定理求出BC，根据圆周角定理可知 ∠COB=90°，然后在Rt△BOC中，由勾股定理就可求出BO.
【解析】【解答】解：①连接OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC=∠ABC=90°，OA=OB=OC=OD，
∵ 点E是边BC的中点，
∴∠EOB=∠EOC=45°，
∵∠EOB=∠OED+∠EDB，∠EOC=∠OEA+∠EAC，
∴ ∠AED+∠EAC+∠EDB＝∠OEA+∠EAC+∠OED+∠EDB=∠EOB+∠EOC=90°，
故①正确；
②连接AF，
∵PF⊥AE，
∴∠APF=∠ABC=90°，
∴A、P、B、F四点共线，
∴∠AFP=∠ABP=45°，
∴∠AFP=∠FAP=45°，
∴AP=FP，
故②正确；
③设BE=CE=a，则AB=BC=2a，
∴AE=a，OA=OB=OC=OD=a，
∴，
∴AE=AO，
故③正确；
④根据对称性得出△OPE≌△OQE，
∴S△OEQ=S四边形OPEQ=2，
∵OB=OD，BE=CE，
∴CD=2OE，OE⊥BC，
∴，△OEQ∽△CDQ，
∴S△ODQ=4，S△CDQ=8，
∴S△CDO=12，
∴S正方形ABCD=48，
故④错误；
⑤∵∠EPF=∠DCE=90°，∠PEF=∠DEC，
∴△EPF∽△ECD，
∴，
∵△OPE≌△OQE，
∴PE=EQ，
∴CE·EF=EQ·DE，
故⑤正确；
∴ 正确的结论有4个.
故答案为：B.
【分析】①根据正方形的性质证出∠BOC=90°，∠EOB=∠EOC=45°，再利用三角形的外角性质即可证出∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°；②先证出A、P、B、F四点共线，再根据圆周角定理得出∠AFP=∠ABP=45°，从而得出∠AFP=∠FAP=45°， 即可得出AP=FP；③设BE=CE=a，求出AE，AO的长，即可得出AE=AO；④利用对称性和相似三角形的判定与性质得出S△OEQ=2，S△ODQ=4，S△CDQ=8，纯粹从而得出S△CDO=12，即可而出S正方形ABCD=48；⑤证出△EPF∽△ECD，得出，根据△OPE≌△OQE，得出PE=EQ，即可得出CE·EF=EQ·DE.

【解析】【解答】解：A、如图1，当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，则∠BAP＝90°.

∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝BC＝CA，
∵点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，BP是直径，
∴BP⊥AC，
∴∠ABP＝∠CBP＝ ∠ABC＝30°，
∴AP＝CP，
∴△APC是等腰三角形，
故本选项正确，不符合题意；
B、当△APC是等腰三角形时，分三种情况：
①如果PA＝PC，那么点P在AC的垂直平分线上，则点P或者在图1中的位置，或者与点B重合（如图2），所以PO⊥AC，正确；

②如果AP＝AC，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
③如果CP＝CA，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
故本选项正确，不符合题意；
C、当PO⊥AC时，PO平分AC，则PO是AC的垂直平分线，点P或者在图1中的位置，或者与点B重合.
如果点P在图1中的位置，∠ACP＝30°；
如果点P在B点的位置，∠ACP＝60°；
故本选项错误，符合题意；
D、当∠ACP＝30°时，点P或者在P1的位置，或者在P2的位置，如图3.

如果点P在P1的位置，∠BCP1＝∠BCA+∠ACP1＝60°+30°＝90°，△BP1C是直角三角形；
如果点P在P2的位置，∵∠ACP2＝30°，
∴∠ABP2＝∠ACP2＝30°，
∴∠CBP2＝∠ABC+∠ABP2＝60°+30°＝90°，△BP2C是直角三角形；
故本选项正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，则∠BAP＝90°，由等边三角形的各边相等及各个内角都是60°得∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝BC＝CA，根据垂径定理得∠ABP＝∠CBP＝30°，则AP＝CP，据此判断A；分PA=PC，AP=AC，CP=CA，据此不难判断B；当PO⊥AC时，PO平分AC，则PO是AC的垂直平分线或者与点B重合，据此判断C；当∠ACP＝30°时，如点P在P1的位置，则∠BCP1＝90°；如果点P在P2的位置，由圆周角定理可得∠ABP2＝∠ACP2＝30°，则∠CBP2＝90°，据此判断D.
【解析】【解答】解：∵AC＝BD，
∴ ＝ ，
即 + ＝ + ，
∴ ＝ ，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE，所以①正确；
连接OA、OD，如图，

∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠ABE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∴AD＝ OA＝ R，所以②正确；
AF与BD相交于G点，如图，
∵△ABE为等腰直角三角形，
∴BE＝ AB＝ × ＝1，
∵ ＝ ，
∴∠FAC＝∠DAC，
∵AC⊥DG，
∴GE＝DE，即AE垂直平分DG，
∴AG＝AD，
∴∠AGD＝∠ADG，
∵∠BGF＝∠AGD，∠AFB＝∠ADB，
∴∠BGF＝∠BFG，
∴AF＝BG，
在△BCF和△AGE中，
，
∴△BCF≌△AGE（AAS），
∴CE＝GE，
∴BF+CE＝BG+GE＝BE＝1，所以③正确.
故答案为：D.
【分析】根据弦、弧之间的关系可得＝，推出＝，由等弧所对的圆周角相等可得∠ABD＝∠BAC，据此判断①；连接OA、OD，则△ABE为等腰直角三角形，∠ABE＝45°，由圆周角定理可得∠AOD＝90°，推出△AOD为等腰直角三角形，则AD＝OA，据此判断②；AF与BD相交于G点，则BE＝AB＝1，由＝可得∠FAC＝∠DAC，接着证AE垂直平分DG，得AG＝AD，由等腰三角形的性质可得∠AGD＝∠ADG，证明△BCF≌△AGE，得到CE＝GE，据此判断③.

【解析】【解答】解：作AE⊥OC于点E，作OF⊥CA于点F，作OG⊥AD于点G，
则EA∥OG，

∵AD∥OC，
∴四边形OEAG是矩形，
∴OG＝EA，
∵OF⊥AC，OA＝OC＝ ，AC＝2，
∴CF＝1，
∴OF＝ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴OG＝ ，
∵OG⊥AD，
∴AG＝ ，
∴AD＝2AG＝ ，
故答案为：D.
【分析】作AE⊥OC于点E，作OF⊥CA于点F，作OG⊥AD于点G，则EA∥OG，易证四边形OEAG是矩形，利用矩形的性质可证得OG＝EA，利用垂径定理求出CF的长，利用勾股定理求出OF的长；再利用三角形的面积公式可求出AE的长，由此可求出OG的长；再利用勾股定理可求出AG的长，然后利用垂径定理可求出AD的长.
【解析】【解答】解：作BC的垂直平分线，则ON平分 ，则 ＝ ，所以①正确；
作AB的垂直平分线，则OM平分 ，则 ＝ ，2AM＞AB，所以②错误；
∵M点为 的中点，∴∠ACM=∠BCM，
∵点N为 的中点，∴∠BAN=∠CAN，
故P点为△ABC的内心，所以③正确；
∵∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=180°- ∠BAC- ∠BCA=180°- (∠BAC+∠BCA)=180°- (180°-∠B)=90°+ ∠B，
∴2∠MPN=2∠APC=180°+∠B，
又OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠MON+∠B=180°，
∴∠MON+2∠MPN=∠MON+180°+∠B=180°+180°=360°，故④正确，
∴正确的结论有3个，
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理可判断①②；根据圆周角定理可得CM，AN为角平分线，利用三角形内心的定义可对③进行判断；根据③知，P点为△ABC的内心，可得∠APC=90°+∠B进而求出∠MON+∠B=180°，然后代入求解即可.
【解析】【解答】解：由题意得：BM＝CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，
在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠ABP＋∠CBN＝90°，
∴∠ABP＋∠BAM＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧BG，是这个圆的 ，
连接OC交圆O于P，此时PC最小，

∵AB＝4，
∴OP＝OB＝2，
由勾股定理得：OC＝ ＝2 ，
∴PC＝OC−OP＝2 −2；
故答案为：A.
【分析】先证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM＝∠CBN，证出∠APB＝90°，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧BG，连接OC交圆O于P，此时PC最小，OP＝OB＝2，即可求解.
【解析】【解答】如图，连接EB,设

∵AB是直径

∵E是 的内心,





∴点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是 ，点C的运动轨迹是
∵ ，设 ，则 ，

故答案为：A
【分析】如图，连接EB,设 ，易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是 ，点C的运动轨迹是 ，由题意 ，设 ，则 ，利用弧长公式计算后即可解决问题.
【解析】【解答】解：∵∠BOC=100°，
∴优弧∠BOC=260°，
∴∠BAC=×260°=130°.
【分析】根据周角的定义得出优弧∠BOC=260°，再根据圆周角定理得出∠BAC= ×260°=130°，即可得出答案.
【解析】【解答】解：与都对，且，
，
故答案为：．

【分析】根据同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解即可。
【解析】【解答】是的直径，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
则的半径长为，
故答案为：．
【分析】根据圆周角的性质可得，所以是等腰直角三角形，，再利用勾股定理求出AC的长，即可得到半径的长。
【解析】【解答】解：∵CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，AB＝8，
∴AE=BE=，
在Rt△OEB中，根据勾股定理OE=，
∴CD=OD+OE=5+3=8，
在Rt△AED中，AD=，
故答案为．

【分析】先利用垂径定理求出AE的长，再利用勾股定理求出OE的长，最后利用勾股定理求出AD的长即可。
【解析】【解答】解：∵在⊙O中，OC⊥AB，
∴，∠BOC+∠OBA=90°，
∴∠BOC=2∠ADC=64°，
∴∠OBA=90°﹣∠BOC=90°﹣64°=26°，
故答案为：26°．
【分析】先求出 ，∠BOC+∠OBA=90°，再求出∠BOC=64°，最后求∠OBA的度数即可。
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF⊥n与点F，连接OC交AB于点D，连接OA，

∵m⊥n，PB⊥m，
∴PB∥n，
∵∠1=∠2，
∴BE∥QA，
∴AB=EQ=16，
∵∠2=∠3，PA∥n，
∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=BC，
∴OC⊥AB，
∴O，C，F三点共线，AD=AB=8，
∴四边形BPEF是矩形，
∴DF=EP=15，
∵PA∥n，
∴△ABC∽△QKC，
∴，
∵CD+CF=15，
∴CD=6，
∴OD=OC-CD=OA-6，
∵OD2+AD2=OA2，
∴（OA-6）2+82=OA2，
∴OA=，
∴该圆的半径长为.
【分析】过点C作CF⊥n与点F，连接OC交AB于点D，连接OA，先证出四边形BPEF是矩形，得出DF=EP=15，再证出△ABC∽△QKC，得出，从而得出CD=6，再根据勾股定理得出（OA-6）2+82=OA2，解方程求出OA的长，即可得出该圆的半径.

【解析】【解答】解：①过E作EM∥OA，

∵OA=OC， CF＝2OF ，
∴OA=3OF，即OF=OA，
∵E为AB中点，
∴EM为△AOB的中位线，
∴EM=OA，
∴，
∵EM∥AC，
∴△POF∽△PME，
∴；
②如图，作EM⊥OB于M，EH⊥OA于H，

∵∠OFD+∠OFP=∠OFP+∠OPF，
∴∠OFP=∠MEP，
又∠DOF=∠POF，
∴△DOF∽△FOP，
∴OF2=OP×OD，
设r=1，
∴OP===，
设AH=HE=x，
∴EM=OH=1-x，
∵△MPE∽△FPD，
∵PM:EM=OP:OF=1:3，
∴PM=(1-x)，
∵OM=HE，
∴(1-x)+=x，
解得x=，
∴ .
故答案为：，.

【分析】(1)过E作EM∥OA，根据线段间的关系求出OF=OA和EM=OA，则可得出OF和EM的比值，由EM∥AC，得出△POF∽△PME，列比例式可求出 的值；
(2)连接EF、DF，作EM⊥OB于M，EH⊥OA于H，证明△DOF∽△FOP，设r=1，列比例式求出OP的长，设AH=HE=x，证明△MPE∽△FPD，列比例式把PM用x表示出来，然后根据OM=HE建立方程求解，最后根据平行线分线段成比例求解即可.
【解析】【解答】解：连接AG并延长，交BC于点F，

∵△ABC的重心为G，
∴F为BC的中点，
∴OF⊥BC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOF=60°，
∴∠OBF=30°，
∴OF= OB= ，
∵△ABC的重心为G，
∴点G在△ABC的中线AF上，且AG=2FG，
∴AG= AF，
在AO上取点E，使AE= AO，连接GE，
∵ ，∠FAO=∠GAE，
∴△AGE∽△AFO，
∴ ，
∴GE=1.
∴G在以E为圆心，1为半径的圆上运动，
∴E（1，0），
∴DE= = ，
∴DG的最小值是 -1，
故答案为： -1.
【分析】连接AG并延长，交BC于点F，由三角形重心的定义可得F为BC的中点，由垂径定理可得OF⊥BC，利用直角三角形的性质求出OF= OB= ，证明△AGE∽△AFO，可得，据此求出GE=1，继而求出E（1，0），利用勾股定理求出DE=，根据DG=DE-GE计算即得.
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，

∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝OA＝OB＝5，
∵点E，F分别是AC、BC的中点，
∴EF＝ AB＝ ，
要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，
∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：5×2＝10，
∴GE+FH的最大值为：10﹣ ＝7.5.
∵GH是直径，点E、F分别是AC、BC的中点，
∴AC⊥GH或AC是直径，
当AC⊥GH时，BC是直径，
∴ 的长度是5π；
当AC是直径时，∠BOC＝120°，
∴ 的长度是 ＝ π；
故答案为：7.5，5π或 π.
【分析】连接OA、OB，由圆周角定理可得∠AOB＝2∠ACB＝60°，推出△AOB为等边三角形，由中位线的性质可得EF＝AB＝ ，要求GE+FH的最大值，即求弦GH的最大值，当弦GH是圆的直径时取得最大值，据此得GE+FH的最大值；当AC⊥GH时，BC是直径，当AC是直径时，∠BOC＝120°，然后利用弧长公式计算即可.
【解析】【解答】解：取AF的中点T，连接PT，BT.
∵AP⊥PF，四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF=∠APF=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
∵AT=TF，
∴BT=AT=TF=PT，
∴A，B，F，P四点共圆，
∴∠PAF=∠PBF=45°，
∴∠PAF=∠PFA=45°，
∴PA=PF，故①正确，
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，
∵∠ADE=∠ABM=90°，∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠ABM=180°，
∴C，B，M共线，
∵∠EAF=45°，
∴∠MAF=∠FAB+∠BAM=∠FAB+∠DAE=45°，
∴∠FAE=∠FAM，
在△FAM和△FAE中，
，
∴△FAM≌△FAE（SAS），
∴FM=EF，
∵FM=BF+BM=BF+DE，
∴EF=DE+BF，故②正确，
连接PC，过点P作PQ⊥CF于Q，过点P作PW⊥CD于W，则四边形PQCW是矩形，

在△PBA和PCB中，
，
∴△PBA≌△PBC（SAS），
∴PA=PC，
∵PF=PA，
∴PF=PC，
∵PQ⊥CF，
∴FQ=QC，
∵PB= BQ，PD= PW= CQ= FQ，
∴PB-PD= （BQ-FQ）= BF，故③正确，
∵△AEF≌△AMF，
∴S△AEF=S△AMF= FM•AB，
∵FM的长度是变化的，
∴△AEF的面积不是定值，故④错误，
∵A，B，F，P四点共圆，
∴∠APG=∠AFB，
∵△AFE≌△AFM，
∴∠AFE=∠AFB，
∴∠APG=∠AFE，
∵∠PAG=∠EAF，
∴△PAG∽△FAE，
∴ ，
∴S四边形PEFG=S△APG，故⑤正确，
故答案为：①②③⑤.
【分析】①根据直角三角形斜边中线的性质得出BT=AT=TF=PT，则知A、B、F、P四点共圆，根据圆周角定理推出∠PAG=∠PBF=45°，即可判断；②将ADE绕点顺时针旋转90°得到△ABM，利用SAS证明△FAM≌△FAE，得出FM=EF，结合线段间的和差关系可得结果；③连接PC，过点P作PQ⊥CF于Q，过点P作PW⊥CD于W，则得四边形PQCW是矩形，利用SAS证明△PBA≌△PBC，得出FQ=QC，再求出PF=PC，根据等腰三角形的性质求出FQ=QC，然后根据等腰直角三角形的性质求出PB= BQ，PD= FQ，最后根据线段间的和差关系即可求出结果；④由△EFE≌△AMF，得出S△AEF=S△AMF= FM•AB，由于FM的长度是变化的，则得△AEF的面积不是定值，则可判断 ④ ；⑤根据
A，B，F，P四点共圆，得出∠APG=∠AFB，由△AFE≌△AFM，推出∠PAG=∠EAF，则可证明△PAG∽△FAE，利用相似三角形的性质即可推出结果.
【解析】【分析】根据弦、弧的关系可得，推出，据此可得结论.
【解析】【分析】先利用圆周角的性质证明 是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出OB的长。
【解析】【分析】根据＝，可得AB=CD，再利用垂径定理可得AE＝ AB，CF＝ CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，再利用“HL”证明Rt△OAE≌Rt△OCF，再利用全等三角形的性质可得OE=OF。
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理可得∠CAB＝∠BDC＝90°，利用勾股定理求出AC的长，再利用圆心角、弧、弦的关系可得DC=BD，在等腰直角△BDC中利用勾股定理求出BD、CD即可；
（2）连接OB，OD，证明△OBD是等边三角形，从而得出BD＝OB＝OD=5．

【解析】【分析】（1） 连结 EG，由90°的圆周角所对的弦为直径，可知EG为圆O的直径，于是根据直径所对的圆周角是直角可得∠EFG=90° .
（2）如图，过F点作FN⊥AD，交BC于点M，利用正方形的性质，结合等角的余角相等，用角角边定理证明△AFN≌△FEN，∴FN=AM，EM=FN，设AN=x, 把ND用含x的代数式表示，根据AN+ND=4，求出x, 则FN可求，于是可求△ADF的面积.
（3） ① 分三种情况讨论，1）当EF=FG时，过F作FH⊥BC，FI⊥CD，利用角角边定理证明△EHF≌△GIF，则对应边FH=FI，BH=FI=HC=2, 于是BF的长度可求；当CG=EF时，易证四边形FECG为矩形，则BF=2BE；当FG=CG，过F点作FN⊥BC，根据同弧所对圆周角相等推得EF=EC，从而求出EF的长，于是利用勾股定理求出FN的长，则BF的长可求.
② 设FH=k, 根据相似的性质，把相关线段用含x的代数式表示，得出BC=k+2k=4, 求出k值，则CG的长度可求，从而利用勾股定理求出直径，则半径可知.
【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆心角相等得出∠AOE=∠BOE，根据邻补角的定义得出∠AOE=∠BOE=90°，从而得出结论；
（2）根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACD+∠BCD=90°，根据直角三角形两锐角互余得出∠BCD+∠CBD=90°，根据同角的余角相等得出∠ACD=∠CBD ，进而判断出△ACD∽△CBD，根据相似三角形对应边成比例得出B D ∶C D = C D ∶A D，即AD∙BD=CD2=4 根据线段的和差得出AD+BD=5，然后根据根与系数的关系得出AD+BD=m+2=5，AD∙BD=n－1=4，从而得出m,n的值；
（3）是定值，理由如下 ：过点P作PG⊥AC于点G，PF⊥CN于点F，根据垂直的定义及直径所对的圆周角是直角得出∠PGM=∠ACB=∠PFN=90°，根据等弧所对的圆周角相等得出∠ACP=∠NCP，即CE平分∠ACN，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PG=PF，根据S△CMN=S△MPC+S△NPC 得出CM∙CN=PG(CM+CN)，从而根据等式的性质得出结论； 由（2）知AD∙BD=CD2=4，AD+BD=5 又AD＞BD故AD=4，BD=1，在Rt△ADC和Rt△CDB中，根据勾股定理得出AC,BC的长度，根据S△ABC=S△APC+S△BPC= PG（AC+BC）= AC∙BC， 即 3 PG=10 ，从而得出答案。
【解析】【分析】（1）根据题意易知，∠ACB+∠DBE＝∠BDE+∠DBE=90°，可得∠ACB＝∠BDE，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ACB=∠ADB，等量代换可得∠BDE=∠ADB，可证BD平分∠ADF。
（2）连接OB，OA，易证△AOC，△BOC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可知∠OCB=∠OBC， ∠OAC=∠OCA，等量代换可得∠OBC=∠OAC，最后根据AAS判定△AOC≌△BOC，由全等三角形的性质可得AC=BC。
（3）由∠ACB=∠ADB，tan∠ADB= ，可得tan∠ACB= ，可设BH=3x，CH=4x，在Rt△AHB中利用勾股定理求得AH，BC，再根据勾股定理求得等腰△ACB底边AB上的高，根据相似三角形求得BN，再由勾股定理求得DN即可。
【解析】【分析】（Ⅰ）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；
（Ⅱ）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此可得DE2=DF•DA．