陕西省西安市长安区第一中学2022届高三下学期第五次教学质量检测理科数学试题

陕西省西安市长安区长安一中2022年

高三第五次教学质量检测

理科数学试题

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（    ）

A． B． C． D．

2．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ）

A． B． C． D．

3．已知向量，，且，则等于（    ）

A． B．3 C． D．

4．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则其中不正确结论的是（    ）

A． B．

C． D．

5．已知正三棱柱中，底面边长AB＝2，，则异面直线与BC所成角的余弦值（    ）

A． B． C． D．

6．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

7．已知，，在函数，的图像的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，当时，函数的图像恒在x轴的上方，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭，高三年级一栋楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（    ）

A．240种 B．188种 C．156种 D．120种

9．已知在x＝1处取得极大值10，则的值为（    ）

A．或 B．或 C． D．

10．已知正实数x，y满足x＋y＋3＝xy，若对任意满足条件的正实数x，y都有不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A．  B．

C．  D．

11．已知双曲线的左，右焦点分别是，，在其渐近线上存在一点P，满足，则该双曲线离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

12．若关于x的方程（其中，e为自然对数的底数）有三个不相等的实数解，，，且，则的值为（    ）

A．1 B．e C．m－1 D．m＋1

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡相应的位置.）

13．已知的周长为20，且顶点，，则顶点A的轨迹方程是______.

14．函数是定义在R上的增函数，函数的图像关于点对称，则满足的实数x的取值范围为______.

15．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，AD＝2，AB＝3，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，且直线PB与CD所成角的正切值为.则四棱锥P－ABCD外接球的表面积为______.

16．已知，，，且有则______.

三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必修作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）

（一）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）

设等差数列的前n项和为，已知，且是与的等比中项.

（1）求的通项公式；

（2）若.求证：，其中.

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，，M是棱PB上的点，O是AD中点，且PO⊥底面ABCD，.

（1）求证：BC⊥OM；

（2）若，求二面角B－OM－C的余弦值.

19．（本小题满分12分）

某校高三男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数之和不少于3次称为“优秀小组”.小明与小亮同一小组，小明、小亮投篮投进的概率分别为，.

（1）若，，则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率；

（2）若，则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为16次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值.

20．（本小题满分12分）

已知函数.

（1）当时，求的单调递增区间；

（2）若函数恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m，求证：.

21．（本小题满分12分）

已知P为抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．

（1）证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标；

（2）若直线AB交椭圆于C，D两点，，分别为，的面积，求的最小值.

（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.

22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程选讲]

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（为参数）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为曲线C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：.

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）求的最小值.

23．（本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲]

已知a，b，c为正数，

（1）证明：.

（2）求的最小值.