专题5 第18课时　机械振动和机械波教案

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第18课时 机械振动和机械波
命题规律 1.命题角度：(1)机械振动；(2)机械波；(3)振动图像与波的图像的综合应用.
2.常考题型：选择题．
高考题型1 机械振动
1．简谐运动的规律
2.简谐运动的应用——单摆
单摆周期表达式：T＝2πeq \r(\f(l,g)).
考向一 描述简谐运动的物理量
例1 (多选)(2019·江苏卷·13B(1))一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的( )
A．位移增大 B．速度增大
C．回复力增大 D．机械能增大
答案 AC
解析 摆球做简谐运动，在平衡位置处位移为零，在摆角增大的过程中，摆球的位移增大，速度减小，选项A正确，B错误；在摆角增大的过程中，摆球受到的回复力增大，选项C正确；单摆做简谐运动，机械能守恒，所以在摆角增大的过程中，摆球机械能保持不变，选项D错误．
考向二 简谐运动图像
例2 (多选)如图1甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是( )
图1
A．在t＝0.2 s时，弹簧振子的加速度为正向最大
B．从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动
C．在t＝0.6 s时，弹簧振子有最小的弹性势能
D．在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，振子的速度都为零
答案 BD
解析 在t＝0.2 s时，弹簧振子的位移为正向最大值，而弹簧振子的加速度大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，A错误；从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子从平衡位置向正向最大位移处运动，位移逐渐增大，加速度逐渐增大，加速度方向与速度方向相反，弹簧振子做加速度增大的减速运动，B正确；在t＝0.6 s时，弹簧振子的位移为负向最大值，即弹簧的形变量最大，弹簧振子的弹性势能最大，C错误；在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，振子在最大位移处，速度为零，D正确．
考向三 振动方程
例3 (多选)如图2所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5sin (10πt＋eq \f(π,2)) cm.下列说法正确的是( )
图2
A．MN间距离为5 cm
B．振子的运动周期是0.2 s
C．t＝0时，振子位于N点
D．t＝0.05 s时，振子具有最大加速度
答案 BC
解析 MN间距离为2A＝10 cm，选项A错误；因ω＝10π rad/s，可知振子的运动周期是T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,10π) s＝0.2 s，选项B正确；由x＝5sin (10πt＋eq \f(π,2)) cm可知，t＝0时，x＝5 cm，即振子位于N点，选项C正确；由x＝5sin(10πt＋eq \f(π,2)) cm可知，t＝0.05 s时，x＝0，此时振子在O点，振子加速度为零，选项D错误．
高考题型2 机械波
考向一 波的图像
例4 (2020·天津卷·4)一列简谐横波沿x轴正方向传播，周期为T，t＝0时的波形如图3所示．t＝eq \f(T,4)时( )
图3
A．质点a速度方向沿y轴负方向
B．质点b沿x轴正方向迁移了1 m
C．质点c的加速度为零
D．质点d的位移为－5 cm
答案 C
解析 t＝eq \f(T,4)时，此列简谐横波的波形如图所示．
质点a正在经过平衡位置，速度方向沿y轴正方向，故A错误；波传播过程中，质点只能在平衡位置附近振动，不会随波迁移，故B错误；质点c处在平衡位置，加速度a＝0，故C正确；质点d的位移为5 cm，故D错误．
考向二 波的叠加
例5 (多选)(2020·浙江7月选考·15)如图4所示，x轴上－2 m、12 m处有两个振动周期均为4 s、振幅均为1 cm的相同的波源S1、S2，t＝0时刻同时开始竖直向下振动，产生波长均为4 m沿x轴传播的简谐横波．P、M、Q分别是x轴上2 m、5 m和8.5 m的三个点，下列说法正确的是( )
图4
A．6.0 s时P、M、Q三点均已振动
B．8.0 s后M点的位移始终是2 cm
C．10.0 s后P点的位移始终是0
D．10.5 s时Q点的振动方向竖直向下
答案 CD
解析 由v＝eq \f(λ,T)得两列波的波速均为1 m/s，且S1P＝4 m，S1M＝7 m，S1Q＝10.5 m，S2P＝10 m，S2M＝7 m，S2Q＝3.5 m．M点开始振动时间t＝eq \f(S1M,v)＝eq \f(S2M,v)＝7 s，故A错误；S1M－S2M＝0，故M点是振动加强点，振幅A＝2A0＝2 cm，但位移并不是始终为2 cm，故B错误；S2P－S1P＝6 m＝1eq \f(1,2)λ，故P点为振动减弱点，位移始终为0，故C正确；t＝10.5 s时，由于S1Q＝10.5 m，故S1形成的波刚好传到Q点，即10.5 s时Q点由S1引起的振动为竖直向下，由S2Q＝3.5 m，10.5 s时，S2波使Q点振动了10.5 s－eq \f(3.5,1) s＝7 s＝1eq \f(3,4)T的时间，即此时Q点在S2波的波峰，则Q点的实际振动方向竖直向下，故D正确．
例6 (2020·全国卷Ⅰ·34(2))一振动片以频率f做简谐振动时，固定在振动片上的两根细杆同步周期性地触动水面上a、b两点，两波源发出的波在水面上形成稳定的干涉图样．c是水面上的一点，a、b、c间的距离均为l，如图5所示．已知除c点外，在ac连线上还有其他振幅极大的点，其中距c最近的点到c的距离为eq \f(3,8)l.求：
图5
(1)波的波长；
(2)波的传播速度．
答案 (1)eq \f(1,4)l (2)eq \f(1,4)fl
解析 (1)如图，设距c点最近的振幅极大的点为d点，a与d的距离为r1，b与d的距离为r2，d与c的距离为s，波长为λ.
则r2－r1＝λ①
由几何关系有r1＝l－s②
r22＝(r1sin 60°)2＋(l－r1cs 60°)2③
联立①②③式并代入题给数据得λ＝eq \f(1,4)l④
(2)波的频率为f，设波的传播速度为v，有v＝fλ⑤
联立④⑤式得v＝eq \f(1,4)fl.
考向三 波的多解
例7 (多选)(2021·山东卷·10)一列简谐横波沿x轴传播，如图6所示，实线为t1＝2 s时的波形图，虚线为t2＝5 s时的波形图．以下关于平衡位置在O处质点的振动图像，可能正确的是( )
图6
答案 AC
解析 若该波沿x轴正方向传播，在t1＝2 s时O点振动方向竖直向上，则传播时间Δt＝t2－t1＝3 s，
满足Δt＝eq \f(3,4)T＋nT(n＝0,1,2,3…)
解得T＝eq \f(12,4n＋3) s(n＝0,1,2,3…)
当n＝0时，解得周期T＝4 s
A正确，B错误；
若该波沿x轴负方向传播，t2＝5 s时O点处于波谷，则Δt＝eq \f(1,4)T＋nT(n＝0,1,2,3…)
解得T＝eq \f(12,4n＋1) s(n＝0,1,2,3…)
当n＝0时，解得周期T＝12 s
C正确，D错误．
高考题型3 振动图像与波的图像的综合应用
巧解振动图像与波的图像综合问题的基本方法
例8 (2020·北京卷·6)一列简谐横波某时刻波形如图7甲所示．由该时刻开始计时，质点L的振动情况如图乙所示．下列说法正确的是( )
图7
A．该横波沿x轴负方向传播
B．质点N该时刻向y轴负方向运动
C．质点L经半个周期将沿x轴正方向移动到N点
D．该时刻质点K与M的速度、加速度都相同
答案 B
解析 由题图乙知，开始计时时刻，即0时刻质点L向上振动，再结合题图甲，可知该横波沿x轴正方向传播，故A错误；由该横波沿x轴正方向传播，从题图甲可看出，质点N该时刻向y轴负方向运动，故B正确；横波传播时，质点不随波迁移，故C错误；该时刻质点K与M的速度为零，加速度大小相等，但方向相反，故D错误．
例9 (2021·山东潍坊市昌乐一中高三期末)图8甲为一列简谐横波在t＝2 s时的波动图像，图乙为该波中x＝2 cm处质点P的振动图像，根据图像分析可得( )
图8
A．该简谐横波沿x轴正方向传播
B．简谐横波的波速大小为1 m/s
C．P点振动后在任意一个2 s内的路程均为10 cm
D．在t＝2.5 s时P点位移为y＝－2.5 cm
答案 C
解析 由P点的振动图像可知，t＝2 s时，P点向下振动，由波动图像可知，该简谐横波沿x轴负方向传播，A错误；由题图可知λ＝4 cm，T＝4 s，则波速v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(0.04,4) m/s＝0.01 m/s，B错误；因为2 s＝eq \f(1,2)T，则P点振动后在任意一个2 s内的路程均为2A＝10 cm，C正确；由P点的振动图像可知，在t＝2.5 s时P点位移y＝－5×eq \f(\r(2),2) cm＝－2.5eq \r(2) cm，D错误．
1．(2021·天津市河西区高三期末)如图9甲所示，一个有固定转动轴的竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动， T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统．圆盘静止时，让小球做简谐运动，其振动图像如图乙所示．圆盘匀速转动时，小球做受迫振动．小球振动稳定时，下列说法正确的是( )
图9
A．小球振动的固有频率是4 Hz
B．小球做受迫振动时周期一定是4 s
C．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著增大
D．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著减小
答案 C
解析 小球振动的固有周期T＝4 s，则其固有频率为f＝eq \f(1,T)＝0.25 Hz，A错误；小球做受迫振动时周期等于驱动力的周期，即等于圆盘转动周期，不一定等于小球的固有周期4 s，B错误；圆盘转动周期在4 s附近时，驱动力周期接近小球的固有周期，小球产生共振现象，振幅显著增大，C正确，D错误．
2．(2021·山东德州市高三期末)如图10所示为两列相干水波的干涉图样，图中的实线表示波峰，虚线表示波谷．已知两列波的振幅均为5 cm，C点是BE连线的中点，下列说法中正确的是( )
图10
A．再过半个周期，A点变为减弱点
B．图示时刻C点正处于平衡位置且向下运动
C．D点保持静止不动
D．图示时刻A、B两点的竖直高度差为10 cm
答案 C
解析 此时A点是波峰与波峰相遇，为振动加强点，但不总是处于波峰位置，不过总是振动加强点，所以再过半个周期，A点还是振动加强点，A错误；题图所示时刻C点处于平衡位置，两列波在此点单独引起的速度均向上，故C点此时的合速度向上，将向上运动，B错误；由题图可知，D点是波峰与波谷相遇点，所以D点保持静止不动，C正确；A点是波峰与波峰相遇，则A点相对平衡位置高10 cm，而B点是波谷与波谷相遇，则B点相对平衡位置低10 cm，所以题图所示时刻A、B两点的竖直高度差为20 cm，D错误．
3．(2021·山东滨州市高三期末)如图11甲所示为一简谐波在t＝0.2 s时刻的图像，图乙所示为x＝0.3 m处质点P的振动图像．下列说法正确的是( )
图11
A．质点P的振动方程为y＝0.08sin (5πt＋π) m
B．这列波的传播方向沿x轴正方向
C．这列波的波速是2 m/s
D．t＝0.35 s时质点P的位移为4 cm
答案 A
解析 由题图乙可知，质点P在0.2 s时沿y轴正方向运动，因此这列波沿x轴负方向传播，B错误；由题图甲可知，波长λ＝0.4 m，由题图乙可知，周期T＝0.4 s，因此波速v＝eq \f(λ,T)＝1 m/s，C错误；由于ω＝eq \f(2π,T)＝5π rad/s，振幅A＝0.08 m，在t＝0时刻，质点P恰好位于平衡位置，且沿着y轴负方向运动，因此质点P的振动方程为y＝0.08sin (5πt＋π) m，A正确；将t＝0.35 s代入质点P的振动方程可得y＝0.08sin (5π×0.35＋π) m＝eq \f(\r(2),25) m，D错误．
4．(2021·安徽蚌埠市高三期末)一列简谐横波在某介质中沿x轴传播，在t＝0时的波形如图12中实线所示，经0.2 s后的波形如图中虚线所示，已知该波的周期T>0.2 s.
图12
(1)求该波的传播速度大小；
(2)若该波沿x轴正方向传播，求x＝0.6 m处的质点在t＝1.95 s时刻的位移大小．
答案 (1)2 m/s或4 m/s (2)2 cm
解析 (1)若该波沿x轴正方向传播，其传播速度
v1＝eq \f(Δx1,Δt)＝eq \f(1.0－0.6,0.2) m/s＝2 m/s
若该波沿x轴负方向传播，其传播速度
v2＝eq \f(Δx2,Δt)＝eq \f(1.2－0.4,0.2) m/s＝4 m/s
(2)该波沿x轴正方向传播，其周期
T＝eq \f(λ,v1)＝eq \f(1.2,2) s＝0.6 s
t＝0时刻，处于x＝0.6 m的质点在平衡位置沿y轴向上运动，该质点振动时间Δt′＝1.95 s＝3T＋eq \f(1,4)T
故t＝1.95 s时刻，该质点位移为y＝2 cm.
专题强化练
[保分基础练]
1．如图1是水面上两列频率相同的波在某时刻的叠加情况，以波源S1、S2为圆心的两组同心圆弧分别表示同一时刻两列波的波峰(实线)和波谷(虚线)；S1的振幅A1＝4 cm，S2的振幅A2＝3 cm，则下列说法正确的是( )
图1
A．D点是振动减弱点
B．A、D点在该时刻的高度差为7 cm
C．再过半个周期，B、C点是振动加强点
D．C点的振幅为1 cm
答案 D
解析 由题图可知，D点为两波谷相遇，是振动加强点，故A错误；此时A点在加强后的最高点，D点在加强后的最低点，可知A、D点在该时刻的高度差为14 cm，故B错误；由于两波的频率相等，叠加后会形成稳定的干涉图样，所以A、D点始终是振动加强点，B、C点始终是振动减弱点，故C错误；C点为振动减弱点，振幅为两振幅之差，为1 cm，故D正确．
2．(2021·辽宁抚顺市六校高三期末联考)图2为一列简谐波在t＝0时刻的波形图，此时质点Q正处于加速运动过程中，且质点N在t＝1 s时第一次到达波峰．则下列判断正确的是( )
图2
A．此时质点P也处于加速运动过程
B．该波沿x轴负方向传播
C．从t＝0时刻起，质点P比质点Q晚回到平衡位置
D．在t＝0时刻，质点N的振动速度大小为1 m/s
答案 C
解析 由于此时质点Q正在加速，说明质点Q正向平衡位置运动，该波沿x轴正方向传播，B错误；由于波沿x轴正方向传播，质点P正在远离平衡位置，因此质点P处于减速运动过程，A错误；从t＝0时刻起，由于质点Q正向平衡位置运动，而质点P正向最大位移处运动，因此，质点P比质点Q晚回到平衡位置，C正确；在t＝0时刻，N点处于负的最大位移处，因此速度为零，D错误．
3．(2020·山东卷·4)一列简谐横波在均匀介质中沿x轴负方向传播，已知x＝eq \f(5,4)λ处质点的振动方程为y＝Acs (eq \f(2π,T)t)，则t＝eq \f(3,4)T时刻的波形图正确的是( )
答案 D
解析 由题意知，t＝0时，x＝eq \f(5,4)λ处的质点位于波峰(y＝A)，则x＝0处质点恰好位于y＝0的平衡位置，其波形如图中实线所示．
经t＝eq \f(3,4)T时，x＝0处质点恰振动到最低点，t＝eq \f(3,4)T时的波形如图中虚线所示，选项D正确．
4．(2021·福建漳州市一模)一列简谐横波沿x轴正方向传播，在t＝0时的波形图如图3，此时波恰好传到质点M所在位置，当t＝1.5 s时，位于x＝8 m处的质点P运动的总路程为15 cm，则以下说法正确的是( )
图3
A．波的周期为2 s
B．波源的起振方向沿y轴正方向
C．波的传播速度为5 m/s
D．t＝2.0 s时质点P处于波谷
答案 D
解析 由题意可知，质点M在t＝0时刻向下振动，根据波的传播特点可知，波源的起振方向沿y轴的负方向，B错误；由波形图可知，波长λ＝4 m，设波速为v、周期为T，有v＝eq \f(λ,T)，当t＝1.5 s时，波先历时eq \f(3,4)T传到质点P，之后质点P运动的总路程为15 cm＝3A，即质点P振动了eq \f(3,4)T第一次到达波峰，故eq \f(3,4)T＋eq \f(3,4)T＝1.5 s，解得T＝1 s，v＝4 m/s，A、C错误；t＝1.5 s时质点P第一次到达波峰，t＝2.0 s时又经历了eq \f(1,2)T，故质点P处于波谷，D正确．
5．(多选)(2021·湖北省部分重点中学高三期末联考)一列简谐横波某时刻的波形如图4甲所示，从该时刻开始计时，波上B质点的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是( )
图4
A．该波沿x轴正方向传播
B．A、B两质点的速度和位移有可能在某个时刻均相同
C．经过0.3 s，B质点通过的位移大小为0.1 m
D．若此波遇到另一列简谐横波并发生稳定的干涉现象，则所遇到的波的频率为2.5 Hz
答案 CD
解析 由题图乙可知开始时，B质点的振动方向沿y轴的负方向，根据“上下坡”法可知该波沿x轴的负方向传播，所以A错误；A、B两点相距半个波长，振动情况始终相反，速度不可能相同，所以B错误；经过0.3 s，由题图乙可知B质点振动了eq \f(3,4)T，则B质点通过的路程为s＝3A＝0.3 m，而位移大小为0.1 m，所以C正确；发生稳定的干涉现象需要两列波频率相同，则所遇波的频率为f＝eq \f(1,T)＝2.5 Hz，所以D正确．
6．(多选)如图5所示，一列简谐横波向右传播，P、Q两质点平衡位置相距0.15 m．当P运动到上方最大位移处时，Q刚好运动到下方最大位移处，则这列波的波长可能是( )
图5
A．0.6 m B．0.3 m
C．0.2 m D．0.1 m
答案 BD
解析 由题意，P、Q两质点平衡位置之间的间距为eq \f(λ,2)＋nλ＝0.15 m，故λ＝eq \f(0.3,2n＋1)m(n＝0,1,2，…)．n＝0时，λ＝0.3 m；n＝1时，λ＝0.1 m，选B、D.
7.(2021·河北卷·16(1))如图6，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点，2 s后第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，2 s内经过的路程为0.4 m．该弹簧振子的周期为________ s，振幅为________ m.
图6
答案 4 0.2
解析 根据简谐运动对称性可知，A、B两点关于平衡位置对称，而振子从A到B经过了半个周期的运动，则周期为T＝2t＝4 s.
从A到B经过了半个周期的振动，路程为s＝0.4 m，则振子经过一个完整的周期的路程为0.8 m，故有4A＝0.8 m，解得振幅为A＝0.2 m.
8．(2021·全国乙卷·34(1))图7中实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线，经过0.3 s后，其波形曲线如图中虚线所示．已知该波的周期T大于0.3 s，若波是沿x轴正方向传播的，则该波的速度大小为________ m/s，周期为________ s，若波是沿x轴负方向传播的，该波的周期为________ s.
图7
答案 0.5 0.4 1.2
解析 若波是沿x轴正方向传播的，则波传播了Δx＝15 cm＝0.15 m，设波速为v，周期为T，则该波的速度大小为v＝eq \f(Δx,Δt)＝eq \f(0.15,0.3) m/s＝0.5 m/s
由题图可知波长λ＝20 cm＝0.2 m，
则周期为T＝eq \f(λ,v)＝eq \f(0.2,0.5) s＝0.4 s
若波是沿x轴负方向传播的，
则波传播了Δx′＝5 cm＝0.05 m，
设波速为v′，周期为T′，则该波的速度大小为
v′＝eq \f(Δx′,Δt)＝eq \f(0.05,0.3) m/s＝eq \f(1,6) m/s
周期为T′＝eq \f(λ,v′)＝eq \f(0.2,\f(1,6)) s＝1.2 s
[争分提能练]
9．(多选)(2021·重庆南开中学期末)如图8(a)所示，轻质弹簧上端固定，下端连接质量为m的小球，构成竖直方向的弹簧振子．取小球平衡位置为x轴原点，竖直向下为x轴正方向，设法让小球在竖直方向振动起来后，小球在一个周期内的振动曲线如图(b)所示，若eq \f(T,2)时刻弹簧弹力为0，重力加速度为g，则有( )
图8
A．0时刻弹簧弹力大小为2mg
B．弹簧劲度系数为eq \f(2mg,A)
C.eq \f(T,4)～eq \f(3T,4)时间段，回复力冲量为0
D.eq \f(T,2)～T时间段，小球动能与重力势能之和减小
答案 AD
解析 小球平衡位置为x轴原点，竖直向下为x轴正方向，eq \f(T,2)时刻弹簧弹力为0，位移为A，有kA＝mg，可得劲度系数为k＝eq \f(mg,A)，故B错误；0时刻在正的最大位移处，弹簧的伸长量为2A，则弹力大小为F＝k·2A＝2mg，故A正确；eq \f(T,4)～eq \f(3T,4)时间段，小球从平衡位置沿负方向振动回到平衡位置，回复力一直沿正向，由I＝Ft可知回复力冲量不为0，故C错误；eq \f(T,2)～T时间段，小球从最高点振动到达最低点，根据能量守恒定律可知弹簧的弹性势能和小球的机械能相互转化，因弹簧的弹性势能一直增大，则小球动能与重力势能之和减小，故D正确．
10．(多选)如图9所示，两列简谐横波分别沿x轴正方向和负方向传播，两波源分别位于x＝－0.2 m和x＝1.2 m处，两列波的速度均为v＝0.4 m/s，两波源的振幅均为A＝2 cm，图示为t＝0时刻两列波的图像(传播方向如图所示)，此刻平衡位置处于x＝0.2 m和x＝0.8 m的P、Q两质点刚开始振动，质点M的平衡位置处于x＝0.5 m处，关于各质点的运动情况，下列判断正确的是( )
图9
A．两列波相遇后不能发生干涉
B．t＝1 s时刻，质点M的位移为－4 cm
C．t＝1 s后，平衡位置处于x＝0.6 m的质点位移始终为0
D．t＝0.75 s时刻，质点P、Q都运动到M点
答案 BC
解析 两列简谐横波在同一介质中传播，波速大小相等，由题图看出两列波的波长相等，由v＝λf可得两列波的频率相等，相遇后能发生干涉，故A错误；由题图知波长λ＝0.4 m，由v＝eq \f(λ,T)得，该波的周期为T＝eq \f(λ,v)＝eq \f(0.4,0.4) s＝1 s，则t＝1 s时刻，两列波的波谷都恰好传到质点M，所以质点M的位移为－4 cm，故B正确；t＝0时刻，平衡位置处于x＝0.6 m的质点到P、Q两波的距离相差0.2 m，等于半个波长，所以两波相遇时该点是振动减弱点，所以t＝1 s后，平衡位置处于x＝0.6 m的质点位移始终为0，故C正确；质点不随波迁移，只在各自的平衡位置附近振动，所以质点P、Q都不会运动到M点，故D错误．
11.(多选)(2021·山东德州市高三期末)水平地面上固定一段光滑绝缘圆弧轨道，过轨道左端N点的竖直线恰好经过轨道的圆心(图10中未画出)，紧贴N点左侧还固定有绝缘竖直挡板．自零时刻起将一带正电的小球自轨道上的M点由静止释放．小球与挡板碰撞时无能量损失，碰撞时间不计，运动周期为T，MN间的距离为L并且远远小于轨道半径，重力加速度为g，以下说法正确的是( )
图10
A．圆弧轨道的半径为eq \f(gT2,π2)
B．空间加上竖直向下的匀强电场，小球的运动周期会增大
C．空间加上垂直纸面向里的匀强磁场，若小球不脱离轨道，运动周期会增大
D.eq \f(2,3)T时小球距N点的距离约为eq \f(L,2)
答案 AD
解析 由MN间的距离为L并且远远小于轨道半径，则小球在圆弧轨道上的运动可看成单摆模型，其周期为单摆的半个周期，根据单摆的周期公式有T′＝2πeq \r(\f(R,g))，T′＝2T，解得圆弧轨道的半径为R＝eq \f(gT2,π2)，所以A正确；空间加上竖直向下的匀强电场，等效重力加速度增大，根据单摆的周期公式可知小球的运动周期将减小，所以B错误；空间加上垂直纸面向里的匀强磁场，小球下滑时由于洛伦兹力总是与速度方向垂直，洛伦兹力总不做功，不改变速度大小，所以若小球不脱离轨道，运动周期将不改变，则C错误；将小球的运动等效为单摆时，做简谐运动的表达式为x＝|Lcs(eq \f(2π,T′)t)|＝|Lcs(eq \f(π,T)t)|，当t＝eq \f(2,3)T时，代入表达式得位移的大小为eq \f(L,2)，所以经过eq \f(2,3)T时小球距N点的距离约为eq \f(L,2)，则D正确．
12．(2021·全国甲卷·34(2))均匀介质中质点A、B的平衡位置位于x轴上，坐标分别为0和xB＝16 cm.某简谐横波沿x轴正方向传播，波速为v＝20 cm/s，波长大于20 cm，振幅为y＝1 cm，且传播时无衰减．t＝0时刻A、B偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同，运动方向相反，此后每隔Δt＝0.6 s两者偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同．已知在t1时刻(t1>0)，质点A位于波峰．求：
(1)从t1时刻开始，质点B最少要经过多长时间位于波峰；
(2)t1时刻质点B偏离平衡位置的位移．
答案 (1)0.8 s (2)－0.5 cm
解析 (1)因为波长大于20 cm，
所以波的周期T＝eq \f(λ,v)>1.0 s
由题可知，0.6 s＝n·eq \f(T,2)，解得T＝eq \f(1.2,n) s，
因为T>1.0 s，所以n＝1，即T＝1.2 s
波长λ＝vT＝24 cm
在t1时刻(t1>0)，质点A位于波峰．因为AB距离小于一个波长，质点B到波峰最快是质点A处的波峰传过去，所以从t1时刻开始，质点B运动到波峰所需要的最少时间t＝eq \f(xAB,v)＝0.8 s
(2)在t1时刻(t1>0)，A位于波峰，B与A相距16 cm，故质点B偏离平衡位置的位移为
y＝Acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,24)×2π)) cm＝－0.5 cm.
13．一列简谐横波沿x轴传播，a、b为x轴上相距0.4 m的两质点，如图11甲所示．两质点的振动图像分别如图乙、丙所示．
图11
(1)当该波在该介质中传播的速度为2 m/s时，求该波的波长；
(2)若该波的波长大于0.3 m，求可能的波速．
答案 (1)1.6 m (2)若波由a向b传播，v＝eq \f(2,3) m/s；若波由b向a传播，v＝2 m/s或0.4 m/s
解析 (1)由题图可知T＝0.8 s，又λ＝vT，解得λ＝1.6 m.
(2)若波由a向b传播，则有(n＋eq \f(3,4))λ＝0.4 m(n＝0,1,2，…)
又λ>0.3 m，则n＝0，此时λ＝eq \f(8,15) m
由v＝eq \f(λ,T)得v＝eq \f(2,3) m/s
若波由b向a传播，则(n＋eq \f(1,4))λ＝0.4 m(n＝0,1,2，…)
又λ>0.3 m，则n＝0或1
此时λ＝1.6 m或λ＝eq \f(8,25) m
由v＝eq \f(λ,T)得v＝2 m/s或v＝0.4 m/s规律
x＝Asin(ωt＋φ)
图像
反映同一质点在各个时刻的位移
受力特征
回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征
振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒
周期性特征
质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为eq \f(T,2)
对称性特征
关于平衡位置O对称的两点，加速度的大小、速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等
形成条件
(1)波源；(2)传播介质，如空气、水等．
传播特点
(1)机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波迁移．
(2)介质中各质点振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同．
(3)一个周期内，质点完成一次全振动，通过的路程为4A，位移为零．
(4)一个周期内，波向前传播一个波长．
波的图像
(1)坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的位移．
(2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移．
波长、波速和
频率的关系
(1)v＝λf；(2)v＝eq \f(λ,T).
波的叠加
(1)两个振动情况相同的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件为Δx＝nλ(n＝0,1,2…)，振动减弱的条件为Δx＝(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2…)．
(2)振动加强点的位移随时间而改变，振幅为两波振幅的和A1＋A2.
波的多解问题
由于波的周期性、波传播方向的双向性，波的传播易出现多解问题.