专题1 第5课时　圆周运动　万有引力与航天教案

这是一份专题1 第5课时　圆周运动　万有引力与航天教案，共20页。
高考题型1 圆周运动
1．常见的圆周运动
2．圆周运动的三种临界情况
(1)接触面滑动临界：摩擦力达到最大值．
(2)接触面分离临界：FN＝0.
(3)绳恰好绷紧：FT＝0；绳恰好断裂：FT达到绳子最大承受拉力．
例1 图1甲所示为球形铁笼中进行的摩托车表演，已知同一辆摩托车在最高点A时的速度大小为8 m/s，在最低点B时的速度大小为16 m/s，铁笼的直径为8 m，取重力加速度g＝10 m/s2，摩托车运动时可看作质点．则摩托车在A、B点对铁笼的压力之比为( )
图1
A．1∶21 B．1∶4 C．13∶27 D．3∶37
答案 D
解析 摩托车在铁笼中做圆周运动，则在A点有FNA＋mg＝meq \f(v\\al(,A2),r)，解得FNA＝6m，在最低点B有FNB－mg＝meq \f(v\\al(,B2),r)，解得FNB＝74m，则FNA∶FNB＝3∶37.由牛顿第三定律可知，摩托车在A、B点对铁笼的压力之比为3∶37，D正确．
例2 (多选)(2021·华中师范大学附属中学高三期末)如图2甲所示，两个质量分别为m、2m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为2l，b与转轴的距离为l.如图乙所示(俯视图)，两个质量均为m的小木块c和d(可视为质点)放在水平圆盘上，c与转轴、d与转轴的距离均为l，c与d之间用长度也为l的水平轻质细线相连．木块与圆盘之间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴做角速度缓慢增大的转动，下列说法正确的是( )
图2
A．图甲中，a、b同时开始滑动
B．图甲中，a、b所受的静摩擦力始终相等
C．图乙中，c、d与圆盘相对静止时，细线的最大拉力为kmg
D．图乙中，c、d与圆盘相对静止时，圆盘的最大角速度为eq \r(\f(2kg,\r(3)l))
答案 BD
解析 在题图甲中kmg＝mω2r，ω＝eq \r(\f(kg,r))，r越大，开始滑动时的角速度越小，则a先滑动，选项A错误；对木块a有Ffa＝mω2(2l)，对b有Ffb＝2mω2l，即a、b所受的静摩擦力始终相等，选项B正确；在题图乙中，当ω>eq \r(\f(kg,l))时，细线的拉力和最大静摩擦力提供木块做匀速圆周运动的向心力，当最大静摩擦力的方向与细线垂直时，如图所示，木块受到的合力F最大，圆盘转动的角速度最大，eq \f(kmg,cs 30°)＝mωm2l，解得ωm＝eq \r(\f(2kg,\r(3)l))，此时FTm＝kmgtan 30°＝eq \f(\r(3),3)kmg，选项C错误，选项D正确．
例3 (2018·全国卷Ⅲ·25)如图3，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sin α＝eq \f(3,5).一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用．已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零．重力加速度大小为g.求：
图3
(1)水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；
(2)小球到达A点时动量的大小；
(3)小球从C点落至水平轨道所用的时间．
答案 (1)eq \f(3,4)mg eq \f(\r(5gR),2) (2)eq \f(m\r(23gR),2) (3)eq \f(3,5)eq \r(\f(5R,g))
解析 (1)设水平恒力的大小为F0，小球到达C点时所受合力的大小为F.由力的合成法则有
eq \f(F0,mg)＝tan α①
F2＝(mg)2＋F02②
设小球到达C点时的速度大小为v，由牛顿第二定律得
F＝meq \f(v2,R)③
由①②③式和题给数据得
F0＝eq \f(3,4)mg④
v＝eq \f(\r(5gR),2)⑤
(2)设小球到达A点的速度大小为v1，作CD⊥PA，交PA于D点，由几何关系得
DA＝Rsin α⑥
CD＝R(1＋cs α)⑦
小球从A点到达C点过程，由动能定理有
－mg·CD－F0·DA＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv12⑧
由④⑤⑥⑦⑧式和题给数据得，小球在A点的动量大小为p＝mv1＝eq \f(m\r(23gR),2)⑨
(3)小球离开C点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为g.设小球在竖直方向的初速度为v竖直，从C点落至水平轨道上所用时间为t.由运动学公式有
v竖直t＋eq \f(1,2)gt2＝CDeq \(○,\s\up1(10))
v竖直＝vsin α⑪
由⑤⑦⑩⑪式和题给数据得
t＝eq \f(3,5)eq \r(\f(5R,g))
高考题型2 万有引力定律 天体运动
1．卫星的发射及运行

2.天体质量和密度的计算
3．双星问题
考向一 开普勒行星运动定律的应用
例4 (2021·江苏镇江市高三期末)如图4所示为火星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是火星依次经过的三位置，F1、F2为椭圆的两个焦点．火星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，火星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2.已知由M到N过程中，太阳的引力对火星做正功．下列判断正确的是( )
图4
A．太阳位于焦点F1处
B．S1>S2
C．在M和N处，火星的动能EkM>EkN
D．在N和P处，火星的加速度aN>aP
答案 B
解析 已知由M到N过程中，太阳的引力对火星做正功，所以太阳位于焦点F2处，故A错误；
根据开普勒行星运动定律得火星由M到P的过程中速度增大，火星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，所以火星由M到N运动时间大于由N到P的运动时间，则S1>S2，故B正确；
已知由M到N过程中，太阳的引力对火星做正功，根据动能定理得火星的动能EkMa金
C．v地>v火>v金 D．v火>v地>v金
答案 A
解析 金星、地球和火星绕太阳公转时，根据万有引力提供向心力，则有Geq \f(Mm,R2)＝ma，解得a＝Geq \f(M,R2)，结合题中R金a火，选项A正确，B错误；同理，有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，解得v＝eq \r(\f(GM,R))，再结合题中R金v火，选项C、D错误．
例7 (2021·河北卷·4)“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日，假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日，已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为( )
A.eq \r(3,4) B.eq \r(3,\f(1,4))
C.eq \r(3,\f(5,2)) D.eq \r(3,\f(2,5))
答案 D
解析 根据万有引力提供向心力，可得eq \f(GMm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R
则T＝eq \r(\f(4π2R3,GM))，R＝eq \r(3,\f(GMT2,4π2)).
由于一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径
R飞＝eq \r(3,\f(GM火2T2,4π2))＝eq \r(3,\f(G×0.1M地×4×\f(4π2R\\al(,同3),GM地),4π2))
＝eq \r(3,\f(2,5))R同，则eq \f(R飞,R同)＝eq \r(3,\f(2,5))，故选D.
考向四 变轨问题
例8 (2021·广东省1月适应性测试·2)2020年12月17日，嫦娥五号成功返回地球，创造了我国到月球取土的伟大历史．如图6所示，嫦娥五号取土后，在P处由圆形轨道Ⅰ变轨到椭圆轨道Ⅱ，以便返回地球．下列说法正确的是( )
图6
A．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均超重
B．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时机械能相等
C．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时速率相等
D．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时加速度大小相等
答案 D
解析 嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均处于失重状态，故A错误；嫦娥五号在轨道Ⅰ上经过P点时经加速后进入轨道Ⅱ运行，故嫦娥五号在轨道Ⅰ上P处的速率小于在轨道Ⅱ运行至P处时速率；加速后势能不变，动能增大，则机械能增大，故B、C错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝ma得a＝eq \f(GM,r2)，可知嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时加速度大小相等，故D正确．
考向五 双星问题
例9 (多选)(2021·湖北高三检测)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．在中子星合并前，只受到彼此之间的万有引力作用而互相绕转，在浩瀚的银河系中，这样的双星系统很多．设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图7所示，若AO>OB，则( )
图7
A．星球A的线速度一定大于B的线速度
B．星球A的质量一定大于B的质量
C．双星的总质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越小
D．双星之间的距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越小
答案 AD
解析 双星系统角速度相等，根据v＝ωr，且AO>OB，可知，A的线速度大于B的线速度，故A正确；双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以有eq \f(GmAmB,L2)＝mAω2rA＝mBω2rB，因为rBmA，即B的质量一定大于A的质量，故B错误；根据万有引力提供向心力，得eq \f(GmAmB,L2)＝mA(eq \f(2π,T))2rA＝mB(eq \f(2π,T))2rB，解得周期为T＝2πeq \r(\f(L3,GmA＋mB))，可知双星的总质量一定，双星之间的距离越大，转动周期越大；双星间的距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越小，故C错误，D正确.
1.(多选)(2021·天津市河西区高三期末)如图8所示，置于竖直面内的光滑金属圆环半径为r，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为r的细绳一端系于圆环最高点，重力加速度为g，当圆环以角速度ω(ω≠0)绕竖直直径转动时，( )
图8
A．细绳对小球的拉力可能为零
B．细绳和金属圆环对小球的作用力大小可能相等
C．细绳对小球的拉力与小球的重力大小不可能相等
D．当ω＝eq \r(\f(2g,r))时，金属圆环对小球的作用力为零
答案 CD
解析 如果细绳对小球的拉力为零，则小球受到的重力与支持力的合力不可能提供向心力，故A错误；细绳和金属圆环对小球的作用力大小如果相等，二者在水平方向的合力为零，则向心力为零，故B错误；此时细绳与竖直方向的夹角为60°，当圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动，则有FTcs 60°＋FNcs 60°＝mg，FTsin 60°－FNsin 60°＝mω2rsin 60°，解得FT＝mg＋eq \f(1,2)mω2r，FN＝mg－eq \f(1,2)mω2r，因为ω≠0，所以细绳对小球的拉力与小球的重力大小不可能相等，当ω＝eq \r(\f(2g,r))时，金属圆环对小球的作用力FN＝0，故C、D正确．
2.(多选)(2021·湖北省部分重点中学高三期末联考)2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．至此，北斗三号全球卫星导航系统星座部署已全面完成．如图9是北斗卫星导航系统中的三个轨道示意图．轨道A为地球赤道同步卫星轨道，轨道B为倾斜同步卫星轨道．轨道C为一颗中地球轨道卫星，D为赤道上某个建筑物(图中未画出)．下列说法正确的是( )
图9
A．若轨道A上的卫星某时刻与轨道B上的卫星正好同时到达D的正上方，则以后每隔相同时间这两个卫星都会相遇在该建筑物D正上方
B．轨道B、C上的卫星及建筑物D的速度大小关系为：vBω，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时( )
图3
A．小球的高度一定降低
B．弹簧弹力的大小一定不变
C．小球对杆压力的大小一定变大
D．小球所受合外力的大小一定变大
答案 BD
解析 对小球受力分析，设弹簧弹力为FT，弹簧与水平方向的夹角为θ，则对小球竖直方向有FTsin θ＝mg
而FT＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(MP,cs θ)－l0))
可知θ为定值，FT不变，则当转速增大后，小球的高度不变，弹簧的弹力不变，A错误，B正确；水平方向当转速较小，杆对小球的弹力FN背离转轴时，
则FTcs θ－FN＝mω2r，即FN＝FTcs θ－mω2r
当转速较大，FN指向转轴时，则FTcs θ＋FN′＝mω′2r
即FN′＝mω′2r－FTcs θ
因ω′>ω，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的压力不一定变大，C错误；根据F合＝mω2r可知，因角速度变大，则小球受合外力变大，则D正确．
4．(2021·河北唐山市一模)假设在月球表面将物体以某速度竖直上抛，经过时间t物体落回月球表面，上升的最大高度为h.已知月球半径为R、引力常量为G，不计一切阻力．则月球的密度为( )
A.eq \f(3πh,4Rt2) B.eq \f(6πh,GRt2) C.eq \f(6h,GπRt2) D.eq \f(8πh,3GRt2)
答案 C
解析 由自由落体公式得h＝eq \f(1,2)g月(eq \f(t,2))2，设月球质量为M，月球表面质量为m的物体所受重力mg月＝Geq \f(Mm,R2)，设月球体积为V，则V＝eq \f(4,3)πR3，则月球的密度为ρ＝eq \f(M,V)，联立以上各式得 ρ＝eq \f(6h,GπRt2)，故选C.
5.(2021·北京市顺义区高三期末)中国北斗卫星导航系统(简称BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，可为全球用户提供定位、导航和授时服务，该导航系统由多颗不同轨道的卫星组成．如图4所示，a、b、c为该系统中三颗轨道为圆的卫星，a是地球同步卫星，b是轨道半径与a相同的卫星，c的轨道半径介于近地卫星和同步卫星之间．下列说法正确的是( )
图4
A．卫星b也可以长期“悬停”于北京正上空
B．卫星c的运行速度一定大于第一宇宙速度
C．卫星b的运行周期与地球的自转周期相同
D．卫星a的向心加速度大于卫星c的向心加速度
答案 C
解析 卫星b不是同步卫星，不能“悬停”在北京正上空，故A错误；第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，根据万有引力提供向心力，有eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得v＝eq \r(\f(GM,r))，卫星c的轨道半径大于近地卫星轨道半径，则卫星c的运行速度小于第一宇宙速度，故B错误；根据万有引力提供向心力，有eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，解得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，卫星a、b的轨道半径相等，则周期相等，卫星a是同步卫星，运行周期与地球自转周期相同，则卫星b的运行周期与地球自转周期相同，故C正确；根据万有引力提供向心力，有eq \f(GMm,r2)＝ma，解得a＝eq \f(GM,r2)，卫星a的轨道半径大于卫星c的轨道半径，故卫星a的向心加速度小于卫星c的向心加速度，故D错误．
6．(2021·河南郑州市高三上第一次质量检测)如图5为嫦娥五号登月轨迹示意图．图中M点为环地球运行的近地点，N点为环月球运行的近月点．a为环月球运行的圆轨道，b为环月球运行的椭圆轨道，下列说法中正确的是( )
图5
A．嫦娥五号在M点进入地月转移轨道时应点火加速
B．设嫦娥五号在圆轨道a上经过N点时的速度为v1，在椭圆轨道b上经过N点时的速度为v2，则v1>v2
C．设嫦娥五号在圆轨道a上经过N点时的加速度为a1，在椭圆轨道b上经过N点时的加速度为a2，则a1>a2
D．嫦娥五号在圆轨道a上的机械能等于在椭圆轨道b上的机械能
答案 A
解析 嫦娥五号在M点点火加速，使万有引力小于所需向心力做离心运动，才能进入地月转移轨道，故A正确；嫦娥五号在圆轨道a上加速做离心运动才能进入椭圆轨道b，即a上的机械能小于b上的机械能，嫦娥五号经过a、b轨道上的N点时，引力势能相同，则在椭圆轨道b上经过N点时的动能大于圆轨道a上经过N点时动能，则有v2>v1，故B、D错误；根据牛顿第二定律得Geq \f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq \f(GM,r2)，由此可知a1＝a2，故C错误．
7．(多选)(2021·湖南省1月适应性考试·7)在“嫦娥五号”任务中，有一个重要环节，轨道器和返回器的组合体(简称“甲”)与上升器(简称“乙”)要在环月轨道上实现对接．以便将月壤样品从上升器转移到返回器中，再由返回器带回地球．对接之前，甲、乙分别在各自的轨道上做匀速圆周运动，且甲的轨道半径比乙小．如图6所示，为了实现对接，处在低轨的甲要抬高轨道．下列说法正确的是( )
图6
A．在甲抬高轨道之前，甲的线速度小于乙
B．甲可以通过增大速度来抬高轨道
C．在甲抬高轨道的过程中，月球对甲的万有引力逐渐增大
D．返回地球后，月壤样品的重量比在月球表面时大
答案 BD
解析 对在圆轨道上运转的卫星，由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)得：v＝eq \r(\f(GM,r))∝eq \r(\f(1,r))，故v甲>v乙，A错误；甲需增大速度才能做离心运动，与高轨道上的乙对接，B正确；在甲抬高轨道的过程中，由F＝Geq \f(Mm,r2)知，r增大，F减小，C错误；地球表面的重力加速度约为月球表面重力加速度的6倍，故相同的物体在地球上重量大，D正确．
[争分提能练]
8.(2021·河北张家口市一模)如图7所示，一长度为R的轻绳一端系一质量为m的小球，另一端固定在倾角θ＝30°的光滑斜面上O点，小球在斜面上绕O点做半径为R的圆周运动，A、B分别是圆周运动轨迹的最低点和最高点，若小球通过B点时轻绳拉力大小等于mg，重力加速度为g，则小球通过A点时，轻绳拉力大小为( )
图7
A．2mg B．4mg
C．6mg D．7mg
答案 B
解析 在B点，根据牛顿第二定律得mg＋mgsin 30°＝meq \f(v2,R)，从B点到A点，根据动能定理得mg2R·sin 30°＝eq \f(1,2)mv′2－eq \f(1,2)mv2，在A点，根据牛顿第二定律得FT－mgsin 30°＝meq \f(v′2,R)，解得FT＝4mg，故选B.
9.(多选)(2021·湖南岳阳市高三检测)如图8所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆C和D上，质量为ma的a球置于地面上，质量为mb的b球从与C、D等高的位置(轻绳伸直)静止释放．当b球摆过的角度为90°时，a球对地面的压力刚好为零，下列结论正确的是( )
图8
A．ma∶mb＝2∶1
B．ma∶mb＝3∶1
C．若只将b的质量变大，则当b球摆过的角度为小于90°的某值时，a球对地面的压力刚好为零
D．若只将细杆D水平向左移动少许，则当b球摆过的角度为小于90°的某值时，a球对地面的压力刚好为零
答案 BC
解析 由于b球摆动90°过程中机械能守恒，则有mbgl＝eq \f(1,2)mbv2，此时a球对地面压力刚好为零，说明此时绳子张力为mag，根据牛顿第二定律和向心力公式得mag－mbg＝mbeq \f(v2,l)，解得ma∶mb＝3∶1，故A错误，B正确；当b球摆过的角度为θ(小于90°)时，则mbglsin θ＝eq \f(1,2)mbv′2，若此时a球对地面的压力刚好为零，则mag－mbgsin θ＝mbeq \f(v′2,l)，解得mag＝3mbgsin θ，对比mag＝3mbg可知，若只将b的质量变大，当b球摆过的角度为小于90°的某值时，a球对地面的压力刚好为零，则C正确；D水平左移少许后，D与b球的距离设为l′，当b球摆过的角度为90°时，有mbgl′＝eq \f(1,2)mv″2，FT－mbg＝mbeq \f(v″2,l′)，得FT＝3mbg，此时a球对地面的压力刚好为零，故D错误．
10.(2021·黑龙江鹤岗一中三校高三期末联考)如图9所示，天文观测中观测到有三颗星体位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动．已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是( )
图9
A．三颗星体的质量可能不相等
B．某颗星体的质量为eq \f(4πl2,3GT2)
C．它们的线速度大小均为eq \f(2\r(3)πl,T)
D．它们两两之间的万有引力大小为eq \f(16π4l4,9GT4)
答案 D
解析 轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r＝eq \f(\f(l,2),cs 30°)＝eq \f(\r(3),3)l.根据题意可知其中任意两颗星体对第三颗星体的合力指向圆心，所以这两颗星体对第三颗星体的万有引力等大，由于这两颗星体到第三颗星体的距离相同，故这两颗星体的质量相同，所以三颗星体的质量一定相同，设为m，则2Geq \f(m2,l2)cs 30°＝m·eq \f(4π2,T2)·eq \f(\r(3),3)l，解得m＝eq \f(4π2l3,3GT2)，它们两两之间的万有引力F＝Geq \f(m2,l2)＝Geq \f(\f(4π2l3,3GT2)2,l2)＝eq \f(16π4l4,9GT4)，A、B错误，D正确；线速度大小为v＝eq \f(2πr,T)＝eq \f(2π,T)·eq \f(\r(3),3)l＝eq \f(2\r(3)πl,3T)，C错误．
11.(2021·重庆市高三第一次联合诊断检测)某人参加户外活动，水平轻绳一端固定，人手握轻绳另一端从静止开始无初速度运动，到最低点时松开轻绳，最后落到水平地面上．如图10所示，将这一过程简化为：长度为L的不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端拴接一质量为m的小球(可视为质点)，O点距离水平地面高度为H(L＜H)，将轻绳水平拉直，使小球从静止开始无初速度释放，小球到达最低点时与轻绳脱离，最后落到水平地面上，已知重力加速度为g，不计空气阻力．
图10
(1)求小球落地前瞬时速度大小；
(2)如果L大小可以改变(L仍小于H)，其他条件不变，求小球落地点与O点的最大水平距离．
答案 (1)eq \r(2gH) (2)H
解析 (1)设小球落地前瞬时速度大小为v，由机械能守恒定律得
eq \f(1,2)mv2＝mgH，解得 v＝eq \r(2gH)
(2)设小球摆至最低点时，速度大小为v0
eq \f(1,2)mv02＝mgL，解得v0＝eq \r(2gL)
小球在最低点脱离轻绳后做平抛运动，历时t落地，设小球落地点与O点的水平距离为x，有
x＝v0t，H－L＝eq \f(1,2)gt2
解得x＝2eq \r(LH－L)
当L＝H－L，即L＝eq \f(H,2)时，小球落地点与O点的水平距离最大，为xmax＝H.
12．(2021·华大新高考联盟1月联考)如图11甲所示，光滑半圆环轨道固定在竖直平面上，最低点与光滑水平面平滑连接，一长度与半圆轨道直径相等的轻弹簧左端固定在高h＝0.4 m的固定竖直挡板P上，弹簧的右端在半圆轨道的最低点处．将一小球(可视为质点)置于弹簧的右端(与弹簧接触但不连接)并向左压缩弹簧，然后静止释放，小球被弹簧弹开后进入半圆轨道运动．多次重复，每次弹簧的压缩量不同．通过固定在半圆轨道最高点处的压力传感器与速度传感器(甲图中未画出)测出小球对轨道的压力大小F与此处小球速度的平方v2的关系如图乙所示．已知当某次弹簧的压缩量x＝0.1 m静止释放小球后．小球恰能经过挡板P的上端．重力加速度g＝10 m/s2.不计空气阻力．求：
图11
(1)小球的质量m与半圆轨道的半径r；
(2)弹簧的劲度系数k.
答案 (1)0.1 kg 0.3 m (2)210 N/m
解析 (1)小球在半圆轨道的最高点处，由牛顿第二定律有FN＋mg＝meq \f(v2,r)，即FN＝－mg＋meq \f(v2,r)
由题图乙知－mg＝－1 N，可得m＝0.1 kg
当FN＝0时v2＝3 m2·s－2，可得r＝0.3 m
(2)当弹簧压缩量为x＝0.1 m静止释放小球后，弹簧对小球做功W＝eq \f(kx,2)x＝eq \f(1,2)kx2
以半圆轨道最低点所在的水平面为零势能面，由功能关系知，小球在半圆轨道最高点处的机械能为mg·2r＋eq \f(1,2)mv12＝W
小球离开半圆轨道最高点做平抛运动，设历时t经过挡板P的最高点，由平抛运动规律有2r－h＝eq \f(1,2)gt2
2r＝v1t
代入数据联立解得k＝210 N/m.
水平面
内的圆周
运动
水平转盘上的物体
Ff＝mω2r
圆锥摆模型
mgtan θ＝mrω2
竖直面
内的圆
周运动
轻绳模型
最高点的临界条件：mg＝meq \f(v2,r)
最高点和最低点间的过程要用能量观点(动能定理)
轻杆模型
最高点的临界条件vmin＝0
倾斜面内的圆周运动
倾斜转盘上的物体
电场、重力场叠加中的圆周运动
带电小球在叠加场中的圆周运动
等效法
关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点，最左边和最右边位置
磁场中的圆周运动
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动
qvB＝meq \f(v2,r)
在地面附近静止
忽略自转：Geq \f(Mm,R2)＝mg，故GM＝gR2(黄金代换式)
考虑自转
两极：Geq \f(Mm,R2)＝mg
赤道：Geq \f(Mm,R2)＝mg0＋mω2R
卫星的
发射
第一宇宙速度：v＝eq \r(\f(GM,R))＝eq \r(gR)＝7.9 km/s
(天体)卫星在圆轨道上运行
Geq \f(Mm,r2)＝Fn＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(man→an＝\f(GM,r2)→an∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))
越高越慢，只有T与r变化一致
变轨
(1)由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速度较小、动能较小、机械能较大；由高轨变低轨，反之．
(2)卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度．
(3)根据开普勒第三定律，半径(或半长轴)越大，周期越长.
模型概述
两星在相互间引力作用下都绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动
特点
角速度(周期)
相等
向心力
各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供eq \f(Gm1m2,l2)＝m1ω2r1，eq \f(Gm1m2,l2)＝m2ω2r2
轨迹半径关系
(1)r1＋r2＝l
(2)m1r1＝m2r2
总质量
m1＋m2＝eq \f(4π2l3,GT2)