二次函数与圆、角和动点综合问题压轴题--2022年初中数学中考备考考前必刷

这是一份二次函数与圆、角和动点综合问题压轴题--2022年初中数学中考备考考前必刷，共59页。试卷主要包含了定义等内容，欢迎下载使用。

二次函数与圆、角和动点综合问题压轴题
1．如图，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣1，0）和点C （0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．

2．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的取值范围．
3．我们把方程(x- m)2+(y-n)2=r2称为圆心为(m，n)、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为(1,-2)、半径长为3的圆的标准方程是(x- 1)2+(y+2)2=9．在平面直角坐标系中,圆C与轴交于点A．B．且点B的坐标为(8．0),与y轴相切于点D(0, 4)，过点A,B,D的抛物线的顶点为E．
(1)求圆C的标准方程；
(2)试判断直线AE与圆C的位置关系，并说明理由．

4．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣2，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若，求点P的坐标；
（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．

5．如图，已知二次函数图像的顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图像上，过点F(0，1)作x轴的平行线交二次函数的图像于M，N两点
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当时等边三角形时，求点P的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和和点N，且与直线相切，若存在，求出点E的坐标，并求的半径；若不存在，说明理由．

6．定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．

(1)已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；
(2)已知二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；
(3)已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．
7．如图1，二次函数y＝a(x+3)(x﹣4)的图象交坐标轴于点A，B(0，﹣2)，点P为x轴上一动点．

(1)求二次函数y＝a(x+3)(x﹣4)的表达式；
(2)过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；
(3)如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．
①当点D在抛物线上时，求点D的坐标；
②点E(2，﹣)在抛物线上，连接PE，当PE平分∠BPD时，直接写出点P的坐标．
8．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A(－3，0)，B两点，与y轴相交于点C(0，2)，对称轴是直线x＝－1，连接AC．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；
（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

9．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A(﹣3，0)、B，与y轴交于点C(0，﹣3)．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上求点P，使S△BCP＝2S△BCO，求点P的坐标；
(3)如图2，直线y＝x+3交抛物线于第一象限的点M，若N是抛物线y＝x2+bx+c上一点，且∠MAN＝∠OCB，求点N的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点C的直线l与该抛物线交于另一点D，并且直线l∥x轴，点P(m，y1)为该抛物线上一个动点，点Q（m，y2）为直线l上一个动点．

(1)当m＜0，且y1＝y2时，连接AQ，BD，说明：四边形ABDQ是平行四边形；
(2)当m＞0，连接AQ，线段AQ与线段OC交于点E，OE＜EC，且OE•EC＝2，连接PQ，求线段PQ的长；
(3)连接AC，PC，试探究：是否存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11．已知抛物线过点和，与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图1，E为线段上方的抛物线上一点，，垂足为F，轴，垂足为M，交于点G．当时，求的面积；
（3）如图2，与的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．

12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线经过点A，与y轴交于点B，连接．
（1）求b的值及点M的坐标；
（2）将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，求证：：
（3）点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，连接，线段的延长线与线段交于点G．当时，是否存在点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

备用图
13．已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点是x轴上的动点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线于点G．过点P作于点D，当n为何值时，；
（3）如图2，将直线绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线．
①______；
②当点N关于直线的对称点落在抛物线上时，求点N的坐标．
14．已知二次函数．

（1）当该二次函数的图象经过点时，求该二次函数的表达式；
（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C,点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值;
（3）若对满足的任意实数x，都使得成立，求实数b的取值范围．
15．如图，已知点，点，直线过点B交y轴于点C，交x轴于点D，抛物线经过点A、C、D，连接、．

（1）求抛物线的表达式；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）E为直线上方的抛物线上一点，且，求点E的坐标；
（4）N为线段上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动到点N，再以每秒个单位长度的速度沿线段运动到点C，又以每秒1个单位长度的速度沿线段向点O运动，当点P运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋1的对称轴为直线x，其图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C．

(1)直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；
(2)动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N以每秒个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴、y轴的交点分别为，抛物线过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿方向运动，到达C点后，立即返回，向方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段沿过点B的直线翻折，点A的对称点为，求的最小值．
18．如图，在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（，0），直线BC的解析式为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD//BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，已知点M为抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．


1．（1）y＝﹣x2+x+3；（2）不存在，理由见解析；（3）⊙M的半径为，，，
（1）已知抛物线y＝ax2+x+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,3)，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）在抛物线上找到一点Q，使得△QCO是等边三角形，过点Q作OM⊥OB于点M，过点Q作QN⊥OC于点N，根据△QCO是等边三角形，求得Q点坐标，再验证Q点是否在抛物线上；
（3）分四种情况①当⊙M与y轴相切，如图所示，令M点横坐标为t，PM=t，将PM用t表示出来，列出关于t的一元二次方程，求得t，进而求得半径；②⊙M与x轴相切，过点M作MN⊥OB于N，如图所示，令M点横坐标为m，因为PN=2MN，列出关于m的一元二次方程，即可求出m，同理③④种情况，进而求得⊙M的半径．
【详解】
（1）∵抛物线y＝ax2+x+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,3)
∴
解得
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3
故答案为：y＝﹣x2+x+3
（2）在抛物线上找到一点Q，使得△QCO是等边三角形，过点Q作QM⊥OB于点M，过点Q作QN⊥OC于点N
∵△QCO是等边三角形，OC=3
∴CN=
∴NQ=
即Q(,)
当x=时，y＝﹣×()2+×+3=≠
∴Q(,)不在抛物线上
y＝﹣x2+x+3

故答案为：不存在，理由见解析
（3）①⊙M与y轴相切，如图所示
∵y＝﹣x2+x+3
当y=0时，﹣x2+x+3=0
解得x1=-1，x2=4
∴B(4,0)
令直线BC的解析式为y=kx+b

解得
∴直线BC的解析式为
令M点横坐标为t
∵MP∥y轴，⊙M与y轴相切
∴t=﹣t2+t+3-
解得t=

⊙M的半径为
②⊙M与x轴相切，过点M作MN⊥OB于N，如图所示
令M点横坐标为m
∵PN=2MN
∴
解得m=1或m=4（舍去）

∴⊙M的半径为：

③当与轴相切时，如图3：

点与点重合时

半径
④当与轴相切时如图4：

设，
则，因

解得，（舍去）
半径
综上所述：的半径为，，，
2．(1)y＝﹣x2+x+2
(2)存在，（0，﹣）或（0，）
(3)2-≤NA≤2+
（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2即可求解析式；
（2）过点P作PH⊥BC交于点H，设P（0，t），CH＝x，由已知分别可求BC＝2，BH＝2﹣x，HP＝BH＝2﹣x，在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝＝，cos∠PCH＝＝＝，求出t＝﹣ ，则P（0，﹣），与x轴对称点为（0，），此点也满足所求；
（3）当M点在B点处时，N点在F（0，4）处，当M点在O点处时，N点在E（﹣2，0）处，∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接AG，交圆G于点N1，N2，过G作GH⊥x轴于H，勾股定理求出AG，即可得到AN的最小值及最大值．
(1)
解：将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，得
，
解得，
∴y＝﹣x2+x+2；
(2)
如下图，

过点P作PH⊥BC交于点H，
设P（0，t），CH＝x，
∵C（0，2），B（4，0），
∴BC＝2，
∴BH＝2﹣x，
∵∠OBP+∠OBC＝45°，
∴∠CBP＝45°，
∴HP＝BH＝2﹣x，
在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝，cos∠PCH＝＝，
在Rt△BOC中，sin∠PCH＝，cos∠PCH＝，
∴＝，＝，
∴x＝，t＝﹣ ，
∴P（0，﹣ ），
P点关于x轴对称点为（0，），此点也满足∠OBP+∠OBC＝45°，
∴满足条件的P点坐标为（0，﹣）或（0，）；
(3)
当M点在B点处时，N点在F（0，-4）处，当M点在C点处时，N点在E（2，0）处，
∵∠EOF＝90°，
∴△EOF≌△COB，
∴EF＝BC＝2，
∴可以判断N点在以EF为直径的圆G上运动，
连接AG，，交圆G于点N1，N2，
此时G（1，-2），
过G作GH⊥x轴于H，则AH=2，GH=2，
∴AG=2，
∵N2G=，
∴当点N与N2重合时，AN有最小值，AN=2-；
同理，当点N与N1重合时，AN有最大值，AN=2+；

∴2-≤NA≤2+．
3．（1）；（2）相切，理由见解析
（1）连接CD，CB，过C作CF⊥AB，分别表示出BF和CF，再在△BCF中利用勾股定理构造方程求解即可得到圆C半径以及点C坐标，从而得到标准方程；
（2）由（1）可得点A坐标，求出抛物线表达式，得到点E坐标，再求出直线AE的表达式，联立直线AE和圆C的表达式，通过判断方程根的个数即可得到两者交点个数，从而判断位置关系.
【详解】
解：连接CD，CB，过C作CF⊥AB，
∵点D（0，4），B（8，0），设圆C半径为r，圆C与y轴切于点D，
则CD=BC=OF=r，CF=4，
∵CF⊥AB，
∴AF=BF=8-r，
在△BCF中，，
即，
解得：r=5，
∴CD=OF=5，即C（5，4），
∴圆C的标准方程为：；

（2）由（1）可得：BF=3=AF，则OA=OB-AB=2，
即A（2，0），
设抛物线表达式为：，将A，B，D坐标代入，
，解得：，
∴抛物线表达式为：，
∴可得点E（5，），
设直线AE表达式为：y=mx+n，将A和E代入，
可得：，解得：，
∴直线AE的表达式为：，
∵圆C的标准方程为，
联立，
解得：x=2，
故圆C与直线AE只有一个交点，横坐标为2，
即圆C与直线AE相切.
4．（1）y＝x2﹣x﹣4；（2）P(3，﹣)；（3）没有变化，2
（1）由二次函数的图象与轴交于，两点，可得二次函数的解析式为，由此即可解决问题．
（2）根据，构建方程即可解决问题．
（3）结论：点在运动过程中线段的长是定值，．根据，根据方程求出，再利用中点坐标公式，求出点的纵坐标即可解决问题．
【详解】
解：（1）二次函数的图象与轴交于，两点，
二次函数的解析式为，
即．
（2）如图甲中，连接．设．

由题意，，，
，
，
整理得，，
解得或（舍弃），
．
（3）结论：点在运动过程中线段的长是定值，．
理由：如图乙中，连接，，，设，，，．

由题意，，
，
解得，
，，
，
，
，
点在运动过程中线段的长是定值，．
5．（1）；（2）或；（3）在二次函数图像上存在点E，使得以点E为圆心，半径为的圆，过点F，N且与直线相切．
（1）由二次函数的顶点是原点，则设二次函数的解析式为，然后将（2，1）代入求得a即可；
（2）将y=1代入解得，可确定M、N的坐标，进而确定MN的长度；再根据是等边三角形确定PM的长，然后解三角形确定PF的长，最后结合F点坐标即可解答；
（3）先假设这样的点存在，设点Q是FN的中点，即 Q(1，1)
【详解】
解：（1）∵二次函数的顶点是原点
∴设二次函数的解析式为，
将（2，1）代入，

解得
所以二次函数的解析式为；
（2）如图：将y=1代入，得，解得


是等边三角形
∴点P在y轴上且PM=4
∴

或；

（3）假设在二次函数的图像上存在点E满足条件
设点Q是FN的中点，即 Q(1，1)
∴点E在FN的垂直平分线上
∴点E是FN的垂直平分线x=1与的图像的交点，即
，
∴

∴点E到直线y=-1的距离为
∴在二次函数图像上存在点E，使得以点E为圆心，半径为的圆，过点F，N且与直线相切．
6．(1)⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，理由见解析
(2)△POA周长的最小值为6
(3)
（1）先求出二次函数y=x2-4x+3图象与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，为半径的圆上，即可作出判断．
（2）由题意可得，二次函数y=x2-4x+4图象的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以△POA周长=PO+PA+OA=PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值．
（3）连接CD，PA，设二次函数y=ax2-4x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，设PE=m，由∠CPD=120°，可得PA=PC=2m，CE=m，PF=4-m，表示出AB、AF=BF，在Rt△PAF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值．
(1)
对于二次函数y＝x2﹣4x+3，
当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，
∴二次函数图象与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），
∵点P（2，2），
∴PA＝PB＝PC＝，
∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．
(2)
如图1，连接PH，

∵二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，
∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），
∴△POA周长＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，
∴△POA周长的最小值为6．
(3)
如图2，连接CD，PA，
设二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，

由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，
∵AB＝，
∴AF＝BF＝，
∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），
∴∠PCD＝∠PDC＝30°，
设PE＝m，则PA＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，
∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l为，
∴，即，
在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2，
∴，
即，
化简，得，解得，
∴．
7．(1)y＝x2﹣x﹣2
(2)S△ACQ＝
(3)①D(3，﹣1)或D(﹣8，10)；②P点的坐标为(2，0)或(，0)
（1）直接利用待定系数法求解析式即可；
（2）令y=0，得到点A的坐标，设直线AB的解析式为y=kx+b，利用待定系数法得AB解析式，再根据坐标与点的位置关系及三角形面积公式可得答案；
（3）①分点D在x轴的下方和上方两种情形，运用全等思想求解即可;②分PE垂直x轴和不垂直两种情形求解即可.
(1)
解：将B（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），
∴a＝，
∴y＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；
(2)
令y＝0，则（x+3）（x﹣4）＝0，
∴x＝﹣3或x＝4，
∴A（4，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
∵OP＝1，
∴P（1，0），
∵PQ⊥x轴，
∴Q（1，﹣），C（1，﹣2），
∴AP＝3，
∴＝×3×2﹣×3×＝；
(3)
①设P（t，0），
如图2，过点D作x轴垂线交于点N，

∵∠BPD＝90，
∴∠OPB+∠NPD＝90，∠OPB+∠OBP＝90，
∴∠NPD＝∠OBP，
∵BP＝PD，
∴（AAS），
∴OP＝ND，BO＝PN，
∴D（t+2，﹣t），
∴﹣t＝（t+2+3）（t+2﹣4），
解得t＝1或t＝﹣10，
∴D（3，﹣1）或D（﹣8，10）；
②如图3，

∵PE平分∠BPD，
∴∠BPE＝∠EPD，
∵∠BPD＝90，
∴∠BPE＝45，
当轴时，∠OBP＝45，
∴P（2，0）；   
如图4，过B点作BG⊥PB交PE于点G，过G点作FG⊥y轴，交于点F，

∵∠PBF+∠FBG＝90，∠FBG+∠FGB＝90，
∴∠PBF＝∠FGB，
∵∠BPG＝45，
∴BP＝BG，
∴（AAS），
∴BF＝OP，FG＝OB，
∵OB＝2，
∴FG＝2，
∵E（2，﹣）
∴E点与G点重合，
∴PO＝BF＝2﹣＝，
∴P（﹣，0）；
综上所述：P点的坐标为（2，0）或（﹣，0）．
8．（1）；（2）或；（3）或或
（1）先根据对称轴得出，再由点的坐标求出，最后将点的坐标代入抛物线解析式求解，即可得出结论；
（2）分两种情况，Ⅰ、当点在轴上方时，先判断出，进而得出点在直线上，再求出点的坐标，最后用待定系数法求出直线的解析式；Ⅱ、当点在轴下方时，判断出，即可得出结论；
（3）先求出点的坐标，进而求出的面积，得出的面积，设，，过作轴的平行线交直线于，得出，进而表示出，最后用面积建立方程求解，即可得出结论．
【详解】
解：（1）抛物线的对称轴为，
，
，
点的坐标为，
，
抛物线的解析式为，
点在抛物线上，
，
，
，
抛物线的解析式为；
（2）Ⅰ、当点在轴上方时，如图1，

记与的交点为点，
，
，
直线垂直平分，
点在直线上，
点，，
直线的解析式为，
当时，，
点，
点点关于对称，
，
直线的解析式为，
即直线的解析式为；
Ⅱ、当点在轴下方时，如图2，

，
，
由Ⅰ知，直线的解析式为，
直线的解析式为，
即直线的解析式为；
综上，直线的解析式为或；
（3）由（2）知，直线的解析式为①，
抛物线的解析式为②，
或，
，
，
，
，
点在轴左侧的抛物线上，
设，，
过作轴的平行线交直线于，

，
，
，
或（舍）或或，
或或．
9．(1)抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3
(2)P(3，12)或(﹣2，﹣3)
(3)N(，)或(3，12)
（1）直接将、两点坐标代入到解析式中，解方程组，可以求得抛物线解析式；
（2）由于、坐标已知，且均在坐标轴上，直接求出面积，从而求得面积为3，由于、两点坐标已知，过作的平行线与抛物线相交，此平行线上任意一点与和两点所构成的三角形面积均等于3，所以我们找到此线与轴交点（此处也可以选择与轴交点），由面积为3，可以求得点坐标，再由直线解析式，可以求得直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，即可解决；
（3）利用，可以求得，从而得到，接联立抛物线与直线，可以求得交点、坐标，则的位置可以分为在上方和下方，利用为直角顶点，为直角边，构造一线三等角相似，从而求得直线的解析式，联立与抛物线解析式，从而求得交点的坐标．
(1)
解：将代入到抛物线解析式中，
得，
将代入到抛物线解析式中，
得，
，
抛物线解析式为：；
(2)
解：令，则，
解得，，
，
，
，
，
如图1，过作交轴于，连接，

则，
，
，
，
设直线为，
代入点得，，
直线为：，
则直线设为：，
代入点得，，
直线为：，
联立，
解得，，
或；
(3)
（3）直线交抛物线于第一象限的点，
联立，
解得，，
，，
在中，，
，
①如图2，当在下方时，过作轴平行线，过作轴平行线，两线交于点
过作交于，过作轴平行线交于，

，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
，，
，，
，
，
设直线为：，
代入点，得，
直线为，
联立，
化简得，，
解得或，
当时，，
，
②当在上方时，
同理可得，，
或．
10．(1)见解析
(2)PQ＝
(3)存在点，，使得∠PCQ与∠BAC互为余角
（1）求出点D（3，-3），求出CQ=2，DQ=5，则AB=DQ，由平行四边形的判定可得出答案；
（2）证明△AOE∽△QCE，得出，求出QC=2，则可得出答案；
（3）分两种不同的情况：①当点P在直线l上方时，②当点P在直线l下方时，求出答案即可．
(1)
证明：当y＝0时，x﹣3＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB＝5．
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）．
∵直线l∥x轴，
∴直线l的解析式为y＝﹣3．
∴x﹣3＝﹣3，
解得x3＝0，x4＝3，
∴D（3，﹣3），
∴CD＝3．
∵点Q（m，y2）在直线l上，
∴y2＝﹣3．
∵y1＝﹣，
∴y1＝，
∵m＜0，点P（m，y1）在该抛物线上，
∴，
解得m＝﹣2或m＝5（舍去）．
∵直线l∥x轴，
∴CQ＝2，
∴DQ＝5，
∴AB＝DQ，AB∥DQ，
∴四边形ABDQ是平行四边形．
(2)
∵P，Q两点的横坐标都是m，
∴直线l∥x轴，
∴PQ＝|y1﹣y2|＝|m|，
设OE＝n，则EC＝3﹣n，
∴n（3﹣n）＝2，
解得n＝1或n＝2．
∵OE＜EC，
∴OE＝1，EC＝2．
∵直线l∥x轴，
∴∠OAE＝∠CQE，∠AOE＝∠QCE，
∴△AOE∽△QCE，
∴，
∴QC＝2，
∵m＞0，
∴m＝2，
∴；
(3)
存在．
假设存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角，即∠PCQ+∠BAC＝90°．

∵∠BAC+∠ACO＝90°，
∴∠PCQ＝∠ACO．
∵OA＝1，OC＝3，
∴tan∠PCQ＝tan∠ACO＝，
连接PQ．
∵直线l∥x轴，直线PQ∥y轴，
∴△PCQ是直角三角形，且∠CQP＝90°．
∴tan∠PCQ＝，
①当点P在直线l上方时，PQ＝y1﹣y2＝m，
（i）若点P在y轴左侧，则m＜0，
∴QC＝﹣m．
∴m＝×（﹣m），
解得m1＝0（舍去），m2＝（舍去）．
（ii）若点P在y轴右侧，则m＞0，
∴QC＝m．
∴m＝m，
解得m3＝0（舍去），m4＝．
∴y1﹣y2＝，
∴y1＝﹣，
∴；
②当点P在直线l下方时，m＞0，
∴QC＝m，PQ＝y2﹣y1＝﹣m，
∴﹣m＝m，
解得m5＝0（舍去），m6＝，
∴y2﹣y1＝，
∴y1＝﹣，
∴．
综上，存在点，，使得∠PCQ与∠BAC互为余角．
11．（1），；（2）；（3）存在，,
（1）利用待定系数法求出a的值即可得到解析式，进而得到顶点D坐标；
（2）先求出BC的解析式，再设直线EF的解析式为,设点E的坐标为，联立方程求出点F，G的坐标，根据列出关于m的方程并求解，然后求得G的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；
（3）过点A作AN⊥HB，先求得直线BD，AN的解析式，得到H，N的坐标，进而得到，设点，过点P作PRx轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR，证明，根据相似三角形对应边成比例得到关于n的方程，求得后即可得到点P的坐标．
【详解】
（1）把点A（-1，0），C（0，3）代入中，
，
解得，
，
当时，y=4，

（2）
令或x=3

设BC的解析式为
将点代入，得
，
解得，


设直线EF的解析式为,设点E的坐标为，
将点E坐标代入中，得，




把x=m代入



即
解得m=2或m=-3
∵点E是BC上方抛物线上的点
∴m=-3舍去
∴点



（3）过点A作AN⊥HB，
∵点

∵点，点




设，把（-1，0）代入，得b=









设点
过点P作PR⊥x轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR
且点S的坐标为
若
在和中，





或




12．（1）b=3，M（3，-3）；（2）详见解析；（3）点E的坐标为（，）.
（1）将配方后可得顶点M的坐标，利用求出点A的坐标后代入即可求出b的值；
（2）先求出平移后的直线CM的解析式为y=-x，过点D作DH⊥直线y=-x，得到直线DH的解析式为y=2x-4，根据求出交点H（1，-2），分别求得DH=，DM=，根据sin∠DMH=得到∠DMH=45°，再利用外角与内角的关系得到结论；
（3）过点G作GP⊥x轴，过点E作EQ⊥x轴，先求出AB=，根据得到∠BAO=∠AFE，设GF=4a，则AE=EF=3a，证明△AEQ∽△ABO，求得AQ=a，AF=a，再证△FGP∽△AEQ，得到FP=a，OP=PG=，由此得到+a+a=6，求出a得到AQ=，将x=代入中，得y=，即可得到点E的坐标.
【详解】
（1）∵=，
∴顶点M的坐标为（3，-3）.
令中y=0，得x1=0，x2=6，
∴A（6,0），
将点A的坐标代入中，得-3+b=0，
∴b=3；
（2）∵由平移得来，
∴m=-，
∵过点M(3，-3),
∴，解得n=，
∴平移后的直线CM的解析式为y=-x.
过点D作DH⊥直线y=-x，
∴设直线DH的解析式为y=2x+k，将点D（2,0）的坐标代入，得4+k=0，
∴k=-4，
∴直线DH的解析式为y=2x-4.
解方程组，得，
∴H（1，-2）.
∵D(2，0)，H(1，-2)，
∴DH=，
∵M(3，-3)，D（2,0）,
∴DM=，
∴sin∠DMH=，
∴∠DMH=45°，
∵∠ACM+∠DMH=∠ADM，
∴；

（3）存在点E，
过点G作GP⊥x轴，过点E作EQ⊥x轴，
∵A(6，0)，B（0,3）,
∴AB=.
∵，∠BEF=∠BAO+∠AFE，
∴∠BAO=∠AFE，
∴AE=EF，
∵，
∴，
设GF=4a，则AE=EF=3a，
∵EQ⊥x轴，
∴EQ∥OB，
∴△AEQ∽△ABO，
∴，
∴，
∴AQ=a，
∴AF=a.
∵∠AFE=∠PFG，
∴△FGP∽△AEQ，
∴,
∴FP=a，
∴OP=PG=，
∴+a+a=6,
解得a=，
∴AQ=,
∴OQ=，
将x=代入中，得y=，
∴当时，存在点E，使得，此时点E的坐标为（，）.

13．（1）；（2）；（3）①；②或．
（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先根据抛物线的解析式可得点的坐标，再利用待定系数法可得直线的解析式，从而可得点的坐标，然后分别求出的长，最后根据全等三角形的性质可得，由此建立方程求解即可得；
（3）①先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据平移的性质可得直线的解析式，从而可得点的坐标，然后根据正切三角函数的定义即可得；
②先求出直线的解析式，再与直线的解析式联立求出它们的交点坐标，从而可得点的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可得．
【详解】
解：（1）将点，代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为；
（2）由题意得：点的坐标为，
对于二次函数，
当时，，即，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
，
，，
，
，即，
解得或（与不符，舍去），
故当时，；
（3）①如图，设线段的中点为点，过点作轴的垂线，交直线于点，

则点的坐标为，点的横坐标为3，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
由平移的性质得：直线的解析式为，
当时，，即，
，
，
故答案为：；
②由题意得：，
则设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得，
即直线与直线的交点坐标为，
设点的坐标为，
则，解得，即，
将点代入得：，
整理得：，
解得或，
则点的坐标为或．
14．（1）；（2）；（3）-3≤b≤1．
（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）先求出A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，BP=4-2t，过点M作MQ⊥x轴，可得MQ=t，从而得到△BPQ的面积的表达式，进而即可求解；
（3）设，结合函数图像的对称轴，开口方向，分两种情况：或，进而即可求解．
【详解】
解：（1）把代入，
得：，解得：b=1，
∴该二次函数的表达式为：；
（2）令y=0代入，
得：，
解得：或，
令x=0代入得：y=-3，
∴A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，
设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，
∴BP=4-2t，
过点M作MQ⊥x轴，
∵OB=OC=3，
∴∠OBC=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴MQ=BQ=t，
∴△BPQ的面积==，
∴当t=1时，△BPQ面积的最大值=；

（3）抛物线的对称轴为：直线x=-b，开口向上，
设，
∵对的任意实数x，都使得成立，
∴或，
∴-1≤b≤1或-3≤b＜-1，
∴-3≤b≤1．
15．（1）；（2）△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，理由见解析；（3）E（，）；（4）运动时间t的最小值为，此时N坐标为（﹣6，）
（1）由点B坐标求出m值，进而求得点C坐标，利用待定系数法求抛物线的表达式即可；
（2）由两点间距离公式求得AC2、AB2、BC2，利用勾股定理的逆定理即可做出判断；
（3）由（2）中数据可知∠BCA=∠ECA，延长BA至F，使AF=AB，连接CF，则点E为直线CF与抛物线的交点，求出直线CF的解析式，与抛物线联立方程组，解之即可求得点E坐标；
（4）过N作MN⊥AC于M，过F作⊥BC交AC于，连接FN，则FN=BN，求得MN=，由点P运动时间t===，当F、N、M三点共线时，t最小，进一步求解即可解答．
【详解】
解：（1）∵直线过点B交y轴于点C，
∴将代入得：﹣4=2×（﹣5）+m，
解得：m=6，则C（0，6），
将A（﹣8，0）、C（0，6）代入，
得：，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，理由为：
由题意，AB2=（﹣8+5）2+（0+4）2=25，
AC2=（﹣8+0）2+（0﹣6）2=100，BC2=（﹣5+0）2+（﹣4﹣6）2=125，
∴AC2+AB2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°；
（3）由（2）知AB=5，AC=10，
∴tan∠BCA= =tan∠ECA，
∴∠BCA=∠ECA，
延长BA至F，使AF=AB，连接CF，则点B、F关于点A对称，∴F（﹣11，4），
∵∠BAC=∠FAC=90°，AF=AB，AC=AC，
∴△FAC≌△BAC，
∴∠BCA=∠FCA，
∴点E为直线CF与抛物线的交点，
设直线CF的解析式为y=kx+b，
则，解得：，
∴直线CF的解析式为，
联立方程组，解得：或（舍去），
故点E坐标为（，）；
（4）过N作MN⊥BC于M，过F作⊥BC交AC于，连接FN，则FN=BN，
∵AB=5，BC=，
∴sin∠BCA=，
∴MN=，又CO=6，
∴点P运动时间t===≥+6，
当F、N、M三点共线时，t最小，
∵AC=10，BC=，
∴sin∠ABC= ，
∴= ，
∴点P运动时间t的最小值为，
由直线BC的表达式y=2x+6得点D坐标为（﹣3，0），
∵FD=，
∴点D与点重合，则点N（即）为直线FD与直线AC的交点，
由点A（﹣8，0）和C（0，6）得直线AC的表达式为，
由点F（﹣11，4）和D（﹣3，0）得直线FD的表达式为，
联立方程组，解得：，
∴此时N坐标为（﹣6，），
【点睛】
本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求解函数解析式、两点间的距离公式、勾股定理的逆定理、锐角的三角函数、垂线段最短、轴对称性质、解二元二次方程组、解一元一次方程组、全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度较难，解答的关键是弄懂题意，找寻相关知识间的关联点，利用待定系数法和数形结合思想进行探究、推理和计算．
16．(1)，．
(2)，．
(3)，或；，或；，或；P ，或；，或；，或．
（1）利用待定系数法，对称轴公式构建方程组求出即可，再求出点A点C的坐标即可得出结论．
（2）如图1中，过点C作于E，过点D作于F.利用全等三角形的性质求出点F的坐标，再利用待定系数法求解即可．
（3）分6种情形首先确定点P的坐标，再利用相似三角形的性质求解即可．
(1)
解：由题意：，
解得，
∴抛物线的解析式为yx2x+1，
令y＝0，可得x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），
令y＝0，得到x＝1，
∴C（0，1），
∴OA＝OC＝1，
∴∠CAO＝45°．
(2)
解：如图1中，过点C作CE⊥OA于E，过点D作DF⊥AB于F．

∵∠NEM＝∠DFM＝∠NMD＝90°，
∴∠NME + ∠DMF＝90°，∠DMF+∠MDF＝90°，
∴∠NME＝∠MDF，
∵NM＝DM，
∴
∴NE＝MF，EM＝DF，
∵∠CAO＝45°，ANt，AM＝3t，
∴AE＝EN＝t，
∴EM＝AM﹣AE＝2t，
∴DF＝2t，MF＝t，OF＝4t﹣1，
∴D（4t﹣1，2t），
∴（4t﹣1）2（4t﹣1）+1＝2t，
∵t＞0，故可以解得t，
经检验，t时，M，N均没有达到终点，符合题意，
∴D（2，）．
(3)
解：如图3﹣1中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠MDB时，

取E（，0），连接EC，过点E作EG⊥EC交PC于G，
∵M（，0），D（2，），B（4，0）
∴，DM，BM，BD，
∴DF＝2MF，
∵OC＝2OE，
∴tan∠OCE＝tan∠MDF，
∴∠OCE＝∠MDF，
∵∠OCP＝∠MDB，
∴∠ECG＝∠FDB，
∴tan∠ECG＝tan∠FDB，
∵EC，
∴EG，可得G（，），
∴直线CP的解析式为yx+1，
由，解得或，
∴，，
∴，
当或时，△QCP与△MDB相似，可得或，
∴或．
如图3﹣2中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠DMB时，设PC交x轴于K．

∵tan∠OCK＝tan∠DMB＝2，
∴OK＝2OC＝2，
∴点K与F重合，
∴直线PC的解析式为，
由，解得或，
∴，
∴，
当或时，△QCP与△MDB相似，可得或，
∴或．
当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠DBM时，同法可得或，
当点Q在点C上方，∠QCP＝∠DMB时，同法可得P（1，），Q（0，）或（0，），
当点Q在点C上方，∠QCP＝∠MDB时，同法可得或，
当点Q在点C下方，点P在y轴的左侧时，∠QCP＝∠DBM时，同法可得或．
17．（1）；（2）；（3）或；（4）．
（1）将代入计算即可；
（2）作于点E，证明，可得CE，DE长度，进而得到点D的坐标；
（3）分为点Ｍ在AD，BC上两种情况讨论，当点M在AD上时，分为和两种情况讨论；当点M在BC上时，分为和两种情况讨论；
（4）作点D关于x轴的对称F，连接QF，可得的最小值；连接BQ减去可得的最小值，综上可得的最小值．
【详解】
（1）将代入得
，解得
∴抛物线的解析式为：
（2）作于点E
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴

（3）若点M在DA上运动时，
当，则，即不成立，舍去
当，则，即，解得：
若点M在BC上运动时，
当，则，即
∴
当时，
∴，解得（舍去）
当时，
∴，无解；
当，则，即
∴
当时，
∴，解得（舍去）
当时，
∴，解得
综上所示：当时，；时
（4）作点D关于x轴的对称点F，连接QF交x轴于点N
∵点D，
∴点
由得对称轴为
∴点
∴

当Q,N,F共线时，最小，
∴
故的最小值为．

18．（1）；（2）四边形BECD面积的最大值为，E（，）；（3）存在．N的坐标为（，）或（，）或（，）．
（1）由直线解析式求得B、C两点坐标，结合A点坐标利用待定系数法进行求解即可；
（2）易求AD的解析式为，进而D（，）．求得CD的解析式为，进而求出CD与x轴的交点坐标，易求△BCD的面积为，设E（x，），表示出SBECD的面积，进而利用二次函数的性质即可求得答案；
（3）存在．先求出抛物线的顶点坐标，根据平移规律求平移后抛物线解析式，设M（，m），N（xn，yn），易根据平行四边形对角线互相平分及中点公式．分类讨论即可得答案．
【详解】
（1），当x=0时，y=2，
当y=0时，，解得：x=，
所以B（，0），C（0，2），
将A（，0），B（，0）代入y=ax2+bx+2，
得 ，
解得：，
所以抛物线的解析式为；
（2）∵AD//BC，
∴设直线AD解析式为：．
将A（，0）代入得：，
解得：m=-，
所以AD的解析式为，
联立 ，
解得：，，
∵A（，0），
∴D（，）．
设CD解析式为y=kx+2，
将点D坐标代入得：，
解得：k=，
所以CD的解析式为：，
当y=0时，即，
解得：x=，
则CD与x轴的交点为（，0）．
所以S△BCD==，
设E（x，），
则SBECD=
=，
当x=时，四边形BECD面积最大，其最大值为，此时E（，）．
（3）存在．N的坐标为（，），或（，），或（，）．
过程如下：，
所以抛物线的顶点是（，），
将抛物线向左平移个单位，
则平移后抛物线解析式为．
设M（，m），N（xn，yn），
①当AM为对角线时，则，
解得：xn=，代入解析式得yn=．
所以N（，），如图
对角线交点坐标为（0，），M坐标为（，）

②当AE为对角线时，则，
解得：xn=，代入解析式得yn=．
所以N（，），如图

对角线交点坐标为（，），M坐标为（，0）
③当AN为对角线时，则，
解得：xn=，代入解析式得yn=．
所以N（，）．如图

对角线交点坐标为（，），M坐标为（，-8）．