专练14（30题）（二次函数类压轴题）2022中考数学考点必杀500题（江西专用）

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2022中考考点必杀500题
专练14（二次函数类压轴题）（30道）
1．（2022·江西赣州·一模）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3，1)，二次函数y＝x2＋bx－的图象经过点C．

(1)求二次函数的解析式，并把解析式化成y＝a(x－h)2＋k的形式；
(2)把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；
(3)在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝x2－x－，
(2)9.5
(3)存在，P(－1，－1)
【解析】
【分析】
（1）将点C(3，1)代入二次函数解析式求解，然后转化为顶点式即可；
（2）作CK⊥x轴，则△ACK≌△BAO，求得点坐标，如图，根据点在抛物线上，得到△ABC向右平移的距离，由题意可得△ABC扫过区域的面积为平行四边形和的面积和，求解即可；
（3）如图，分两种情况讨论，当和时，根据等腰直角三角形的性质求得点坐标，再进行验证．
(1)
解：将点C(3，1)代入二次函数解析式
可得：，解得，
故解析式为：，

(2)
作CK⊥x轴，如下图：

由题意可得：，，，
∴
∴
∴△ACK≌△BAO（AAS）
∴，
∴点，，则
令，解得或（舍去）
即，可知△ABC向右平移的距离为，即
由题意可得△ABC扫过区域的面积为平行四边形和的面积和，
即，
(3)
当∠BAP＝90°时，由题意可得：，
∴
又∵，
∴，
当时，，点在抛物线上；
当∠ABP＝90°时，同理可求得或
当时，，不在抛物线上,
当时，，不在抛物线上,
综上所述：存在点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，
【点睛】
此题考查了二次函数与几何的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，平移的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解．
2．（2022·江西·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y＝－x2＋mx＋2m＋2与y轴的交点，点B在该抛物线上，将该抛物线A，B两点之间(包括A，B两点)的部分记为图象G，设点B的横坐标为2m－1．
(1)当m＝1时，
①图象G对应的函数y的值随x的增大而________(填“增大”或“减小”)，自变量x的取值范围为________；
②求图象G最高点的坐标．
(2)当m<0时，若图象G与x轴只有一个交点，求m的取值范围．
(3)设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为h，求h与m之间的函数关系式．
【答案】(1)①增大，0≤x≤1；②(1，)
(2)－1 (3)当m≤0时，h＝m2－m＋；当0 【解析】
【分析】
（1）令m=1，求出函数表达式并化为顶点式，根据A，B坐标和函数的对称轴解答①②即可；
（2）先判断函数与x轴有交点时m的取值范围；求出点A，B的坐标，根据函数图象分点B在点A下方和点B在点A上方两种情况讨论；上方点的纵坐标大于0，下方点的纵坐标小于等于0；
（3）结合二次函数图象的对称性；分点B在点A左边；点B、A重合；点B在点A右边三种情况讨论；当对称轴在点A、B两侧时h由点A，B的纵坐标决定，当对称轴在点A、B之间时h由点A，B的纵坐标较小值和函数顶点的纵坐标决定．
(1)
解：当m＝1时，抛物线为y＝－x2＋x＋4，
即y＝－ (x－1)2＋，
其对称轴是直线x＝1，顶点坐标为(1，)，
点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(1，)；
∴①函数y的值随x的增大而增大，自变量x的取值范围为0≤x≤1；
故答案为：增大，0≤x≤1；
②图象G最高点的坐标为(1，)；
(2)
解：令y＝0，则－x2＋mx＋2m＋2＝0，
Δ＝m2－4×(－)×(2m＋2)＝m2＋4m＋4＝(m＋2)2≥0，
∴当m＝－2时，抛物线y＝－x2＋mx＋2m＋2与x轴有1个交点，此时图象G与x轴只有一个交点；当m≠－2时，抛物线y＝－x2＋mx＋2m＋2与x轴有2个交点；
当x＝2m－1时，y＝3m＋，
∴点B的坐标为(2m－1，3m＋)，
点A的坐标为(0，2m＋2)；
当3m＋<2m＋2，即m<时，点A在点B上方，
∵图象G与x轴只有一个交点，
∴，
解得－1 当3m＋≥2m＋2，即m≥时，与题意m<0不符，舍去；
当m=﹣2时，B（﹣5，），A（0，﹣2），顶点（﹣2，0），符合题意；
综上所述，当m<0时，若图象G与x轴只有一个交点，则m的取值范围为－1 (3)
解：将y＝－x2＋mx＋2m＋2配方得y＝－(x－m)2＋m2＋2m＋2，
点A的坐标为(0，2m＋2)；点B的坐标为(2m－1，3m＋)，对称轴为x=m，
当点B在点A左边时，2m－1＜0时，即m＜，
对称轴在B点左边时，m＜2m－1，即m＞1，不符合舍去，
对称轴在点B、A之间时（含B，A两点），2m－1≤m，m≤1且m≤0，即m≤0，
B点到对称轴的距离m－（2m－1）=﹣m＋1大于A点到对称轴的距离0－m=﹣m，
∴B点在A点下方，
∴h＝m2＋2m＋2－(3m＋)＝m2－m＋；
对称轴在A点右边时，m＞0，即0＜m＜，
A点在B点上方，
∴h＝2m＋2－(3m＋)＝－m＋；
当点B，A重合时，2m－1=0，即m=，
∴h=0；
当点B在点A右边时，2m－1＞0，即m＞，
对称轴在A点左边时，m＜0，不符合舍去；
对称轴在点A、B之间时（含A，B两点），m≥0，且m≤2m－1，即m≥1，
B点到对称轴的距离（2m－1）－m=m－1小于A点到对称轴的距离m－0=m，
∴A点在B点下方，
∴h＝m2＋2m＋2－(2m＋2)＝m2；
对称轴在B点右边时，m＞2m－1，m＜1，即＜m＜1，
B点在A点上方，
∴h＝3m＋－(2m＋2)＝m－；
综上所述：
当m≤0时，h＝m2－m＋；
当0 当m=时，h=0；
当 当m≥1时，h＝m2．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质和图象特征，确定函数图像上点的位置关系再分类讨论是解题关键．
3．（2022·江西宜春·一模）定义：点P（m，m）是平面直角坐标系内一点，将函数l的图象位于直线x＝m左侧部分，以直线y＝m为对称轴翻折，得到新的函数l′的图象，我们称函数l′的函数是函数l的相关函数，函数l′的图象记作F1，函数l的图象未翻折的部分记作F2，图象F1和F2合起来记作图象F．

例如：函数l的解析式为y＝x2﹣1，当m＝1时，它的相关函数l′的解析式为y＝﹣x2+3（x＜1）．
(1)如图，函数l的解析式为y＝﹣x+2，当m＝﹣1时，它的相关函数l′的解析式为y＝ ．
(2)函数l的解析式为y＝﹣，当m＝0时，图象F上某点的纵坐标为﹣2，求该点的横坐标．
(3)已知函数l的解析式为y＝x2﹣4x+3，
①已知点A、B的坐标分别为（0，2）、（6，2），图象F与线段AB只有一个公共点时，结合函数图象，求m的取值范围；
②若点C（x，n）是图象F上任意一点，当m﹣2≤x≤5时，n的最小值始终保持不变，求m的取值范围（直接写出结果）．
【答案】(1)y＝x﹣4（x＜﹣1）
(2)或﹣
(3)①2﹣＜m≤1，＜m≤2+或5＜m≤；②5﹣≤m≤2
【解析】
【分析】
（1）运用“相关函数”的定义结合待定系数法解答即可；
（2）先写出图象F的解析式，再分别将y＝﹣2代入，解得x值，即可得出该点的横坐标；
（3）①先根据“相关函数”的定义得出图象F的解析式，再运用二次函数图象和性质分类讨论：当F2经过点(m, 2)时，当F1经过点(m, 2)时，当F1经过点A(0,2)时，当F1经过点B(6,2)时，综合得出结论即可；
②由n的最小值始终保持不变，结合抛物线对称轴为直线x= 2，可得出m≤ 2，再由,结合二次函数增减性列不等式求解即可．
(1)
根据题意，将函数l的解析式为y＝﹣x+2的图象沿直线y＝﹣1翻折，设所得函数l′的解析式为y＝kx+b，
在y＝﹣x+2（x＜﹣1）取两点（﹣2，3），（﹣4，4），可得到这两点关于直线y＝﹣1的对称点（﹣2，﹣5）和（﹣4，﹣6），
把（﹣2，﹣5）和（﹣4，﹣6）分别代入y＝kx+b，
得：，解得：，
∴函数l′的解析式为y＝x﹣4（x＜﹣1）．
(2)
根据题意，可得图象F的解析式为：y＝，
当y＝﹣2时，＝﹣2，＝﹣2，
解得：x＝，x＝﹣，∴该点的横坐标为或﹣；
(3)
①根据题意，得图象F的解析式为：y＝，
当F2经过点（m，2）或当y＝2时，x2﹣4x+3＝2，
解得：m＝x＝2±；
当F1经过点（m，2）或当y＝2时，﹣（m﹣2）2+2m+1＝2，
解得：m＝1或5；
当F1经过点A（0，2）时，﹣（﹣2）2+2m+1＝2，
解得：m＝；
当F1经过点B（6，2）时，﹣（6﹣2）2+2m+1＝2，
解得：m＝；
随着m的增大，图象F2的左端点先落在AB上（两个交点），F1的端点落在AB上（一个交点），图象F1经过点A（两个交点），图象F2的左端点再次落在AB上（一个交点），图象F1的端点落在AB上（无交点），图象F1经过点B（一个交点），
∴m的取值范围为：2﹣＜m≤1，＜m≤2+或5＜m≤．

②∵n的最小值始终保持不变，
∴m≤2，
∵m﹣2≤x≤5，
∴﹣（m﹣2﹣2）2+2m+1≥﹣1，
整理得：（m﹣5）2﹣11≤0，
令（m﹣5）2﹣11＝0，
解得：m1＝5﹣，m2＝5+，
∴5﹣≤m≤2．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了新定义在函数中的应用、抛物线的图象与线段的交点个数问题、二次函数的图象与性质、一元二次方程等知识点，数形结合、分类讨论、读懂定义并熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
4．（2022·江西省吉安市第五中学一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC、BC、DB、DC．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积时，求m的值；
(3)当m＝3时，若点M是x轴正半轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)m的值为2
(3)存在， M点的坐标为或或
【解析】
【分析】
（1）把点A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线的解析式y＝ax2+bx+6，利用待定系数法解题即可；
（2）过点D作DE⊥AB，交BC于E点，利用待定系数法求出直线BC解析式，用含m的代数式表示出D点、E点的纵坐标，求出DE长，利用△BCD的面积等于△AOC的面积列等式，即可得到关于m的一元二次方程，解方程即可得到m的值；
（3）由平行四边形的性质可得，再分两种情况讨论，当时，或当时，解得对应的的值，再结合三角形全等的性质可得点的坐标．
(1)
解：把点A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线的解析式y＝ax2+bx+6，得
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
(2)
解：∵抛物线的解析式为，与y轴交于点C，
∴点C（0，6），
∴设直线BC解析式为：y＝kx+6，
∵直线BC过点B（4，0），
∴0＝4k+6，
∴，
∴直线BC解析式为：，
过点D作DE⊥AB，交BC于E点，

设点D坐标为，
则点E坐标为，
，
∵△BCD的面积等于△AOC的面积，
，
，
化简得，
解得，
∴m的值为2；
(3)
解：存在，．
理由如下：
，
，
以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
，
，
当时， ，
化简得：，
，
，
，
以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
，
， M是x轴正半轴上一动点，
M点的坐标为；
当时，，
化简得：，
解得，，
如图，过点分别作轴于点，轴于点，
，
，
，
，
，
，
M点的坐标为或；
综上所述，符合条件的M点的坐标为或或．

【点睛】
本题考查二次函数的综合题，涉及一次函数的解析式、平行四边形的性质、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度一般，第3问中掌握分类讨论思想是解题关键．
5．（2022·江西南昌·一模）如图1，抛物线y＝x2﹣4mx+4m2+2m﹣4（m是常数）的顶点为P，直线l：y＝x﹣4．


(1)求证：点P在直线l上．
(2)若m＜0，直线l与抛物线的另一个交点为Q，与y轴交点为H，Q恰好是线段PH的中点，求m的值．
(3)如图2，当m＝0时，抛物线交x轴于A、B两点，M、N在抛物线上，满足MA⊥NA，判断MN是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)存在；
【解析】
【分析】
（1）求出P（2m，2m−4），判断P点在直线y＝2x−4上即可；
（2）联立，
则，由韦达定理可得x1＋x2＝4m＋1，可知Q点横坐标为2m＋1，再由中点坐标公式可得2m＋1＝m，即可求m＝−1；
（3）设直线MN的解析式为y＝kx＋b，联立得到x2−kx−4−b＝0，由韦达定理可得m＋n＝k，mn＝−4−b，过点M作ME⊥x轴交于点E，过点N作NF⊥x轴交于点F，可证明△MAE∽△ANF，则，即，可求k与b的关系为：2k−b＋1＝0，则直线MN的解析式为，当x＝−2时，y＝1，由此可知直线MN经过定点（−2，1）．
(1)
∵y＝x2−4mx＋4m2＋2m−4＝
∴P（2m，−2m−4），
将x＝2m代入y＝x−4，得y＝2m−4，
∴P点在直线y＝x−4上；
(2)
当x＝0时，y＝-4，
∴H（0，-4），
联立，
∴，
∴x1＋x2＝4m＋1，
∴Q点横坐标为2m＋1，
∵Q恰好是线段PH的中点，
∴2m＋1＝m，
∴m＝−1；
(3)
存在，理由如下：
当m＝0时，y＝x2−4，
令y＝0，则x＝±2，
∴A（2，0），
设M（m，m2－4），N（n，n2-4），
设直线MN的解析式为y＝kx＋b，
联立，
∴x2−kx−4−b＝0，
∴m＋n＝k，mn＝−4−b，
过点M作ME⊥x轴交于点E，过点N作NF⊥x轴交于点F，如图所示：


∵MA⊥AN，
∴∠MAE＋∠NAF＝90°，∠MAE＋∠AME＝90°，
∴∠AME＝∠NAF，
∴△MAE∽△ANF，
∴，
∵AE＝2−m，ME＝m2−4，AF＝n−2，NF＝n2−4，
∴，
∴2k−b＋1＝0，
∴，
∴当x＝−2时，y＝1，
∴直线MN经过定点（−2，1）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质，会求函数交点坐标，灵活应用韦达定理是解题的关键．
6．（2022·江西·二模）如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．

(1)求点B的坐标．
(2)已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①求抛物线的解析式．
②若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．
③设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，请直接写出线段QD长度的最大值和对应的点Q的坐标．
【答案】(1)点B的坐标为
(2)①；②或；③有最大值，点的坐标为，．
【解析】
【分析】
（1）根据对称轴和点坐标直接求出点坐标即可；
（2）①先根据对称轴求出，再用待定系数法求出，即可得出解析式；
②设点坐标为，根据面积关系求出的值即可；
③用待定系数法求出的解析式，设出点的坐标，根据的代数式求最值即可．
(1)
解：对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，
、两点关于直线对称，
点的坐标为，
点的坐标为；
(2)
解：①时，
抛物线的对称轴为直线，
，解得，
将代入，
得，解得，
抛物线的解析式为；
②抛物线的解析式为，
抛物线与轴的交点的坐标为，，
设点坐标为，
，
，
即，
，
解得，
当时，，
当时，，
点的坐标为或；
③有最大值，点的坐标为，，

设直线的解析式为，
将，代入，
得，，
解得，
即直线的解析式为，
设点坐标为，，
则点坐标为，
，
当时，有最大值，
此时，．
【点睛】
本题主要考查二次函数的知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
7．（2022·江西·一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，3)．

(1)若抛物线的对称轴是直线x=-2．
①求抛物线的解析式；
②点P在对称轴上，若△PBC的面积是6，求点P的坐标；
(2)当b≤0，﹣2≤x≤0时，函数y的最大值满足2≤y≤10，求b的取值范围．
【答案】(1)①y＝x2+4x+3；②点P的坐标为(-2,9)或(-2,-9)；
(2)．
【解析】
【分析】
(1)①根据抛物线的对称轴是直线x=-2，及与y轴的交点为(0,3)，即可求得；②设点P的坐标为(-2,m)，再根据，即可求得；
(2)首先根据b≤0，可知此时抛物线的对称轴在y轴的右侧，再根据二次函数图象的性质，可知当x＝-2时，y有最大值，据此即可求得．
(1)
解：①抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线，
∴b=4，
又∵抛物线与y轴的交点为(0,3)，
∴c=3，
∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3；
②∵点P在抛物线的对称轴上，
∴可设点P的坐标为(-2,m)，
,
∵D(-2,0)，C(0,3),
，OD=2，
则


，
解得m=9或m=-9，
∴点P的坐标为(-2,9)或(-2,-9)；
(2)
解：∵b≤0，
，
，即此时抛物线的对称轴在y轴的右侧，
，
∴抛物线开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，
∴当-2≤x≤0时，取x=-2时，y有最大值，
即y=4-2b+3=-2b+7，
∴2≤-2b+7≤10，解得：，
又∵b≤0，
．
【点睛】
本题考查了求二次函数的解析式，二次函数图象的性质，不规则图形面积的求法，采用数形结合的方法是解决本题的关键．
8．（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室一模）【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相间，且图象与y轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”，例如：的“友好对称二次函数”为．
【特例求解】（1）的“友好对称二次函数”为______________；的“友好对称二次函数”为____________．

【性质探究】（2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是___________（填入正确的序号）
①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；
②二次项系为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；
③的“友好对称二次函数”为．
④任意两个“友好对称二次函数”与y轴一定有交点，与x轴至少有一个二次函数有交点．
【拓屐应用】
（3）如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与y轴交于点A，点B，C分別在，上，点B，C的横坐标均为，它们关于的对称轴的称点分别力，，连接，，，．
①若，且四边形为正方形，求m的值；
②若，且四边形邻边之比为，直接写出a的值．
【答案】（1）y＝x2，y＝x2+2x－5；（2）①②③；（3）①m的值为；②a的值为－或或或
【解析】
【分析】
（1）根据题中“友好对称二次函数”的性质：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同，据此求解即可；
（2）根据题中“友好对称二次函数”的性质逐个判断即可得；
（3）①根据题意可得：二次函数L1：，二次函数L2：，点B的坐标为，点C的坐标为，则可得点，点的坐标，然后得出线段，的长，根据四边形为正方形，得出方程求解即可；
②当时，点B的坐标为，点C的坐标为，则可得点，点的坐标，然后得出线段，的长，根据题意：四边形的邻边之比为1：2，得出或，求解即可得．
【详解】
解：（1）∵，
∴函数的“友好对称二次函数”为；
，原函数的对称轴为：，
∴，
∴，，
∴函数的“友好对称二次函数”为，,
故答案为：；；
（2）∵，
∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，①正确；
∵，
∴二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，②正确；
由定义，的“友好对称二次函数”为，③正确；
若，则其“友好对称二次函数”为，此时这两条抛物线与x轴都没有交点，④错误；
故答案为：①②③；
（3）二次函数L1：的对称轴为直线，其“友好对称二次函数”L2：．
①∵，
∴二次函数L1：，二次函数L2：，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
，
∵四边形为正方形，
∴，即，
解得：，（不合题意，舍去），
∴m的值为；
②当时，点B的坐标为，点C的坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∵四边形的邻边之比为1：2，
∴或，
即或，
解得：，，，，
∴a的值为－或或或．
【点睛】
题目主要考查二次函数拓展运用，正方形的性质，两点之间的距离等，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键．
9．（2022·江西新余·一模）在平面直角坐标系中，正方形.... 按如图的方式放置．点和点分别落在直线和轴上．抛物线过点,且顶点在直线上，抛物线过点，且顶点在直线上，...按此规律，抛物线,过点, 且顶点也在直线上，其中抛物线交正方形的边于点，抛物线交正方形的边于点(其中且为正整数) ．

（1）直接写出下列点的坐标： ， ；
（2）写出抛物线的解析式，并写出抛物线的解析式求解过程，再猜想抛物线的顶点坐标；
（3）设，试判断与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）；（2）抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为，抛物线的解析式过程见解析；抛物线的顶点坐标为；（3）与的数量关系为，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）先求出A1坐标，根据正方形性质，求出B1坐标，进而求出A2坐标，最后求出B2坐标；
（2）根据A2点B2的坐标求出抛物线的对称轴，根据的顶点在上求出顶点坐标，进而利用顶点式求出解析式；根据A3B3的坐标求出抛物线的对称轴，根据的顶点在上求出顶点坐标，进而利用顶点式求出解析式；写出三条抛物线的顶点坐标，找出规律，写出 的顶点坐标；
（3）根据（2）求出D1，D2坐标，进而求出，，，长， 最后求出，比较即可 ．
【详解】
解：（1）把x=0代入得y=-1，∴点A1坐标为(0，-1) ；
∵四边形 是正方形
∴A1 B1=1，∴点B1坐标为(0，-1) ；
把x=1代入得y=-2，∴点A2坐标为(1，-2) ；
∵四边形是正方形
∴A2 B2=2，∴点B2坐标为(3，-2) ；
∴
（2）解：由（1）得点A2坐标为(1，-2)，点B2坐标为(3，-2)，
抛物线的对称轴为直线
把代入得，
抛物线的顶点为
设抛物线的解析式为：
抛物线过点
当时，

解得
抛物线的解析式为：
把代入得，∴点A3坐标为(3，-4)
∵四边形 是正方形
∴A3 B3=4，∴点B3坐标为(7，-4) ；
∴抛物线的对称轴为直线
把代入得，
抛物线的顶点为
设抛物线的解析式为: ，
抛物线过点

解得
抛物线的解析式为：，
根据抛物线的顶点为
抛物线的顶点为，
抛物线的顶点为
得抛物线的顶点坐标为
（3）与的数量关系为
理由如下；由（2）得抛物线的解析式为
当时，
解得（舍去）

即
由（2）得抛物线的解析式为
当时，
解得（舍去）



即
．
【点睛】
本题考查了一次函数，二次函数解析式求法及平面直角坐标系中点的规律等知识，综合性较强，图形较为复杂，根据函数解析式求点的坐标和顶点式求二次函数解析式是解题重点．根据题目特点，逐项分析，找出点的规律是解题关键．
10．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测）如图，抛物线过，两点，点、关于抛物线的对称轴对称，过点作直线轴，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点的坐标，并求出的面积；
（3）若点在直线上运动，点在轴上运动，是否存在以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2），3；（3）点坐标为或或或，见解析．
【解析】
【分析】
（1）把把，代入抛物线，求解即可；
（2）求得对称轴为，再根据点和点关于对称轴对称，即可求得点坐标，面积也可求解；
（3）分别以点为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求或的长，即可求解．
【详解】
解：（1）把，代入抛物线中，
得，
解得，
所以该抛物线表达式为；
（2），
抛物线对称轴为直线，
点和点关于对称轴对称，点的坐标为，
，
又，
；
（3）以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点为直角顶点且在轴上方时，如图，

，，
在和中，
，
，
，，
；
②以点为直角顶点且在轴下方时，如图，

作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：和，
同理得，
，
，
，
；
③以点为直角顶点且在轴左侧时，如图，
，，做辅助线，

同理得，
，
，
；
④以点为直角顶点且在轴右侧时，如图，做辅助线，

同理得，
，
；
⑤以为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；
综上可知当为等腰直角三角形时点坐标为或或或．
【点睛】
此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数图像性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质并灵活运用．
11．（2021·江西赣州·模拟预测）已知抛物线y1：y1＝a （x﹣h1）2+k1与x轴交于点O（0，0），A1（2，0），且抛物线y1的顶点M1在直线y＝﹣x上．
（1）直接写出抛物线y1的表达式y1＝　 　，顶点M1的坐标为　 　；
（2）如图1，将抛物线y1沿直线y＝﹣x向右下方平移，与x轴交于点A1，A2．得到抛物线y2：y2＝a（x﹣h2）2+k2，顶点为M2；将抛物线y2沿直线y＝﹣x向右下方平移，与x轴交于点A2，A3，得到抛物线y3：y3＝a （x﹣h3）2+k3，顶点为M3；依此类推…
①求A2和M2的坐标，并直接写出A3和M3的坐标；
②求MnMn﹣1的长．
（3）如图2，若Q是抛物线y1上的一个动点，过点P（﹣2，0）引射线PQ，在射线上取点N，使QN＝QP．
①当点Q与M1重合时，则对应的点N坐标为　 　；
②请在图中描出随着点Q运动中对应的点N，再用平滑的曲线连接起来，猜想曲线是什么函数的图象，并求点N所在曲线的函数的解析式．

【答案】（1），；（2）①，，，；②；（3）①；②．
【解析】
【分析】
（1）由题意易得的坐标为，然后代入直线解析式可得顶点坐标，进而可求解函数解析式；
（2）①设是由向右平移b个单位所得，则横坐标为1+b，代入y＝﹣x得：，然后可得，进而代入A1（2，0）可求解，然后同理可得，的坐标；②根据，，可得，，然后根据两点距离公式可求解；
（3）①由点Q为上一动点可设点，然后可得Q为NP的中点，进而根据中点坐标公式可得，然后问题可求解；②设，则，由①可得，然后代入求解即可．
【详解】
解：（1）∵y1＝a （x﹣h1）2+k1与x轴交于点O（0，0），A1（2，0），
∴，即的坐标为，
∵M1在直线y＝﹣x上，
∴，
∴，
∴，
把点O（0，0）代入得：，解得：，
∴，即；
故答案为，；
（2）①设是由向右平移b个单位所得，则横坐标为1+b，代入y＝﹣x得：，
∴，
∴，
∵过A1（2，0），
∴，
解得：（舍去），
∴，
∴，
设，则，
解得：，
∴，
同理可得，；
②根据，，可得，，
∴根据两点距离公式可得；
（3）①由点Q为上一动点可设点，
∵QN=QP，
∴Q为NP的中点，
∵，
∴，
∴当Q与重合时，则，
∴；
故答案为；
②设，则，
由①可得，
∴将代入y得：，
∴，
∴点N所在曲线是二次函数的图象．
点N所在曲线的图象如图所示：

【点睛】
本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．（2021·江西·赣州市赣县区教育教学研究室一模）如图1，已知抛物线C1： (n为正整数)的顶点为A，与y轴交于点C，抛物线C2：的顶点为B.
（1）当n＝1时，直接写出A点和C点的坐标
（2）随着n值的变化，解答下列问题：
①判断点C是否在直线AB上？并说明理由；
②当BC=2AC时，求n的值．
（3）如图2，在抛物线C2上任取一点D，在射线CD上取点P，使DP＝CD．
①当点D在抛物线C2上运动时，在图中描出相应的点P，再用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？____；
②直接写出该曲线的表达式_____．（用含n的式子表示）

【答案】（1）A(1，2)，C(0，3)；（2）①点C在直线AB上，见解析，②2；（3）①抛物线；②
【解析】
【分析】
(1)当n＝1时代入求出二次函数的解析式，令x=0即可求出C点坐标，根据二次函数的顶点坐标公式即可求出A点坐标；
(2)①中将A、B两个顶点坐标用n的代数式表示，求出AB的解析式，再令x=0求出C点坐标，将坐标代入AB解析式中即可判断；
②中作AM⊥y轴，作BN⊥y轴，利用△BNC∽△AMC，即可求解；
(3)①中可以选择多个不同的D点画出对应的P点即可得出是抛物线；
②中作DE⊥y轴，作PF⊥y轴，则有DE∥PF，进而得到△CDE∽△CPF，得到，设D(m，(m+n)2+2n+2)，将P点坐标用m和n的代数式表示，再代入抛物线解析式中消去m即可求解．
【详解】
解：(1)当n＝1时代入得到二次函数的解析式为 ，令x=0，故 C点坐标为(0，3)，
二次函数的顶点横坐标为，代入解析式中得到纵坐标为2，故A(1，2)；
(2)①点C在直线AB上，理由如下：
对于抛物线C1，当时，，∴A（1，n+1），
当x=0时，y=n+2，∴C(0，n+2)，
由抛物线C2知顶点B(-n，2n+2)，
把A，B两点代入一次函数一般式y=kx+b，
可得，解得，
∴直线AB：，
当x=0时，y=n+2，即点C在直线AB上；
②如下图，作AM⊥y轴，作BN⊥y轴，

∠BNC=∠AMC=90°，且∠BCN=∠ACM，
∴△BNC∽△AMC，
当BC=2AC时，，
即，∴ n=2．
(3)①抛物线，理由如下：
分别在抛物线C2上任取一点D1，射线CD1上取点P1，使D1P1＝CD1，再在抛物线C2上任取一点D2，射线CD2上取点P2，使D2P2＝CD2，在抛物线C3上任取一点D3，射线CD3上取点P3，使D3P3＝CD3，可以想象，随着选取的点数越多，P点的轨迹会形成一条新的抛物线，如下图所示：

② 如下图，作DE⊥y轴，作PF⊥y轴，则有DE∥PF，

∴△CDE∽△CPF，∵DP＝CD，∴，
设D(m，(m+n)2+2n+2)，∴，
∴；
故P(，)，令，则，
∴，
整理后即得到表达式为：．
【点睛】
本题考查了二次函数顶点式，二次函数的图像及性质，相似三角形的性质等，属于综合题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．
13．（2021·江西南昌·二模）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与y轴的交点坐标为（0，c），那么我们把经过点（0，c）且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．
（1）抛物线y＝x2＋2x＋1的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为　 　．
（2）经过点A（﹣1，0）和B（x，0）（x＞﹣1）的抛物线y＝﹣x2＋mx＋n与y轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线的另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标．
（3）在（2）的条件下，设抛物线y＝﹣x2＋mx＋n的顶点为P，直线EF垂直平分OC，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F．
①当∠CDF＝45°时，求点P的坐标．
②若直线EF与直线MN关于极限分割线对称，是否存在使点P到直线MN的距离与点B到直线EF的距离相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）和；（2）；（3）①，或，；②存在，的值为0或或
【解析】
【分析】
（1）由抛物线与轴的交点可知其极限分割线，求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性可得极限分割线与这条抛物线的另一个交点坐标．
（2）由抛物线经过点，代入抛物线的解析式，可用表示出，将函数解析式中的用表示，再对解析式配方，则可得抛物线的对称轴，然后由抛物线的对称性可得点的坐标．
（3）①设与对称轴交于点，若，则，由此可得关于的绝对值方程，解得的值，再求得相应的值即可得出答案．②设与对称轴的交点为，用含的式子表示出点的坐标，分别写出极限分割线、直线及直线的解析式，用含的式子分别表示出点到直线的距离和点到直线的距离，根据点到直线的距离与点到直线的距离相等，得出关于的绝对值方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）抛物线的对称轴为直线，极限分割线为，
极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为．
故答案为：和．
（2）抛物线经过点，
，
．


，
对称轴为直线，
点的坐标为．
（3）①设与对称轴交于点，若，则．

，
或．
当时，，点的坐标为，；
当时，，点的坐标为，．
点的坐标为，或，．
②存在，的值为0或或．
如图，设与对称轴的交点为．

由（2）知，，，
，
抛物线的极限分割线，
直线垂直平分，
直线．
点到直线的距离为．
直线与直线关于极限分割线对称，
直线．
，
点到直线的距离为，
点到直线的距离与点到直线的距离相等，
，
或或．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点坐标等知识点，明确题中的定义、熟练掌握二次函数的图象与性质及绝对值方程是解题的关键．
14．（2021·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，，点在抛物线上．

（1）求点的坐标与抛物线的解析式；
（2）将抛物线沿直线作次平移（为正整数），平移后抛物线分别记作，，…，，顶点分别为，，…，，顶点横坐标分别为，，…，，与轴的交点分别为，，…，；
①在，，…，中，是否存在一条抛物线，使得点恰好落在这条抛物线上？若存在，求出所有满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由；
②若，过点作轴的平行线交于点，若由，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值；
（3）如图2，是抛物线上的一动点，且保持在第四象限，直线关于直线的对称直线交抛物线于点，点，到直线的距离分别为，，当点在抛物线上运动时，的值是否发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，请说明理由．
【答案】（1）     抛物线：
（2）①：   ②
（3）不变化，
【解析】
【分析】
(1) 把两点带入抛物线即可求出解析式，点坐标；
(2)①根据平移规律设出： 再带入即可算出来
②根据平移规律设出 ，，求出坐标，进而求出点坐标，
再根据 即可求出；
（3）不变化，，设E() ，由对称性可知F，进而可以求出直线LAF联立LAF与抛物线解得F，从而和都用带数式子表示出来，即可求出定值
【详解】
(1)抛物线 过点
带入得   解得
∴抛物线解析式：
当y=时，，解得x1=0, x2=2

(2)
①∵抛物线沿直线作次平移（为正整数）
∴设：
若过,则有，解得n1=0(舍去), n2=5
∴：
②根据平移可得 ，       
∴（n+1,-n-1）
当时，


由平移可得


若由，，，为顶点的四边形是平行四边形
则
解得
（3）不变化，
设E() ，则
由对称性可知F，
设直线LAF:
解得
∴LAF:
联立       解得F

【点睛】
本题是二次函数综合题，考察了二次函数图像平移，平行四边形等知识点，善于用用代数式设抛物线，用代数式表示点是解题关键
15．（2021·江西赣州·一模）规定：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c，与该抛物线关于点M（m，n）（m＞0，n≥0）成中心对称的抛物线为y′，我们称抛物线y′为抛物线y的发散抛物线，点M称为发散中心．已知抛物线y0＝mx2＋4x＋3经过点（﹣1，0），顶点为A，抛物线y1与该抛物线关于点（1，0）成中心对称．
（1）m＝　 　，点A的坐标是　 　，抛物线y1的解析式是　 　．
（2）对于抛物线y0＝mx2＋4x＋3，如图，现分别以y1的顶点A1为发散中心，得抛物线y2；再以抛物线y2的顶点A2为发散中心，得抛物线y3，…，以此类推．
①求抛物线y0＝mx2＋4x＋3以A1为发散中心得到的抛物线y2的解析式；
②求发散抛物线y4的发散中心A3的坐标；
③若发散抛物线yn的顶点An的坐标为（3×2n﹣2，2n﹣1），请直接写出AnAn﹣1的长度（用含n的式子表示）．

【答案】（1）1，（﹣2，﹣1），y1＝﹣x＋8x﹣15；（2）①y2＝﹣x2＋20x﹣97；②A3（22，7）；③2n﹣1．
【解析】
【分析】
（1）把点（﹣1，0）代入y0＝mx2＋4x＋3即可求得m＝1，然后把解析式化成顶点式，即可求得A的坐标，进而根据中心对称的性质得到A1，即可判断抛物线y1的解析式；
（2）①先求得A2的坐标，即可根据中心对称的性质求得抛物线y2的解析式；②根据中心对称的性质求得A3的坐标；③根据勾股定理求得AAn，则由直线对称的性质得到AnAn﹣1＝AAn，即可求得结果．
【详解】
解：（1）∵抛物线y0＝mx2＋4x＋3经过点（﹣1，0），
∴m﹣4＋3＝0，
∴m＝1，
∴y0＝x2＋4x＋3，
∵y0＝x2＋4x＋3＝（x＋2）2﹣1，
∴顶点A的坐标是（﹣2，﹣1），
∵抛物线y1与抛物线y0关于点（1，0）成中心对称，
∴抛物线y1的顶点A1为（4，1），
∴y1＝﹣（x﹣4）2＋1，即y1＝﹣x＋8x﹣15，
故答案为：1，（﹣2，﹣1），y1＝﹣x＋8x﹣15；
（2）①∵A（﹣2，﹣1），A1（4，1），抛物线y2与抛物线y0关于点A1成中心对称，
∴A2（10，3），
∴y2＝﹣（x﹣10）2＋3＝﹣x2＋20x﹣97；
②设A3（a，b），
则，＝3，
解得：a＝22，b＝7，
∴A3（22，7）；
③∵A（﹣2，﹣1），An的坐标为（3×2n﹣2，2n﹣1），
∴AAn＝＝2n，
∴AnAn﹣1＝AAn＝2n﹣1．
【点睛】
本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法、抛物线的性质，新定义的理解，点的对称坐标的求法等知识，综合性较强，理解新定义并熟练掌握抛物线的性质是解题关键．
16．（2021·江西·一模）如图，已知抛物线C1：y1＝x2＋2x＋a＋1的顶点为A，与y轴交于点B，将抛物线C1平移后得到抛物线C2：y2＝（x﹣a）2＋2a＋1，抛物线C2的顶点为D，两抛物线交于点C．
（1）若a＝1，求点C的坐标．
（2）随着a值的变化，试判断点A，B，D是否始终在同一直线上，并说明理由．
（3）当2AB＝BD时，试求a的值．

【答案】（1）；（2）A，B，D始终在同一直线上，理由见解析；（3）-2或2 ．
【解析】
（1）令y1=y2，并把a=1代入，即可得到关于x的方程，解出x后代入C1解析式即可得到y1，进而得到C点坐标；
（2）由题意可以得到A、B坐标，并得到直线AB的解析式，然后把D点坐标代入直线AB的解析式即可得知A，B，D是否始终在同一直线上；
（3）分两种情况讨论 ．
【详解】
解：（1）若a=1，令y1=y2，
即x2＋2x＋a＋1=（x﹣a）2＋2a＋1，
∴x2＋2x＋1＋1=（x﹣1）2＋2＋1，
∴x2＋2x＋1＋1=x2-2x＋1＋2＋1，
即4x=2，
∴x=，
将代入y1＝x2＋2x＋2中得：，
∴C点坐标为（）；
（2）点A，B，D始终在同一直线上，理由如下：
由题意可得点A坐标为（-1，a），点B坐标为（0，a+1），
∴直线AB的解析式为y=x+a+1，
∵D是抛物线y2的顶点，
∴D点坐标为（a，2a+1），
∵当x=a时，y=x+a+1=2a+1，
∴点D在直线AB上，
∴A、B、D始终在同一直线上；
（3）①如图，当A为BD中点时，满足2AB=BD，


此时可得，
即a=-2；
②如图，当B在线段AD上，存在2AB=BD，分别过A、D两点作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N，可得AM∥DN，


∴，即 ，
解得a=2，
综上所述，a的值为-2或2．
【点睛】
本题考查抛物线平移的综合应用，熟练掌握抛物线的图象与性质、一次函数的图象与性质、中点坐标公式及平行线分线段成比例定理是解题关键．
17．（2021·江西·二模）如图，已知抛物线，与y轴交于点A，它的顶点为B．作抛物线关于原点对称的抛物线，与y轴交于点C，它的顶点为D．我们把称为的对偶抛物线．若中任意三点都不在同一直线上，则称四边形为抛物线的对偶四边形，直线为抛物线的对偶直线．

（1）求证：对偶四边形是平行四边形．
（2）已知抛物线，求该抛物线的对偶直线的解析式．
（3）若抛物线的对偶直线是，且对偶四边形的面积为10，求抛物线的对偶抛物线的解析式．
【答案】（1）见解析；（2）直线的解析式为：；（3）抛物线的对偶抛物线的解析式为：．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，利用勾股定理分别解出的长，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可解题；
（2）由抛物线，分别解出，，利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（3）过点作，垂足为点，根据中心对称的性质，解得，求得对偶四边形的面积，进而得到点的横坐标为，点在直线上，再代入二次函数的解析式即可解题．
【详解】
解：（1）关于原点对称的曲线为
点关于原点对称的是点，
点关于原点对称的是点，
令






对偶四边形是平行四边形；
（2）抛物线，此时


设直线的解析式为：，
代入点得，，
直线的解析式为：；
（3）过点作，垂足为点，

当，

点与点关于原点对称，


对偶四边形的面积为10，


点的横坐标为，
即点的横坐标为，点在直线上，

顶点，顶点
抛物线，将代入得，


抛物线，
抛物线的对偶抛物线的解析式为：．
【点睛】
本题考查二次函数的综合题，涉及勾股定理、平行四边形的判定是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
18．（2021·江西省宜春实验中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该函数图象上．
（1）当m=5时，求n的值．
（2）当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y时，自变量x的取值范围．
（3）作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．

【答案】（1）-4（2）1≤x≤5（3）0≤m＜1或1＜m＜2
【解析】
【分析】
1）利用待定系数法求解即可．
（2）求出时，的值即可判断．
（3）由题意点的坐标为，求出几个特殊位置的值即可判断．
【详解】
解：（1）当时，，
当时，．
（2）当时，将代入函数表达式，得，
解得或（舍弃），
此时抛物线的对称轴，
根据抛物线的对称性可知，当时，或5，
的取值范围为．
（3）点与点不重合，
，
抛物线的顶点的坐标是，
抛物线的顶点在直线上，
当时，，
点的坐标为，
抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，逐渐减小，点沿轴向上移动，
当点与重合时，，
解得或，
当点与点重合时，如图2，顶点也与，重合，点到达最高点，
点，
，解得，
当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点不在线段上，
点在线段上时，的取值范围是：或．

【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题．
19．（2021·江西·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点A，将点A向右平移1个单位长度，得到点B．直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若点A与点D关于x轴对称，
①求点B的坐标；
②若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【答案】（1）x＝1；（2）①(1，3)，②a≤﹣或a＞0
【解析】
【分析】
（1）抛物线的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝1；
（2）①点C的坐标为（4，0），点A的坐标为（0，﹣3），即可求解；②分a＞0、a＜0两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）抛物线的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝1；
（2）①∵直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于点C，D，
∴点C的坐标为（4，0），点D的坐标为（0，﹣3），
∵抛物线与y轴的交点A与点D关于x轴对称，
∴点A的坐标为（0，3），
∵将点A向右平移1个单位长度，得到点B，
∴点B的坐标为（1，3）；
②抛物线顶点为P（1，3﹣a），
（ⅰ）当a＞0时，如图1，

令x＝4，得y＝16a﹣8a+3＝8a+3＞0，
即点C（5，0）总在抛物线上的点E（4，8a+3）的下方，
∵yP＜yB，
∴点B（1，3）总在抛物线顶点P的上方，
结合函数图象，可知当a＞0时，抛物线与线段CB恰有一个公共点；
（ⅱ）当a＜0时，如图2，

当抛物线过点C（4，0）时，
16a﹣8a+3＝0，解得a＝﹣，
结合函数图象，可得a≤﹣，
综上所述，a的取值范围是：a≤﹣或a＞0.
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等、面积的计算等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．
20．（2018·内蒙古兴安盟·中考模拟）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．
（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是　 　，衍生直线的解析式是　 　；
（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；
（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=﹣x2﹣3, y=﹣x﹣3；（2）y=2x2﹣4x+1；
（3）存在，P为（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）．
【解析】
【详解】
分析：（1）衍生抛物线顶点为原抛物线与y轴的交点，则可根据顶点设顶点式方程，由衍生抛物线过原抛物线的顶点则解析式易得，MN解析式易得．
（2）已知衍生抛物线和衍生直线求原抛物线思路正好与（1）相反，根据衍生抛物线与衍生直线的两交点分别为衍生抛物线与原抛物线的交点，则可推得原抛物线顶点式，再代入经过点，即得解析式．（3）由N（0，﹣3），衍生直线MN绕点N旋转到与x轴平行得到y=﹣3，再向上平移1个单位即得直线y=﹣2，所以P点可设（x，﹣2）．在坐标系中使得△POM为直角三角形一般考虑勾股定理，对于坐标系中的两点，分别过点作平行于x轴、y轴的直线，则可构成以两点间距离为斜边的直角三角形，且直角边长都为两点横纵坐标差的绝对值．进而我们可以先算出三点所成三条线的平方，然后组合构成满足勾股定理的三种情况，易得P点坐标．
本题解析：
（1）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3过（0，﹣3），
∴设其衍生抛物线为y=ax2﹣3，
∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，
∴衍生抛物线为y=ax2﹣3过抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点（1，﹣4），
∴﹣4=a•1﹣3，
解得 a=﹣1，
∴衍生抛物线为y=﹣x2﹣3．
设衍生直线为y=kx+b，
∵y=kx+b过（0，﹣3），（1，﹣4），
∴，
∴，
∴衍生直线为y=﹣x﹣3．
（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，
∴将y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1联立，得，
解得 或，
∵衍生抛物线y=﹣2x2+1的顶点为（0，1），
∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）．
设原抛物线为y=a（x﹣1）2﹣1，
∵y=a（x﹣1）2﹣1过（0，1），
∴1=a（0﹣1）2﹣1，
解得 a=2，
∴原抛物线为y=2x2﹣4x+1．
（3）∵N（0，﹣3），
∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=﹣3，
∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2．
设点P坐标为（x，﹣2），
∵O（0，0），M（1，﹣4），
∴OM2=（xM﹣xO）2+（yO﹣yM）2=1+16=17，
   OP2=（|xP﹣xO|）2+（yO﹣yP）2=x2+4，
   MP2=（|xP﹣xM|）2+（yP﹣yM）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5．
①当OM2=OP2+MP2时，有17=x2+4+x2﹣2x+5，
解得x=或x=，即P（，﹣2）或P（，﹣2）．
②当OP2=OM2+MP2时，有x2+4=17+x2﹣2x+5，
解得 x=9，即P（9，﹣2）．
③当MP2=OP2+OM2时，有x2﹣2x+5=x2+4+17，
解得 x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．
综上所述，当P为（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）时，△POM为直角三角形．

点睛：本题考查了一次函数、二次函数图象及性质，勾股定理及利用其表示坐标系中两点距离的基础知识，特别注意的是：利用其表示坐标系中两点距离，是近几年中考的热点,需学生熟练运用.
21．（2022·江西·南昌市第二十八中学九年级期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）；
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由．
（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；（2）最大值为1，此时N（-1，2）；（3）M的坐标为（-1，0）或（1±，0）或（-，0）．
【解析】
【分析】
（1）设二次函数的交点式为y=a，将C点代入交点式，求出a，即可得出解析式；
（2）设出N点坐标（n，-n2-n+2），利用未知数表示出△NAC的面积的表示方法，再利用二次函数求最值的方法，求出面积的最大值；
（3）利用等腰三角形的特点，分类进行分析，即可求出结果．
【详解】
解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），
设二次函数的解析式为：y=a，
把C（0，2）代入得：2=a，
a=-1，
∴y==-x2-x+2，
∴二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；
（2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2），

设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（-2，0）、C（0，2）代入得：，
解得： ，
∴直线AC的解析式为：y=x+2，
∴D（n，n+2），
∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n，
∴S△ANC=×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1，
∴当n=-1时，△ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2），
（3）存在，分三种情况：
①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）；

②如图2，由勾股定理得：BC=，
以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=，
此时，M2（1-，0），M3（1+，0）；
③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4，

设OM4=x，则CM4=BM4=x+1，
由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，
解得：x=，
∵M4在x轴的负半轴上，
∴M4（，0），
综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或（1±，0）或（，0）；
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合运用，包括求解析式，面积问题，等腰三角形求值问题，掌握相关知识点并进行熟练运用是解综合题的关键．
22．（2022·江西·景德镇一中九年级期末）定义：若抛物线的图象恒过定点，则称为抛物线L的“不动点”．已知：若抛物线．

（1）求抛物线L的不动点坐标；
（2）如图1，已知平面直角坐标系中、、，以点B为圆心，为半径作⊙B，点P为⊙B上一点，将点C绕点P逆时针旋转得到点，当点P在⊙B上运动时，求线段长度的最大值；
（3）在（2）的条件下，若抛物线L的对称轴是直线﹔
①求抛物线L的解析式；
②如图2，若直线交抛物线L于点、，交y轴于点Q，平面内一点H坐标为，记，当点P在⊙B上运动时，求的取值范围．
【答案】（1）（0,1）和（2,3）；（2）；（3）①②
【解析】
【分析】
（1）将函数关系式变形即可得出当=0时，值不受影响，求出定点坐标即可；
（2）用相似三角形得出的轨迹，然后分析得出最大值即可；
（3）①利用对称轴公式求解出的值，即可得出函数关系式；②根据点到直线的距离求出的取值范围，用表示出即可求解出取值范围；
【详解】
解：（1）
当=0时，值不受影响
解得，
当时，
当时，
∴恒过定点（0,1）和（2,3）
即抛物线L的不动点坐标是（0,1）和（2,3）
故答案为（0,1）和（2,3）
（2）如图所示，过点B作BQ⊥轴，使
在取一点，作

则是直角三角形
∵，
又∵
∴
∴
∴
∴点是以Q为圆心，为半径的圆，
如图所示，共线时，最大

，
∴，
故答案为；
（3）①
∵对称轴为
∴
∴
∴
故答案为
②∵过点
∴设函数关系式为，则
∴
∴


当与相切时，点到直线的距离为1
∴，解得
∴的取值范围是


当时，，，
当时，
令，则或

∵或
∴
∴
∴
∴
∴
即
综上所述
故答案为
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、旋转、函数的最值、动点问题等，其中用韦达定理处理复杂数据，数形结合是此类题目的一种基本方法．
23．（2022·江西·景德镇一中九年级期末）如图，直线与抛物线相交于点和点，抛物线与x轴的交点分别为H，K（点H在点K的左侧）．点F在线段上运动（不与点A、B重合），过点F作直线轴于点P，交抛物线于点C．


（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接，是否存在点F，使是直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，过点C作于点E，当的周长最大时，过点F作任意直线l，把沿直线l翻折，翻折后点C的对应点记为点Q，求出当的周长最大时，点F的坐标，并直接写出翻折过程中线段的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）存在或，理由见解析；（3）
最大值为，最小值为
【解析】
【分析】
（1）根据题意，将代入直线解析式求得点的坐标，将坐标代入二次函数解析式，待定系数法求解析式即可；
（2）先证明为等腰直角三角形，分情况讨论①当为斜边时，设，则，根据 求得点的坐标；②为斜边时:，根据轴求得点的坐标；
（3）是等腰直角三角形，当最大时，的周长最大，求得点的坐标；
过点F作任意直线l，把沿直线l翻折，翻折后点C的对应点记为点Q
根据题意点在以为圆心，为半径的圆上，根据求得最值
【详解】
（1）由题意过点
则：

将，
代入，得：

解得：

（2）存在，理由如下

设直线与轴交于点,与轴交于点
过点，
令,令
，
是等腰直角三角形

是直角三角形
设，则
轴
轴

不可能为斜边
是等腰直角三角形
①当为斜边时：



FC

即，
解得：（与点重合）


②当为斜边时:
轴
轴

解得：（与点重合）


（3）如图：

由（2）可知

是等腰直角三角形

的周长等于
当最大时，的周长最大
设()，则，则


当时，取得最大值

过点F作任意直线l，把沿直线l翻折
翻折后点C的对应点记为点Q
根据题意点在以为圆心，为半径的圆上
，令

解得：
根据题意，点H在点K的左侧，



=
=

【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数综合，勾股定理，图形的旋转，锐角三角函数，等腰三角形性质，圆的性质，二次函数最值问题，综合运用以上知识是解题的关键．
24．（2022·江西·上犹县教学研究室九年级期末）如图，已知抛物线经过点．

（1）求的值；
（2）连结，交抛物线L的对称轴于点M．
①求点M的坐标；
②将抛物线L向左平移个单位得到抛物线．过点M作轴，交抛物线于点N．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若，求m的值．
【答案】（1）；（2）①；②1或．
【解析】
【分析】
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）①求出直线AB的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；②根据抛物线的平移方式求出抛物线的表达式，再分三种情况进行求解即可．
【详解】
解：（1）把点的坐标分别代入，
得．解得
的值分别为．
（2）①设所在直线的函数表达式为，
把的坐标分别代入表达式，得
解得
所在直线的函数表达式为．
由（1）得，抛物线L的对称轴是直线，
当时，．
∴点M的坐标是．
②设抛物线的表达式是，
轴，
点N的坐标是．
∵点P的横坐标为
∴点P的坐标是，
设交抛物线于另一点Q，
∵抛物线的对称轴是直线轴，
∴根据抛物线的轴对称性，点Q的坐标是．

（i）如图1，当点N在点M下方，即时，
，
，
由平移性质得，
∴

∴，
解得（舍去），．
（ii）图2，当点N在点M上方，点Q在点P右侧，
即时，，

，
解得（舍去），（舍去）．
（ⅲ）如图3，当点N在点M上方，点Q在点P左侧，
即时，
，

，
解得（舍去），．
综上所述，m的值是1或．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方程等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键．
25．（2022·江西上饶·九年级期末）如图，已知二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边）．
（1）函数y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的顶点坐标为______；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是______；
（2）当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）；
（3）抛物线L1，L2均会分别经过某些定点，
①求所有定点的坐标；
②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？

【答案】（1）（﹣1，﹣4m+1）；﹣1＜x＜3；（2）四边形AMDN是矩形；（3）①L1经过（﹣3，1）、（1，1）两点，L2经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点；②L2应平移的距离是或．
【解析】
【分析】
（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M的坐标；结合函数图象填空；
（2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A、B、C、D的横坐标，可得AD的中点为（1，0），MN的中点为（1，0），则AD与MN互相平分，可判断四边形AMDN是矩形；
（3）根据菱形的性质可得EH1＝EF＝4即可，设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．
【详解】
（1）x＝﹣＝﹣1，顶点坐标M为（﹣1，﹣4m+1），
由图象得：当﹣1＜x＜3时，二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大．
故答案为：（﹣1，﹣4m+1）；﹣1＜x＜3
（2）结论：四边形AMDN是矩形．
（3）①∵二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1＝m（x+3）（x﹣1）+1，
故当x＝﹣3或x＝1时y＝1，即二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1经过（﹣3，1）、（1，1）两点，
∵二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1＝﹣m（x﹣1）（x﹣5）﹣1，
故当x＝1或x＝5时y＝﹣1，即二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点，
②∵二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1经过（﹣3，1）、（1，1）两点，二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点，
如图：四个定点分别为E（﹣3，1）、F（1，1），H（1，﹣1）、G（5，﹣1），则组成四边形EFGH为平行四边形，
设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，
由勾股定理可得：42＝22+（4﹣x）2．
解得：x＝，
抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是或．
     
【点睛】
本题考查了已知抛物线解析式求顶点坐标的方法；矩形的判定及菱形的性质．
26．（2022·江西·南昌市第十九中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A(3，0)、B(0，－3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．

(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
(2)若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
(3)是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式是.直线AB的解析式是.
(2) .
（3）P点的横坐标是或.
【解析】
【分析】
（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；
（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到
当t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；
（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．
【详解】
解：(1)把A（3，0）B（0，-3）代入，得
解得
所以抛物线的解析式是.
设直线AB的解析式是,把A（3，0）B（0，）代入,得
解得
所以直线AB的解析式是.
(2)设点P的坐标是（）,则M（,）,因为在第四象限，所以PM=，当PM最长时，此时
==.
（3）若存在，则可能是：
①P在第四象限：平行四边形OBMP ,PM=OB=3， PM最长时，所以不可能.
②P在第一象限平行四边形OBPM： PM=OB=3，，解得，（舍去），所以P点的横坐标是.
③P在第三象限平行四边形OBPM：PM=OB=3，，解得（舍去），
①，所以P点的横坐标是.
所以P点的横坐标是或.
27．（2022·江西·峡江县教学研究室九年级期末）如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点A（2，0），点B（3，3），BC⊥x轴于点C，连接OB，等腰直角三角形DEF的斜边EF在x轴上，点E的坐标为（﹣4，0），点F与原点重合
（1）求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴；
（2）△DEF以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t秒，当点D落在BC边上时停止运动，设△DEF与△OBC的重叠部分的面积为S，求出S关于t的函数关系式；
（3）点P是抛物线对称轴上一点，当△ABP是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点P坐标．

【答案】（1）y=x2﹣2x，直线x=1；（2）见解析；（3）点P坐标为（1，1）或（1，2）或（1， ）或（1，）．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法解出解析式和对称轴即可；
（2）从三种情况分析①当0≤t≤3时，△DEF与△OBC重叠部分为等腰直角三角形；②当3＜t≤4时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形；③当4＜t≤5时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形得出S关于t的函数关系式即可；
（3）直接写出当△ABP是直角三角形时符合条件的点P坐标．
【详解】
解：（1）根据题意得，
解得a=1，b=-2，
∴抛物线解析式是y=x2-2x，
对称轴是直线x=1；
（2）有3中情况：
①当0≤t≤3时，△DEF与△OBC重叠部分为等腰直角三角形，如图1：


则S=；
②当3＜t≤4时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形，如图2：


则S=；
③当4＜t≤5时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形，如图3：


则S=；
（3）当△ABP是直角三角形时，可得符合条件的点P坐标为（1，1）或（1，2）或（1，）或（1，）．
28．（2021·江西·模拟预测）如图，点在轴上，点是抛物线上的一个动点，连接，取的中点．
（1）当点在坐标轴上时，求点的坐标．
（2）当点在抛物线上运动时，
①猜想点构成的曲线是什么求出此曲线的解析式，并在网格中画出大致的图象；
②设点与点所在函数的图象分别与直线从左至右依次相交于，，，，是否存在的情况？请说明理由．

【答案】（1）或或；（2）①二次函数的图象，，见解析；②存在，见解析
【解析】
【分析】
（1）分当点在轴上时与点在轴上时，根据中点的性质得到点P的坐标特点即可求解；
（2）①设点的坐标为，由点坐标为，可得中点的坐标为，消去a即可得到所在二次函数图象的解析式为，故为二次函数，再画出函数图像；
②设点，的横坐标分别为，，根据二次函数的对称性得到点，的横坐标分别为，，故可得到，即可求解．
【详解】
解：（1）当点在轴上时，点的纵坐标为2，
解方程， 得．
∴此时点的坐标为或．
当点在轴上时，点的横坐标为0，
则点的纵坐标为5，∴此时点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或或．
①点构成的曲线是二次函数的图象，设点的坐标为，
∵点坐标为，
∴中点的坐标为．
设，，
消去，得所在二次函数图象的解析式为．
作出该函数的图象如下：


②存在．
设点，的横坐标分别为，，
∵抛物线的对称轴为直线，
抛物线的对称轴为直线，
∴点，的横坐标分别为，．
∴．
【点睛】
此题主要考查二次函数的图象综合，解题的关键是熟知二次函数的图象特点、对称性的应用．
29．（2021·江西·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在第一象限），点在的延长线上，且（为正整数）．过点，的抛物线，其顶点在轴上．

（1）求的长；
（2）①当时，抛物线的函数表达式为______；
②当时，求抛物线的函数表达式；
（3）如图2，抛物线，经过、两点，顶点为，且、、三点在同一直线上，
①求与的关系式；
②当时，设四边形的面积，当时，设四边形的面积（，为正整数，，），若，请直接写出值．
【答案】(1)1，(2) ①，②，(3) 或
【解析】
【分析】
（1）把y=1代入，求出A、B两点坐标即可；
（2）①把代入，求出、、M坐标即可；②把代入，求出、、M坐标即可；
（3）①类似于（2）求出求出、、P坐标，代入解析式可求；②根据，求出k和t的关系，确定它们的值，再根据①中结论求解即可．
【详解】
解：（1）对于，当y=1时，有，
解得：或，
∴A(，1)，B(，1)，
∴AB=，
故答案为：1；

（2）①当n=1时，BC=AB=1，
则C(，1)，抛物线对称轴为：,
由M为抛物线顶点，
∴M(1，0)，
设抛物线解析式为：，把B(，1)代入得，
，
∴a=4，
∴抛物线的函数表达式为：；
故答案为:
②当n=2时，BC=2AB=2，
则C(，1)，
同理，M(，0)，
设过点B，
则有，
∴抛物线的函数表达式为：；
（3）①如图，可知，
则，
∵O、B、P三点共线，
直线OB解析式为：
∴，       
∴，
将点B(，1)，，代入抛物线得：
即；
②当n=k时，AC=k+1，
，
当n=t时，AC=t+1，
，
又∵，
∴，
解得，，
∵，为正整数，，，
当t=1时，k=3，，
当t=2时，k=5，，
【点睛】
本题考查了二次函数的综合，解题关键是熟练运用二次函数的知识，准确进行计算．
30．（2021·江西·模拟预测）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）M是抛物线对称轴上的一点连接BM，CM，求BM+CM的最小值．
（3）若E（m，0）为x轴正半轴上一动点，过点E作直线ED⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接BP，BC，当∠PBD+∠CBO＝45°时，请求出m的值．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）BM+CM的最小值为；（3）或5
【解析】
【分析】
（1）根据点的坐标特征利用待定系数法求解即可；
（2）先求出对称轴，根据抛物线的对称性和两点之间线段最短可知，BM+CM的最小值为AB的长度，进而利用勾股定理求解即可；
（3）根据题意，分点P在直线AB的上方和点P在直线AB的下方两种情况讨论求解即可．
【详解】
解：（1）将点A（3，0）代入y＝﹣x+n中得： 0=﹣3+n，则n=3，
∴y＝﹣x+3，
当x=0时，y=3，∴B（0，3），
将A(3，0)、B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3= y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为直线x=1，
∵点A（3，0）与点C关于直线x=1对称，点M在对称轴上，
∴C（﹣1，0），MC=MA，
∴MC+BM=MA+MB≥AB（当A、M、B共线时取等号），
即BM+CM的最小值为AB的长度，
∵A(0，3)，B(0，3)，
∴OA=3，OB=3，
∴AB= = ，
∴BM+CM的最小值为；

（3）如图，当点P在直线AB的上方时，过点B作BF⊥ED交ED延长线于F，连接BC，
则四边形OBFE是矩形，∴∠OBF=∠BFP=∠AOB=90°，
∵OA=3，OB=3，
∴∠OBA=∠ABF=45°，即∠FBP+∠PBD=45°，
∵∠PBD+∠CBO＝45°，
∴∠FBP=∠CBO，
∴△BFP∽△BOC，
∴，
由题意，E(m，0)，D（m，﹣m+3），P(m，﹣m2+2m+3)，F(m，3)，m＞0，
∴BF=m，PF=3﹣（﹣m2+2m+3）=m2﹣2m，
∴，
解得：m1=，m2=0（舍去）；
如图，当点P在直线AB的下方时，
∵∠PBD+∠OBP=45°，∠PBD+∠CBO＝45°，
∴∠OBP=∠CBO，
设直线BP交x轴于M，则OM=OC=1，
∵PE⊥x轴，即PE∥y轴，
∴△BOM∽△PEM，
∴即，
解得：m1=5，m2=0（舍去），
综上，当∠PBD+∠CBO＝45°时，m的值为或5．

【点睛】
本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数的对称性求最短路径、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、解一元二次方程等知识，解答的关键是理解题意，结合图象找到相关知识的关联点，利用数形结合和分类讨论等思想方法进行推理、探究和计算．