课题

《事件的相互独立性》

教学目标

1.  知识目标

能利用事件A和事件B独立的直观意义或定义判断事件的独立性,生成利用独立性定义及其性质计算积事件的概率或-一些复杂事件的概率的方法.

2.   能力目标

通过对事件相互独立性的探究，培养学生数学应用意识与探究精神

3.   情感目标

通过对事件相互独立性的探究，能在理解人类发现与创造的基础上，实施自己的再发现与再创造，从而对数学产生兴趣

教学重点

独立事件同时发生的概率

教学难点

有关独立事件发生概率的计算

教学准备

教师准备：学情分析、多媒体课件

学生准备：掌握随机事件与概率、预习事件独立性

教学过程

一、复习导入

通过复习：

随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.
必然事件:在一定条件下必然要发生的事件.
不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件.

包含:A发生导致B发生，A⊆B
并事件(和事件)：A与B至少一个发生，A∪B或A +B
交事件(积事件)：A与B同时发生，A∩B或AB
互斥(互不相容)：A与B不能同时发生，A∩B=∅
互为对立：A与B有且仅有一个发生，A∩B=∅，A∪B= Ω

为学习事件的相互独立性做准备

二、探究学习
情境与问题1

下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B.
试验1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B= “第二枚硬币反面朝上”
试验2:一个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A= “第一次摸到球的标号小于 3"，B=“第二次摸到球的标号小于3”.
探究1你认为两个随机试验中事件A和B是什么关系，是互斥事件吗?若不是，你认为这两个事件的关系用什么“词语”表达比较好呢?你能给你认为的事件A和B的关系下一个定义吗?

答:不是互斥事件，因为事件A和B互斥是指事件A和B在一次试验中不能同时发生，而这里的这两个事件可以同时发生:

用“独立”词语表达两事件A和B关系比较合适:

显然，对于试验1因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.

对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.

相互独立事件的定义1:事件A (或B)发生与否不影响事件B (或A)发生的概率，则称事件A和B是相互独立事件.

判断题:下列事件哪些是相互独 立的?
①篮球比赛的“罚球两次”中，
事件A:第一次罚球，球进了，事件B:第二次罚球，球进了。
②篮球比赛的“一加一罚球”中，
事件A:第一次罚球，球进了，事件B:第二次罚球，球进了。
③袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球，
事件A:从中任取-一个球是白球，事件B: 第二次从中任取一个球是白球，
④袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.
事件A:从中任取一个球是白球，事件B:第二次从中任取一个球是白球.
⑤在④题中，事件A与B，A与B，A与B是否相互独立?
答:①④两题中事件A与事件B相互独立;②③两题中事件A与事件B不相互独
立;⑤题中事件A与B, A与B，A与B也相互独立.
由此可得到结论:若事件A和B是相互独立事件，则事件A与B,A与B,A与B也相互独立.
我们将其称为事件A和B相互独立的性质.

探究2我们前面的研究知道两个互斥事件和的概率等于这两个事件的概率之和.即P(A+B)= P(A)+P(B)，那么，你能否猜测相互独立事件A与B同时发生的概率公式呢?
答:猜测相互独立事件A与B同时发生的概率公式为:
P(AB)= P(A)P(B).

在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω= {(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}，包含4个等可能的样本点.
A= {(1,1),(1,0)}, B= {(1.0)，(0,0)}, AB= {(1,0)}.用古典概型概率计算公式，得
P(A)= P(B)=1/2, P(AB)= 1/4
于是
P(AB)= P(A)P(B).
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
在试验2中，样本空间Ω= {(m,n)|m，n∈{1,2,3,4}, 而
A= {(1.1),(1,2),(1,3),(1.4),(2,1),(2.2),(2.3),(2,4)},
B= {(1.1),(1.2).(2,1).(2.2),(3.1),(3.2).(4.1).(4.2)}，

AB= {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}，
所以P(A)= P(B)=1/2，P(AB)=1/4
于是也有
P(AB)= P(4)P(B).
积事件AB的概率P(AB)也等于P(4)与P(B)的乘积.

这两个随机试验都满足:事件A和B同时发生的概率是它们各自发生概率的乘积.对上述两个试验的共同属性进一步抽象概括，我们对具有这种概率关系的两个事件称为“相互独立”.

相互独立事件的定义2:对任意两个事件A和B，如果P(AB)=P(4)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
小结:以上我们给出了相互独立事件的两个定义，定义1是两个事件相互独立的直观意义，是定性地对两个事件独立性做出判断，这就是所谓的凭直觉判断.

定义2是两个事件相互独立的数学定义，是定量地对两个事件独立性做出判断，这就是所谓的推理判断.在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义2判断，而是根据实际意义来加以判断的.根据实际背景判断事件的独立性，往往并不困难.

三、课堂小结

判断给定的两个事件是否独立的方法有两种:
第一种是根据给定的特定背景的随机试验直观判断，根据实际背景判断事件的独立性，往往并不困难.
例如，抛掷两枚骰子，A=“第一枚骰子出现偶数点”，B=“第二枚骰子出现奇数点”，那么A和B相互独立.

第二种就是根据相互独立事件的数学定义，是定量地对两个事件独立性做出推理判断.即对任意两个事件A和B,如果P(AB)= P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立.

课后作业

课后习题1.2

板书设计

事件的相互独立性

复习导入

探究1

探究2

试验1

试验2

小结

课堂小结